PAGE15第八章控制測量概算[本章提要] 控制測量外業(yè)工作獲得了大量的外業(yè)觀測值（如水平方向、邊長和天文方位角等）和必要的測繪資料（如歸心投影用紙等），將這些地面上觀測成果化算到高斯平面上，為平差計(jì)算作好數(shù)據(jù)準(zhǔn)備工作是概算工作主要任務(wù)。本章主要應(yīng)用橢球面上的測量計(jì)算和高斯投影的理論知識，以三角網(wǎng)為例介紹控制測量概算的各項(xiàng)內(nèi)容和具體做法，使理論與實(shí)踐得以結(jié)合。平面控制網(wǎng)又分三角網(wǎng)、三邊網(wǎng)和邊角網(wǎng)(導(dǎo)線網(wǎng))。無論是平面控制網(wǎng)或是高程控制網(wǎng)都是通過野外采集某些數(shù)據(jù)——觀測量，經(jīng)過適當(dāng)處理，最終獲得待定點(diǎn)的坐標(biāo)和高程。然而，觀測量之間的矛盾是客觀存在的，合理處理觀測量之間矛盾的工作稱之為平差，而在平差之前又必須將所有觀測量歸算到某一個(gè)基準(zhǔn)面上，這是項(xiàng)重要又必不可少的工作，稱這項(xiàng)工作為概算。概算的目的不僅僅是為平差作準(zhǔn)備，而且也在于檢查和評價(jià)外業(yè)資料(也包括起算數(shù)據(jù))的質(zhì)量，本章主要討論平面控制網(wǎng)的概算工作，其主要內(nèi)容有：(1)外業(yè)觀測成果的整理、檢查；(2)繪制網(wǎng)的略圖、編制觀測數(shù)據(jù)表和已知數(shù)據(jù)表；(3)觀測成果歸化到標(biāo)石中心；(4)觀測成果歸化到橢球面上；(5)觀測成果進(jìn)一步歸化到高斯投影平面上；(6)依平面控制網(wǎng)應(yīng)滿足的條件檢查觀測成果的質(zhì)量。應(yīng)該指出，平面控制網(wǎng)如果在橢球面上進(jìn)行平差計(jì)算，則(5)、(6)兩項(xiàng)可省略；如果在高斯投影面上進(jìn)行，則上述各項(xiàng)不能省略。在我國除全國性的天文大地網(wǎng)在橢球面上進(jìn)行平差外，一般平面控制網(wǎng)，尤其是工測控制網(wǎng)都是在高斯平面上進(jìn)行的，因此，必須按上述工作內(nèi)容逐項(xiàng)進(jìn)行。由上列各項(xiàng)工作可以看出，概算的工作量甚大，內(nèi)容也相當(dāng)多，概算中的差錯(cuò)將直接影響到平差結(jié)果，且又不易發(fā)現(xiàn)，所以概算結(jié)果的正確性和計(jì)算精度應(yīng)特別注意。概算精度要求主要考慮兩個(gè)方面，一是不損害觀測量的精度，二是有利于工作進(jìn)行，只保留必要的有效數(shù)字。對三、四等控制網(wǎng)，由于邊長較短，因此它的方向計(jì)算值和各項(xiàng)改正數(shù)的計(jì)算分別達(dá)到0.1和0.01即可，邊長概算取至mm位，而各項(xiàng)改正數(shù)的計(jì)算則至0.1mm。概算所選用的算式，既要確保精度，又能進(jìn)行檢核，還要便于使用電子計(jì)算機(jī)。計(jì)算流程可用以下框圖說明：化至化至橢球面邊長觀測邊長距離改化高斯平面邊長各種條件閉合差角超球面歸心改正歸心后方向值近似邊長化至橢球面方向值方向改化檢核觀測方向值值已知數(shù)據(jù)近似坐標(biāo)高斯平面方向值測角中誤差三角形閉合差§8.1外業(yè)成果的整理與圖表的繪制概算時(shí)，首先要對外業(yè)成果（各種觀測手簿，記簿，歸心投影用紙，儀器檢驗(yàn)資料以及計(jì)算資料等）進(jìn)行逐項(xiàng)整理檢查。主要檢查原始數(shù)據(jù)是否清晰，有無缺漏項(xiàng)目，是否滿足規(guī)范對觀測手簿的要求。檢查中發(fā)現(xiàn)的問題要認(rèn)真處理，及時(shí)返工和補(bǔ)正，確認(rèn)資料完整無誤后，才能進(jìn)行后續(xù)的計(jì)算。為便于計(jì)算，首先要繪制控制網(wǎng)計(jì)算略圖，將觀測方向值（或角度）、觀測邊長等清晰的注于圖上（見圖8-1）。其次編制已知數(shù)據(jù)表（見表8-1），和觀測數(shù)據(jù)表（見表8-2）。已知數(shù)據(jù)表表8-1點(diǎn)名等級平面直角坐標(biāo)系坐標(biāo)方位角°′″邊長（m）至點(diǎn)x（m）y（m）蘇家Ⅲ5023373.446.6973142150.27070.809長山長山Ⅲ5028317.452.685××測區(qū)三角網(wǎng)略圖圖8-1水平方向值計(jì)算表表8-2§8.2成果的歸算和改化圖8-2圖8-21.邊長概算對于三角網(wǎng)，須從已知邊(或觀測邊)開始，接正弦公式計(jì)算邊長，如圖8-2所示，b為已知邊，則a、c的計(jì)算公式如下：（8-1）概略邊長球面角超計(jì)算表8-3同時(shí)，計(jì)算出各三角形的球面角超(后面計(jì)算方向改化時(shí)檢核用)，球面角超的計(jì)算式為（8-2）式中(或以測區(qū)平均緯度為引數(shù)查表)表8-3內(nèi)列入近似邊長和球面角超的計(jì)算數(shù)字。對于測邊網(wǎng)，則要由觀測邊計(jì)算角度近似值，以便推算方向近似值M，角度A的計(jì)算按余弦定律為：（8-3）其計(jì)算表格與表8-3類似，計(jì)算時(shí)角度取至10″，邊長取至米，即夠計(jì)算歸心改正數(shù)使用。(二)近似坐標(biāo)計(jì)算應(yīng)用余切公式（8-4）圖8-3應(yīng)該指出應(yīng)用（8-4）式時(shí)，三角形角號排列有如下規(guī)定：圖8-3如圖8-3所示A、B為已知點(diǎn)，其頂角分別為、；C為待算點(diǎn)，其頂角為。A、B、C應(yīng)按逆時(shí)針排列。現(xiàn)舉例如表8-4。近似坐標(biāo)存在遞推累積的誤差，故上表計(jì)算時(shí)坐標(biāo)取至0.1m，角度相應(yīng)取至10″。為防止計(jì)算出錯(cuò)，應(yīng)采用B，C作為已知點(diǎn)，A作為待算點(diǎn)進(jìn)行校核計(jì)算，對于測邊網(wǎng)的坐標(biāo)計(jì)算，可先由觀測邊計(jì)算三角形各角度，然后按（8-4）近似坐標(biāo)計(jì)算表表8-4已知點(diǎn)AB長山蘇家長山溝口曙光溝口平湖溝口待算點(diǎn)C溝口曙光平湖小山已知數(shù)據(jù)5028317.5m5023373.4m109605.7m114660.7m(′″)0010334900(′″)3940785240(′″)1600551400(′″)633000843410運(yùn)算結(jié)果5028774.4m113530.4m5031947.8112514.25031365.5115517.15025864.2118180.0二、方向觀測值的改化(一)歸心改正將測站平差(一般為各測回方向平均值)后的方向值加入測站點(diǎn)和照準(zhǔn)點(diǎn)的歸心改正數(shù)(c、r)，便得到歸化到標(biāo)石中心的方向值。其計(jì)算公式按第八章第三節(jié)所述，即(1l一5)式中(1l一6)式中、，和、，分別是測站點(diǎn)和照準(zhǔn)點(diǎn)的歸心元素值，和表示測站和照準(zhǔn)點(diǎn)上相對的方向值，而和。是該兩點(diǎn)上的歸心零方向的方向值(通常和為零，即觀測零方向與歸心零方向一致)，S為近似邊長。現(xiàn)以長山的測站歸心和曙光、溝口、蘇家對于長山的照準(zhǔn)點(diǎn)歸心為例，計(jì)算其歸心改正數(shù)。如表ll一5。方向歸心計(jì)算表11-5方向名內(nèi)容長山——曙光長山——溝口長山——蘇家………0.018m100000010000004651m0.009m1280000245434014439403951m0.012m2044500204450019539507071m0.005m6511006511000.790.54-0.14-0.36-0.260.13(二)方向改化它是將經(jīng)過歸心改正后的方向觀測值歸化到橢球面上，然后再歸化到高斯投影平面上，然而，國家三、四等和城市工礦控制網(wǎng)，一般不測天文方位角，只有極個(gè)別獨(dú)立網(wǎng)，無法引測高一級的起算方位時(shí)，才施測天文方位角，作為獨(dú)立網(wǎng)的定向，且把實(shí)測天文方位角口看作大地方位角A而不加改正。國家三、四等和城市工礦控制網(wǎng)，一般也不加“三差改正”，也就是把地面觀測方向值直接看作橢球面方向值。對于觀測天頂距的垂線偏差改正，亦只有當(dāng)作為三維控制網(wǎng)時(shí)或測區(qū)內(nèi)的垂線偏差子午與卯酉分量變化甚大且視線高度角超過3。時(shí)才進(jìn)行改正，一般三角高程計(jì)算時(shí)均可忽略此項(xiàng)改正。因此，對于三、四等平面控制網(wǎng)或工測控制網(wǎng)，一般只是將經(jīng)過歸心后的方向值，改化到高斯投影平面上即可，其改化公式為：三、四等網(wǎng)二等網(wǎng)(仍以測區(qū)平均緯度為引數(shù)查附表一)。現(xiàn)仍以圖ll—l為例，方向改正計(jì)算如表ll一6。方向改正計(jì)算表11-6計(jì)算項(xiàng)目i蘇家k溝口i長山k溝口曙光平湖………5023.373km5028.774-5.401114.661113.530114.0960.002534935028.3175028.774-0.457109.606113.530111.5685031.9485031.3660.582112.514115.517114.016-1.56-0.130.17方向改正數(shù)計(jì)算經(jīng)三角形球面角超檢核無誤后，和歸心改正數(shù)一并填入表ll一2，最終獲得高斯投影平面上的方向值。三、邊長觀測值的改化隨著電磁波測距儀應(yīng)用的普及，平面控制網(wǎng)的觀測量除了方向值以外，邊長觀測值亦占相當(dāng)?shù)谋戎兀渫鈽I(yè)觀測結(jié)果當(dāng)然也應(yīng)該歸算到高斯平面上，因此，地面觀測邊長一般應(yīng)進(jìn)行歸心改正，傾斜改正和歸算到高斯平面上的距離改正(又稱曲率改正)。(一)邊長歸心改正其公式為：測站歸心（11-7）鏡站歸心兩式右端的符號與方向歸心改正數(shù)計(jì)算公式的符號意義完全一致。其右端的第二項(xiàng)(平方項(xiàng))一般很小，當(dāng)<0．5m，S>lkm時(shí)，此平方項(xiàng)最大值約0．1mm。可見，通常不必顧及此項(xiàng)改正，在實(shí)際作業(yè)中，一般情況下，主機(jī)和反光鏡均設(shè)在測站，故無需歸心。如果個(gè)別站受條件限制進(jìn)行偏心觀測時(shí)，則可按(1l一7)式計(jì)算。既然算法和方向歸心改正數(shù)計(jì)算方法相似，故此處不再敘述。(二)歸化至橢球面的改正將地面觀測的且經(jīng)歸心改正后的傾斜距離改正到橢球面上的大地線長度，其計(jì)算公式如下：（11-8）（11-9）（11-10）式中D——兩端點(diǎn)間的斜距；K——兩端點(diǎn)間的弦長；S——兩端點(diǎn)間的橢球面長度；B——兩端點(diǎn)緯度平均值，可在地圖上量取；‘A——兩端點(diǎn)間的方位角，可在地圖上量取；、：——儀站和鏡站的高程；——兩端點(diǎn)測線方向地球曲率半徑的平均值；C=6399698；=0．0067385。由此可看出(11—8)～(兒一10)各式的作用：(1l一8)式為斜距d改化為弦長的計(jì)算式；(11一g)式為弦長與大地線長度的計(jì)算式；(1l—10)式為兩端點(diǎn)連線方向地球曲率半徑計(jì)算武(實(shí)際是兩端點(diǎn)測線方向曲率半徑的平均值)。現(xiàn)仍以圖ll—l為例，蘇家至長山測距儀實(shí)測斜長為7069．9llm，歸算至橢球面長度如表ll一7所示。至此，獲得了橢球面上的長度，然而，尚須進(jìn)一步投影到高斯平面上，以利于后續(xù)計(jì)算。(三)距離改正在第六章的第三節(jié)中已經(jīng)討論了將橢球面上的長度歸算到高斯投影平面上的計(jì)算過程，在此，僅列出距離改正的計(jì)算公式如下：三、四等網(wǎng)(1l—11)式中S——橢球面上的長度；D——高斯平面上的長度；以km為單位y——橫坐標(biāo)自然值，由近似坐標(biāo)計(jì)算獲得。本例蘇家至長山k=1．098，故D=7070．809m。四、觀測成果質(zhì)量的檢查，(一)邊長條件(極條件)閉合差計(jì)算公式證明將在下一章討論，此處僅列出公式如下：(11-12)式中——邊長條件對數(shù)閉合差；、——分別是投影到高斯平面后的起算邊長和終了邊長；、——分別是投影到高斯平面后的傳距角；n——所經(jīng)三角形的個(gè)數(shù)。閉合差限差的計(jì)算公式為（11-13）式中——傳距角正弦對數(shù)秒差；m——測角中誤差；——起算邊對數(shù)中誤差。至于極條件閉合差及限差公式，因其推算的開始與結(jié)束是同一條邊，故(1l一12)式中的，從而(11—13)式中略去。的影響項(xiàng)，便使該兩式轉(zhuǎn)化為極條件的相應(yīng)公式。圖ll一4是本章列舉的控制網(wǎng)，圖中注明了歸化到高斯平面上的三角形各角，三角形最大閉合差為，均滿足規(guī)范要求。本例極條件閉合差計(jì)算如表ll一8。，故本例合格。本例應(yīng)用小型計(jì)算器計(jì)算，故正弦對數(shù)欄未一一填寫，而直接寫出累加數(shù)·此外，按四等三角網(wǎng)要求，故測角中誤差按規(guī)范給出的計(jì)算。五、方位角和坐標(biāo)條件閉合羞的計(jì)算（11-14）式中、、。和、、。分別是起點(diǎn)和終點(diǎn)的平面坐標(biāo)和方位角，、、．分別是推算路線上的間隔角，邊長和方位角。這些數(shù)據(jù)按照控制網(wǎng)的種類不同，有的是直接觀測值，有的則是觀測值的函數(shù)。j為轉(zhuǎn)折角個(gè)數(shù)。下面再給出方位角限差公式(1l—15)至于坐標(biāo)閉合差的限差公式，往往導(dǎo)入縱橫向位差、的限差公式，而公式的推導(dǎo)是建立在固定在兩高級點(diǎn)間的直伸等邊導(dǎo)線的基礎(chǔ)上的。這一前提具有一定的典型意義，因此，在實(shí)用上往往是規(guī)定，就實(shí)際作業(yè)而言，一般不考慮此項(xiàng)限差。概算可在計(jì)算機(jī)上按如下平面控制網(wǎng)概算程序框圖進(jìn)行圖11-4為經(jīng)過概算后的三角網(wǎng)平面圖，在此基礎(chǔ)上就可以進(jìn)行平差計(jì)算了。平