試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat20頁2024屆浙江省杭金湖四校高三上學期第六次聯考數學試題一、單選題1．已知集合，則集合有（）個子集．A．0 B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】先求出集合，再結合子集的結論求解即可.【詳解】由題意，，所以集合有個子集．故選：C.2．已知向量與直線平行且，，則向量在向量方向上的投影向量可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據向量與直線平行，建立方程求出向量的坐標，利用投影向量的計算公式，可得答案.【詳解】設，由直線方程，則其斜率為，由向量與直線平行，則，化簡可得，由，則，化簡可得：，解得，當時，則，所以，又，向量在向量方向上的投影向量為；當時，則，所以，向量在向量方向上的投影向量為；綜上，可知ACD錯誤，B正確.故選：B.3．已知、滿足，，則的實部是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設，，根據復數的運算可得出關于、、的方程組，解出這三個未知數的值，即可得出復數的實部.【詳解】由題意可設，，，由，，得，.即，解得或，，即的實部是.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：本題考查復數實部的求解，解題的關鍵在于設出復數，利用復數的運算列方程組求解.4．函數的大致圖象為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先判斷函數的奇偶性，再利用特殊值及排除法判斷即可；【詳解】解：函數定義域為，則，即為奇函數，函數圖象關于原點對稱，故排除A、B；又，故排除D；故選：C5．“楊輝三角”是中國古代重要的數學成就，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數陣，記為圖中所選數1，構成的數列的第項，則的值為（）A．252 B．426 C．462 D．924【答案】C【分析】根據題意，結合數字的構成規律，得到即第11行的第項，結合二項展開式的二項式系數的性質，即可求解.【詳解】由“楊輝三角”拓展而成的三角形數陣，記為圖中所選數，構成的數列的第項，根據數字的構成規律，可得數列的奇數項為每行數列的項，偶數項為每行的第項，則即第11行的第項，結合二項展開式的二項式系數的性質，可得.故選：C.6．銳角滿足，則下列等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據同角三角函數之間的基本關系將切化弦，再由二倍角公式對式子化簡可得，利用兩角差的余弦公式的逆運用可知，結合角的范圍可得，再由誘導公式即可求得.【詳解】根據題意由可得，即，由二倍角公式可得，即；所以，又因為銳角，可得，因此，即，所以，即.故選：A7．已知橢圓的左頂點為A，右焦點為，過右焦點作x軸垂線交橢圓于B、C兩點，連結BO并延長交AC于點M，若M為AC的中點，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據圖像，求出各點坐標結合向量共線，求出關系即可.【詳解】當時，，所以，則，，則，則.故選：A8．已知，，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】根據題意可求得，再由夾角余弦值的計算公式可得，利用基本不等式即可求得其最小值為.【詳解】由，可得；所以；因此，所以，顯然，所以，當且僅當時，等號成立；此時的最小值為.故選：C二、多選題9．某地區高三男生的身高X服從正態分布，則（

）A． B．若越大，則越大C． D．【答案】AC【分析】根據隨機變量服從正態分布，求得對稱軸，再根據曲線的對稱性，即可求解答案．【詳解】由題意，隨機變量服從正態分布，所以，即正態分布曲線的對稱軸為，,A選項正確;,C選項正確;又由，則，D選項錯誤;若越大，則數據越分散，越不集中在平均數附近，越小，B選項錯誤.故選：AC．10．函數，下列說法正確的是（）A．是周期函數 B．最大值是1C．圖像至少有一條對稱軸 D．圖像至少有一個對稱中心【答案】BC【分析】根據周期函數的定義，判斷A，根據三角函數的性質，即可判斷B，根據對稱函數的定義，即可判斷CD.【詳解】A.若函數是周期函數，則，那么，與有關，不是常數，故不是周期函數，故A錯誤；B.設，，則的最大值為1，故B正確；C.若是函數的對稱軸，則，即，則，所以，，，若與無關，則，所以函數的對稱軸是，故C正確；D.若是函數的對稱中心，則，即，即，顯然，隨著的變化而變化，所以函數沒有對稱中心，故D錯誤.故選：BC11．已知，則下列命題為真命題的是（）A．的取值范圍為B．的取值范圍為C．的取值范圍為D．的取值范圍為【答案】BCD【分析】根據特殊值、點到直線的距離公式、函數的單調性、三角恒等變換、三角函數的值域等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，時，，所以A選項錯誤.B選項，表示直線在第一象限的部分，原點到直線的距離為，而直線的橫截距和縱截距為，所以的取值范圍為，所以B選項正確.C選項，由圖可知，令，則，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，所以最小值為，所以，也即的取值范圍為，所以C選項正確.D選項，由，得，，.故選：BCD12．在空間直角坐標系中，有以下兩條公認事實：（1）過點，且以為方向向量的空間直線l的方程為；（2）過點，且為法向量的平面的方程為．現已知平面，，，（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】根據公認事實求出直線的方向向量與平面的法向量，用空間向量判斷它們之間的位置關系.【詳解】平面，則平面法向量為，對，則，即，所以過點，方向向量為，所以，所以，所以，故A錯誤D正確.對，即，所以過點，方向向量為，點代入平面方程成立，所以與平面有公共點，故B錯誤；對，所以過點，方向向量為，因為，所以，所以或，但點代入平面不成立，故，所以，所以C正確.故選：CD三、填空題13．已知函數，曲線在點處的切線方程是．【答案】【分析】根據導數的幾何意義即可求解切線方程.【詳解】，，，所以曲線在點處的切線方程是，即.故答案為：14．用4種不同顏色給一個正四面體涂色，每個面涂一種顏色，4個顏色都要用到，共有種涂色的方法．【答案】2【分析】先規定其中一種顏色為底面（固定），其它面可以旋轉，進而結合排列組合知識求解即可.【詳解】不妨先規定其中一種顏色為底面（固定），其它面可以旋轉，正四面體展開圖如下：此時再涂其他三種顏色，共有種方法.故答案為：2.15．直線與直線所成夾角大小為．【答案】【分析】根據直線的斜率與傾斜角的關系以及兩角差的正切公式求得結果.【詳解】設直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，兩條直線夾角為，則，，則，，所以.故答案為：.16．若正四面體的棱長為3，平面ABC內有一動點P到平面、平面、平面的距離依次成等差數列，則點P在面內的軌跡的長度為.【答案】2【分析】根據題意，設動點P到平面、平面、平面的距離分別為，正四面體的棱長為3，求出每個面的面積為，高，由正四面體的體積得到，再由滿足P到平面、平面、平面的距離的成等差數列，即可求出點P到平面的距離，即可求得點P在面內的軌跡，利用三角形相似求得即可.【詳解】設動點P到平面、平面、平面的距離分別為，因為正四面體的棱長為3，每個面的面積為，如圖，取的中點，連接，過作平面，垂足為，則，所以高，所以正四面體的體積，所以.因為滿足點P到平面、平面、平面的距離成等差數列，所以，所以.因為點P到平面的距離為定值，且平面平面，所以點P的軌跡是平行的線段，又為平面與平面的夾角，則，所以，即線段與的距離為，在中，，所以，即點P在面內的軌跡的長度為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：利用等體積法求點面距離問題是解決本題的關鍵，涉及正四面體的結構特征和體積，考查空間想象能力和計算能力.四、解答題17．直角三角形ABC斜邊上一點D滿足，(1)求證:；(2)若，求角B的大小．【答案】(1)證明見解析(2)60°【分析】（1）根據誘導公式求出角關系，由角相等得出邊相等；（2）由正弦定理邊角轉化再結合二倍角余弦公式計算，最后結合角的范圍求角即可.【詳解】（1）∵

∴

∴

∴

∴

∴；（2）,,,,或,因為角B為銳角，所以.18．已知數列的前項和為，滿足，.(1)求的通項公式；(2)若，求數列的前20項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）結合題設變形為，可得數列是以1為首項，1為公差的等差數列，進而求得，進而結合和的關系求解即可；（2）結合（1）可得，結合裂項相消求和即可.【詳解】（1）由，得，而，因此數列是以1為首項，1為公差的等差數列，所以，即，當時，，顯然也滿足上式，所以.（2）由（1）知，，，因此，所以.五、證明題19．如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，.(1)求證：；(2)若平面平面PBC，且中，AD邊上的高為3，求AD的長.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據線面垂直的判定定理，結合等腰三角形的性質進行證明即可；（2）建立空間直角坐標系，根據空間向量數量積的運算性質進行求解即可.【詳解】（1）設線段的中點為，連接，因為，所以，又因為，所以，因為平面，所以平面，平面，所以；（2）過點作垂直直線于，則有，因為平面平面ABCD，平面平面ABCD，平面，所以平面ABCD，連接，因為，，所以可得，而，所以四邊形是菱形，而，所以四邊形是正方形，因此建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，設平面的法向量為，，同理可得平面的法向量為，，因為平面平面PBC，所以.六、解答題20．隨著人口老齡化的到來，我國的勞動力人口在不斷減少，“延遲退休”已經成為人們越來越關注的話題，為了了解公眾對“延遲退休”的態度，某校課外研究性學習小組對某社區隨機抽取了5人進行調查，將調查情況進行整理后制成下表：年齡[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）人數45853年齡[45，50）[50，55）[55，60）[60，65）[65，70）人數67354年齡在[25，30），[55，60）的被調查者中贊成人數分別是3人和2人，現從這兩組的被調查者中各隨機選取2人，進行跟蹤調查．(1)求年齡在[25，30）的被調查者中選取的2人都是贊成的概率；(2)求選中的4人中，至少有3人贊成的概率；(3)若選中的4人中，不贊成的人數為X，求隨機變量X的分布列和數學期望．【答案】(1)(2)(3)分布列見解析；期望為【分析】（1）年齡在，的被調查者中贊成人數為3人，設“年齡在，的被調查者中選取的2人都贊成”為事件A即可解出；（2）設“選中的4人中，至多有3人贊成”為事件，即有一人贊成，有兩人贊成，有三人贊成，即可解出；（3）選中的4人中，不贊成的人數為，則可以取值0，1，2，3，即可得出求隨機變量的分布列和數學期望.【詳解】（1）設“年齡在，的被調查者中選取的2人都贊成”為事件A，所以；（2）設“選中的4人中，至多有3人贊成”為事件，所以；（3）可以取值0，1，2，3所以；；；；所以X的分布列是：0123．七、證明題21．已知橢圓經過點，離心率為．(1)求橢圓的標準方程；(2)設橢圓的左、右兩個頂點分別為，為直線上的動點，且不在軸上，直線與的另一個交點為，直線與的另一個交點為，為橢圓的左焦點，求證：的周長為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）、利用已知條件列出方程組，求解，從而得到橢圓得標準方程；（2）、設出直線、的方程，與橢圓方程聯立，求出坐標，計算，求出直線的方程，分析出故直線經過定點，從而求出的周長為定值．【詳解】（1），，橢圓經過點，，，，橢圓C的標準方程為．（2）解法一：證明：由題意可知，，設，直線的方程為，直線的方程為，聯立方程組可得，可得，所以，則，故．由可得，可得，所以，則，故，所以，故直線的方程為，即，，故直線過定點，所以的周長為定值8．當時，或，可知是橢圓的通徑，經過焦點，此時的周長為定值，綜上可得，的周長為定值8．解法二：當直線斜率存在時，設其方程為：，由．設，則有，直線，令，得，直線，令，得，所以，由，所以，即，化簡得或．時直線過點（舍），所以，即直線的方程為，過定點．當直線的斜率不存在時，設其方程為：，則有，代入，直線也過定點，綜上所述，直線始終經過橢圓的右焦點，故的周長為定值．解法三：當M位于橢圓的上頂點，則此時，直線與相交于點，則直線的方程為，聯立橢圓方程可得：，則可知，易知直線經過橢圓的右焦點，此時的周長為定值，猜想，若的周長為定值，則直線經過橢圓的右焦點．證明如下：依題意直線的斜率不為0，設直線的方程為，代入橢圓方程得：，設，則．直線，令，得，直線，令，得，因為，所以直線的交點在直線上，即過直線上的點T所作的兩條直線和分別與橢圓相交所得的兩點M、N形成的直線始終經過橢圓的右焦點，故的周長為定值．八、解答題22．已知函數）.(1)討論的單調性；(2)若時，，求實數的取值范圍；(3)對任意，證明：.【答案】(1)答案見解析(2)(