專題16難點探究專題：平面直角坐標系中的規律探究問題壓軸題四種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一平面直角坐標系中動點移動問題】 1【類型二平面直角坐標系中圖形翻轉問題】 5【類型三平面直角坐標系中圖形變換問題】 8【類型四平面直角坐標系中新定義型問題】 10【過關檢測】 17【典型例題】【類型一平面直角坐標系中動點移動問題】例題：（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級校考期中）如圖，在平面直角坐標系中，動點P從原點O出發，水平向左平移1個單位長度，再豎直向下平移1個單位長度得點；接著水平向右平移2個單位長度，再豎直向上平移2個單位長度得到點；接著水平向左平移3個單位長度，再豎直向下平移3個單位長度得到點；接著水平向右平移4個單位長度，再豎直向上平移4個單位長度得到點，…，按此作法進行下去，則點的坐標為．

【答案】【分析】對奇數點，偶數點分開討論，找出點坐標與序數的關系，總結規律求解．【詳解】解：，；，；，；，；……當為奇數時，；當為偶數時，；∴，即．故答案為：．【點睛】本題考查點坐標規律探索，由開始的幾個點坐標總結規律是解題的關鍵，注意分開討論．【變式訓練】1．（2023秋·安徽阜陽·八年級校考階段練習）如圖，一只小螞蟻在平面直角坐標系中按圖中路線進行“爬樓梯”運動，第1次它從原點運動到點，第2次運動到點，第3次運動到點……按這樣的運動規律，經過第2023次運動后，小螞蟻的坐標是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】分別找到橫坐標和縱坐標的變化規律，再算出2023與2的商和余數，繼而得解．【詳解】解：第1次：，第2次：，第3次：，第4次：，第5次：，…，則橫坐標是從1開始的正整數，每個正整數出現2次，縱坐標是從0開始的正整數，其中只有0出現1次，其余數出現2次，則，∴第2023次的坐標是：，故選C．【點睛】本題考查了規律型—點的坐標，解決本題的關鍵是觀察點P的運動變化發現規律，總結規律．2．（2023秋·黑龍江佳木斯·八年級佳木斯市第五中學校聯考開學考試）如圖，動點在平面直角坐標系中按圖中箭頭所示方向運動，第次從原點運動到點，第次接著運動到點，第次接著運動到點，……，按這樣的運動規律，經過第次運動后，動點的坐標是．

【答案】【分析】設動點運動了次，則點的橫坐標為，點的縱坐標按，，，，，，，，重復出現，每個數為一個循環．【詳解】解：設動點運動了次．觀察圖形中點的坐標可知：點的橫坐標為，點的縱坐標按，，，，，，，，重復出現，每個數為一個循環．∵，∴當點經過次運動后，橫坐標為，縱坐標為．即點的坐標為．故答案為：．【點睛】本題主要考查平面直角坐標系中點的坐標的規律，根據已知點的坐標歸納概括出點的坐標的規律是解題的關鍵．3．（2023春·四川內江·八年級校考期中）如圖，在平面直角坐標系中，把一條長為a個單位長度且沒有彈性的細線（線的粗細忽略不計）的一端固定在點A處，并按的規律緊繞在四邊形的邊上．（1）當時，細線另一端所在位置的點的坐標是；（2）當時，細線另一端所在位置的點的坐標是．

【答案】【分析】根據點的坐標，求出四邊形的周長，然后求出另一端是繞第幾圈后的第幾個單位長度，從而確定答案．【詳解】解：∵，∴，∴四邊形的周長為，∴細線繞一圈的長度為10，∵，∴當時，細線另一端所在位置的點與點重合，坐標為：；∵，∴當時，細線另一端所在位置的點在點下方1個單位長度處，即為：；故答案為：，；【點睛】本題考查坐標與圖形，點的規律探究，解題的關鍵是求出四邊形的周長。【類型二平面直角坐標系中圖形翻轉問題】例題：（2023秋·浙江·九年級專題練習）如圖所示，長方形的兩邊分別在x軸、y軸上，點C與原點重合，點，將長方形沿x軸無滑動向右翻滾，經過一次翻滾，點A的對應點記為，經過第二次翻滾，點A的對應點記為；……，依次類推，經過第2023次翻滾，點A的對應點的坐標為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】觀察圖形即可得到經過4次翻滾后點A對應點一個循環，求出的商，從而解答本題．【詳解】解：觀察圖形得，，，，，經過4次翻滾后點A對應點一個循環，，∵點，長方形的周長為：，∴經過505次翻滾后點A對應點的坐標為，即．∴的坐標為．故選：B．【點睛】此題考查探究點的坐標的問題，解題的關鍵是找到點的變化規律．【變式訓練】1．（2023春·重慶九龍坡·七年級重慶實驗外國語學校校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，是直角三角形，點O為直角頂點，已知點，，，將按如圖方式在x軸負半軸上向左連續翻滾，依次得到、、、…，則的直角頂點的橫坐標是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】觀察圖形，從到經過的路程恰好為的周長，據此即可求解．【詳解】解：由題意得：從到經過的路程恰好為的周長：故的直角頂點的橫坐標為：；的直角頂點的橫坐標為：同理：從到經過的路程恰好為：故的直角頂點的橫坐標為：；的直角頂點的橫坐標為：…∴、、、…、的直角頂點的橫坐標為：∵∴的直角頂點的橫坐標為：∵與的直角頂點的橫坐標相同故的直角頂點的橫坐標是故選：B【點睛】本題考查坐標與規律．根據題意確定坐標變化規律是解題關鍵．2．（2022·黑龍江大慶·大慶外國語學校校考模擬預測）如圖，將邊長為1的正方形OAPB沿x軸正方向連續翻轉2019次，點P依次落在點的位置，則的橫坐標為（

）

A．2019 B．2018 C．2017 D．2016【答案】B【分析】觀察圖形和各點坐標可知：點到要翻轉4次為一個循環，到橫坐標剛好加4，到處橫坐標加3，按照此規律，求出的橫坐標，進而求出答案．【詳解】解：由題意可知：點到要翻轉4次為一個循環，，，，，，，到橫坐標剛好加4，到處橫坐標加3，，，，的橫坐標，故選：B．【點睛】本題主要考查了規律型：點的坐標，解題關鍵是根據各點坐標和題意，找出坐標規律．3．（2023春·安徽蕪湖·七年級統考期中）如圖，在平面直角坐標系中，將沿軸向右滾動到的位置，再到的位置……依次進行下去，若已知點，，，則點的坐標為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據三角形的滾動可知每滾動3次為一個周期，點在第一象限，點在軸上，由點，，可得，從而得到，進而得出點的橫坐標，同理可得出點、的橫坐標，從而得出點的橫坐標為（為正整數），再代入即可得出答案．【詳解】解：根據題意得：每滾動3次為一個周期，點在第一象限，點在軸上，，，，由旋轉的性質可得：，點的橫坐標為：，同理可得出：點的橫坐標為：，點的橫坐標為，，點的橫坐標為（為正整數），點的橫坐標為，點的坐標為，故選：B．【點睛】本題主要考查了點的坐標規律，根據題意進行計算得出規律：點的橫坐標為（為正整數），是解題的關鍵．【類型三平面直角坐標系中圖形變換問題】例題：（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，對進行循環往復的軸對稱變換，若點坐標是，則經過第2022次變換后，點的對應點的坐標為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】觀察圖形可知每四次對稱為一個循環組依次循環，用2022除以4，然后根據商和余數的情況確定出變換后的點所在的象限，然后解答即可．【詳解】解：點第一次關于軸對稱后在第二象限，坐標為，點第二次關于軸對稱后在第三象限，坐標為，點第三次關于軸對稱后在第四象限，坐標為，點第四次關于軸對稱后在第一象限，坐標為，即點回到原始位置，每四次對稱為一個循環組依次循環，，經過第2022次變換后所得的點與第二次變換的位置相同，在第三象限，坐標為，故選：A．【點睛】本題主要考查了點的坐標規律探索，觀察圖形得出每四次對稱為一個循環組依次循環是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023秋·河北石家莊·八年級統考期末）規定：在平面直角坐標系中，一個點作“0”變換表示將它向右平移一個單位，一個點作“1”變換表示將它關于x軸作對稱點，一個點作“2”變換表示將它關于y軸作對稱點．由數字0，1，2組成的序列表示一個點按照上面描述依次連續變換．例如：如圖，點按序列“012”作變換，表示點A先向右平移一個單位得到，再將關于x軸對稱得到，再將關于y軸對稱得到．．．．．．依次類推．點經過“012012012．．．．．．．”100次變換后得到點的坐標為（

）．(注：“012”算3次變換)A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題意可知按序列“012”作變換先變成點，然后變成，再變成，如此求解下去可知按序列“012”作變換先變成點，然后變成，再變成，據此求解即可．【詳解】解：由題意得，點按序列“012”作變換先變成點，然后變成，再變成，點按序列“012”作變換先變成點，然后變成，再變成，∴可知點按序列“012012”作變換后得到的坐標仍是，∴點按照序列“012012012．．．．．．．”作變換時每6次是一個循環，∵，∴經過“012012012．．．．．．．”100次變換后得到點的坐標為，故選D．【點睛】本題主要考查了點的坐標規律探索，正確理解題意找到點坐標變化規律是解題的關鍵．【類型四平面直角坐標系中新定義型問題】例題：（2023春·黑龍江齊齊哈爾·七年級校考期中）新定義：在平面直角坐標系中中的點，若點P的坐標為（其中k為常數，），則稱點為點P的“k屬派生點”．例如：點的“3屬派生點”為，即．(1)點的“2屬派生點”的坐標為________；(2)若點P在y軸的正半軸上，點P的“k屬派生點”為點，且線段的長為線段長的3倍，求k的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據“k屬派生點”的定義，進行求解即可；（2）分和，兩種情況進行討論求解即可．【詳解】（1）解：由題意，得：，即：，故答案為：．（2）解：設點點P的“k屬派生點”為點，∴，∵，的縱坐標相同，∴軸，如圖，分兩種情況：①當時，，∵，∴，∴；②當時，∵，∴，∴；

綜上：或．【點睛】本題考查點的坐標規律．解題的關鍵是理解并掌握“k屬派生點”的定義．【變式訓練】1．（2023春·河南漯河·七年級統考期末）在平面直角坐標系中，對于點，我們把點叫做點P的友好點，已知點的友好點為點，點的友好點為點，點的友好點為點．……以此類推，當點的坐標為時，點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據的坐標為和友好點的定義，順次寫出點、、、的坐標，發現循環規律，即可求解．【詳解】解：當點的坐標為時，點的友好點的坐標為，點的友好點的坐標是，點的友好點的坐標是，點的友好點的坐標是，……以此類推，∴，，，（n為自然數），∵，∴點的坐標為，故選：C【點睛】此題考查了點的坐標變化規律，從已知條件得出循環規律是解題的關鍵．2．（2023春·吉林松原·七年級統考期末）在平面直角坐標系中，對于點，若點Q的坐標為，則稱點是點的“a級關聯點”．(1)已知點的“級關聯點”是點；(2)已知點的“級關聯點”N位于x軸上，求點N的坐標；(3)在（2）的條件下，若存在點H，且，直接寫出H點坐標．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根據新定義代入求解；（2）先根據新定義寫出坐標，再根據x軸上的點的特征，列方程求解；（3）根據平行直線的關系求解．【詳解】（1）解：由題意得：，即；（2）解：由題意得：，∵N位于x軸上，∴，解得：，∴；（3）解：由（2）得：，∴，∵軸，且，∴或．【點睛】本題考查了點的坐標特征，掌握數形結合思想是解題的關鍵．3．（2023秋·安徽合肥·八年級校考階段練習）在平面直角坐標系中，對于點，若點Q的坐標為，則稱點Q是點P的“a階派生點”（其中a為常數，且）．例如：點的“2階派生點”為點，即點．(1)若點P的坐標為，則它的“3階派生點”的坐標為________；(2)若點P的“5階派生點”的坐標為，求點P的坐標；(3)若點P先向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度后得到了點，點的“階派生點”位于坐標軸上，求點P2的坐標．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根據派生點的定義，結合點的坐標計算后即可得出結論；（2）根據派生點的定義，結合點的坐標列出二元一次方程組，計算后即可得出結論；（3）先根據點的平移特點得出點的坐標為，再由派生點的定義和點的“階派生點”位于坐標軸上，分在軸和軸上，兩種情況進行討論求解即可．【詳解】（1）解：根據新定義，點P的“3階派生點”的坐標為即：；∴點的“3階派生點”的坐標為．（2）由題意，得：，解得：，∴點P的坐標為；（3）∵點先向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度后得到了點∴點∴的“階派生點”為：即當點在x軸上，解得：；此時；當點在y軸上，解得：；此時；∴點的坐標或．【點睛】本題考查了新定義下求點的坐標，平移的坐標表示等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．4．（2023春·北京房山·八年級統考期末）在平面直角坐標系中,不同的兩點，,給出如下定義：若,則稱點，互為“等距點”．例如，點,互為“等距點”．(1),，,四個點中，能與坐標原點互為“等距點”的是________．(2)已知，①若點是點的等距點，且滿足的面積為,求點的坐標；②若以點為中心，邊長為正方形上存在一點與點互為等距點，請直接寫出t的取值范圍．【答案】(1)、(2)①點B的坐標為，，，；②或【分析】（1）根據“等距點”定義，逐點驗證即可得到答案；（2）①設，由題意得到，或，再由的面積為，列式，解得，代入或，即可得到點的坐標為或或或；②根據題意，作出圖形，設，當與點互為等距點，則，分四種情況：當在正方形左邊上；當在正方形右邊上；當在正方形上邊時；當在正方形下邊時，分類討論即可得到答案．【詳解】（1）解：根據“等距點”定義，得：、,，即與坐標原點不是“等距點”；、,，即與坐標原點互為“等距點”；、,，即與坐標原點不是“等距點”；、,，即與坐標原點不是“等距點”；綜上所述，與坐標原點互為“等距點”的是、故答案為：、；（2）解：①，點是點的等距點，設，則，即，或，如圖所示：

的面積為，由圖可知，，解得，當點在上時，由得到；由得到，即點的坐標為或；當點在上時，由得到；由得到，即點的坐標為或；綜上所述，點的坐標為或或或；②如圖所示：

，正方形邊長為，設，當與點互為等距點，則，當在正方形左邊上，有，即，得到，解得或；當在正方形右邊上，有，即，得到，解得或；當在正方形上邊時，有，再由解得或，則或，解得或；當在正方形下邊時，有，再由解得或，則或，解得或；綜上所述，若以點為中心，邊長為正方形上存在一點與點互為等距點，t的取值范圍為或．【點睛】本題考查新定義與坐標問題，讀懂題意，根據新定義結合學過的知識，綜合運用是解決問題的關鍵．【過關檢測】一、單選題1．（2023春·河南開封·七年級統考期末）在平面直角坐標系中，對于點，我們把點叫做點P的友誼點．已知點的友誼點為，點的友誼點為，點的友誼點為…，這樣依次得到點，，，…，，若點的坐標為，則點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據定義，可得，，，，的坐標，進而得到規律每4個點為一個循環，點的坐標依次為，，，，從而計算出點的坐標．【詳解】解：∵點的坐標為，∴的坐標為，即∴的坐標為，即同理可得的坐標為，的坐標為，……，∴以此類推可知每4個點為一個循環，點的坐標依次為，，，∵，∴點的坐標為，故選：A．【點睛】本題主要考查了點的坐標規律探索，正確理解題意找到規律是解題的關鍵．2．（2023春·廣西南寧·七年級統考期末）王老師要求同學們觀察生活中的現象編寫一個數學問題，小穎同學觀察臺球比賽臺球撞擊臺桌時受到啟發，把它抽象成數學問題：如圖，已知長方形，小球P從出發，沿所示的方向運動，每當碰到長方形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角，第一次碰到長方形的邊時的位置為，當小球P第2023次碰到長方形的邊時，若不考慮阻力，點的坐標是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】按照光線反射規律，畫出圖形，可以發現每六次反射一個循環，最后回到起始點，然后計算2023有幾個6即可求出對應點的坐標．【詳解】解：按照光線反射規律，畫出圖形，如下圖：

，，，，，，，…，通過以上變化規律，可以發現每六次反射一個循環，∵，∴，∴點的坐標是．故選：D．【點睛】此題考查了點的坐標規律性變化，解決此類問題的關鍵是找到待求量與序號之間的關系．3．（2023春·河南駐馬店·七年級統考階段練習）如圖，動點M按圖中箭頭所示方向運動，第1次從原點運動到點，第2次運動到點，第3次運動到點，…，按這樣的規律運動，則第2023次運動到點（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據已知點的坐標可以推出動點的橫坐標為，縱坐標按照四個為一組進行循環，進行求解即可．【詳解】解：∵第1次從原點運動到點，第2次運動到點，第3次運動到點，第4次從原點運動到點，第5次運動到點，∴動點的橫坐標為，縱坐標按照四個為一組進行循環，∵，∴第2023次運動到點，即：；故選D．【點睛】本題考查點的坐標規律探究，解題的關鍵是根據已知點的坐標，確定點的坐標規律．4．（2023春·湖北武漢·七年級校考階段練習）如圖，小明同學做了一個實驗：他將小長方形放置在平面直角坐標系中，使得小長方形一個頂點與原點重合，一邊與軸重合．接下來，小明每次將小長方形向右順時針方向旋轉，使得小長方形一邊與軸重合．經過多次實驗，小明總結出：當旋轉2023次時，小長方形最右側與軸的交點的橫坐標為2530．則圖中點A的坐標可能為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】設點，由題意可知小長方形的長為x，寬為y，當旋轉1次時，小長方形最右側與x軸的交點橫坐標為；當旋轉2次時，小長方形最右側與x軸的交點橫坐標為；當旋轉3次時，小長方形最右側與x軸的交點橫坐標為；當旋轉4次時，小長方形最右側與x軸的交點橫坐標為；當旋轉5次時，小長方形最右側與x軸的交點橫坐標為；….；由此可得規律進行求解．【詳解】解：設點，由題意可知小長方形的長為x，寬為y，∴當旋轉1次時，小長方形最右側與x軸的交點橫坐標為；當旋轉2次時，小長方形最右側與x軸的交點橫坐標為；當旋轉3次時，小長方形最右側與x軸的交點橫坐標為；當旋轉4次時，小長方形最右側與x軸的交點橫坐標為；當旋轉5次時，小長方形最右側與x軸的交點橫坐標為；…..∴當旋轉的次數為n，若n為偶數時，對應的橫坐標為；若n為奇數時，對應的橫坐標為，∴當時，則有，解得：，∴點A橫縱坐標之和為2.5；故選：B．【點睛】本題主要考查點的坐標規律，解題的關鍵是得到點的坐標的一般規律．5．（2023春·山東濟寧·七年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系中，軸，軸，點D、C、P、H在x軸上，，，，，，把一條長為2023個單位長度且沒有彈性的細線（線的粗細忽略不計）的一端固定在點A處，并按…的規律緊繞在圖形“凸”的邊上，則細線另一端所在位置的點的坐標是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出凸形的周長為16，得到的余數為7，由此即可解決問題．【詳解】解：∵，，，，，∴“凸”形的周長為16，∵的余數為7，∴則細線另一端所在位置的點的坐標是．故選：B．【點睛】本題考查了點坐標規律探究，解題的關鍵是理解題意，求出“凸”形的周長，屬于中考常考題型．二、填空題6．（2023春·湖北荊州·七年級統考期末）在平面直角坐標系中，對于點，我們把叫做點P的友好點．已知點的友好點為，點的友好點為，點的友好點為，這樣依次得到各點．若的坐標為，則點的坐標為．【答案】【分析】設，求出、、、的坐標，找到規律，即可求出的坐標．【詳解】解：根據題意，設點的坐標為，則，，，，由此可知，每四次一循環，因為，所以，，解得：，，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了規律型：點的坐標，解答本題的關鍵是準確理解題意，發現變換規律，求出字母的值．7．（2023春·山東青島·八年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系中，軸上有一點，點第1次向上平移2個單位至點，接著又向左平移2個單位至點，然后再向上平移2個單位至點，向左平移2個單位至點，照此規律平移下去，點平移至點時，點的坐標是．

【答案】【分析】根據題意確定平移規律即可求解．【詳解】解：由題意得：點與點的橫坐標相同點的橫坐標比點的橫坐標減少：即點的橫坐標為：∴點的橫坐標也為：而點的縱坐標比點的縱坐標增加：∴點的縱坐標為：∴點的坐標是故答案為：【點睛】本題考查坐標的規律探索．確定平移規律是解題關鍵．8．（2023秋·四川達州·八年級統考期末）在平面直角坐標系中，對進行循環往復的軸對稱變換，若原來點的坐標是則經過第2022次變換后所得的點的坐標是．

【答案】【分析】觀察圖形可知每四次對稱為一個循環組依次循環，用除以，然后根據商和余數的情況確定出變換后的點所在的象限，然后解答即可．【詳解】解：∵點第一次關于軸對稱后在第四象限，坐標為點第二次關于軸對稱后在第三象限，坐標為點第三次關于軸對稱后在第二象限，坐標為點第四次關于軸對稱后在第一象限，即點回到原始位置，坐標為∴每四次對稱為一個循環組依次循環，∵，∴經過第2022次變換后所得的點與第二次變換的位置相同，在第三象限．故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱的性質，點的坐標變換規律，讀懂題目信息，觀察出每四次對稱為一個循環組依次循環是解題的關鍵，也是本題的難點．9．（2023春·內蒙古興安盟·七年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知點，，將順著軸無滑動的滾動．第一次滾動到①的位置，點的對應點記作點；第二次滾動到②的位置，點的對應點記作點；第三次滾動到③的位置，點的對應點記作點；；依次進行下去，發現點，，，，則點的坐標為．

【答案】【分析】根據圖形的變化，找到規律，再計算求解．【詳解】解：∵，，∴，由題意得：三角形滾動次為一個周期，向右移動，∵，，，∴點的坐標為，故答案為：．【點睛】本題考查了坐標的變化規律，找到變化規律是解題的關鍵．10．（2023春·河北保定·八年級統考期中）如圖，在平面直角坐標系中，已知，以為直角邊構造等腰直角三角形，再以為直角邊構造等腰直角三角形，再以為直角邊構造等腰直角三角形，…按此規律進行下去．

（1）的長度為；點的坐標為；（2）若的面積為16，則n的值為．【答案】26【分析】（1）根據等腰直角三角形的性質得到，，，，…，，再利用、、、…，每8個一循環，再回到x軸的負半軸的特點可得到點在y軸負半軸上，即可確定點的坐標；（2）由（1）得：，，，，…，可得，的面積為，再建立方程求解即可．【詳解】解：（1）∵，等腰直角三角形的直角邊在x軸的負半軸上，且，以為直角邊作第二個等腰直角三角形，以為直角邊作第三個等腰直角三角形，…，∴，，，，…，∵、、、…，每8個一循環，再回到x軸的負半軸，，∴點在第三象限，∵，由等腰直角三角形的性質可得的橫坐標與縱坐標都為，∴點的坐標為：．故答案為：；；（2）由（1）得：，，，，…，∴，∴的面積為，∵的面積為16，∴，∴，∴，解得；故答案為：6【點睛】本題考查了規律型：點的坐標，等腰直角三角形的性質：等腰直角三角形的兩底角都等于；斜邊等于直角邊的倍．也考查了直角坐標系中各象限內點的坐標特征，勾股定理的應用．三、解答題11．（2023春·河南周口·七年級統考期中）如圖，長方形中，O為平面直角坐標系的原點，A點的坐標為，C點的坐標為，點B在第一象限內，點P從原點出發，以每秒2個單位長度的速度沿著O→A→B→C→O的路線移動（即沿著長方形移動一周）．

(1)直接寫出點B的坐標；(2)當點P移動了3秒時，在圖中描出此時P點的位置，并求出點P的坐標；(3)在移動過程中，當點P到x軸距離為4個單位長度時，并求點P移動的時間．【答案】(1)；(2)P點的位置見解析，點P的坐標是；(3)點P移動了4秒或8秒【分析】（1）根據圖形及坐標的定義直接求解即可得到答案；（2）根據時間得到路程即可得到點的坐標；（3）根據距離列式求解即可得到答案；【詳解】（1）解：由圖像可得，∵四邊形是長方形，∴，，∴；（2）解：∵點P從原點出發，以每秒2個單位長度的速度沿著O→A→B→C→O的路線移動，∴點P移動了3秒時路程為：，位于邊上，如圖所示，

∴，∴點P的坐標是；（3）解：①當點P在上時，，走過的路程是個單位長度，

移動的時間為：(秒)；②當點P在上時，，走過的路程是個單位長度，移動的時間為：(秒)，綜上所述，當點P移動4秒或8秒時，點P到x軸距離為4個單位長度；【點睛】本題考查平面直角坐標系中動點問題，解題的關鍵是熟練掌握點到坐標軸距離及分類討論．12．（2023春·七年級課時練習）在平面直角坐標系中，一只螞蟻從原點O出發，按向上、向左、向下、向下、向左、向上的方向依次不斷移動得，，，，，，…，每次移動的距離分別為1，1，1，2，2，2，3，3，3，…，其行走路線如圖所示．

(1)寫出下列各點的坐標：，，，；(2)寫出點的坐標（n為正整數）；(3)求螞蟻從原點O移動到點的路程．【答案】(1)，，，；(2)；(3)198．【分析】（1）根據圖象可