2023屆高三第一次模擬考試數學試卷

學校:姓名：班級：—

一、單選題

1.集合A={Hd>4},B={X|-5<X<1),則低A)CB=()

A.{x|-5<x<-2}B.{x|-2<x<2jC.{x|-2<x<1}D.{x|-2<x<l}

2.若p:|3x-4|<2,q:-^--<O,則rP是F的（）

x'-x-2

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.為了了解一片經濟林的生長情況，隨機抽測了其中60株樹木的底部周長（單位：cm）,

所得數據均在區間［80,130］上，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的60株樹木中,

樹木的底部周長小于100cm的棵數是（）

頻率

5.當曲線二？與直線區-y+2Z+4=0有兩個不同的交點時，實數4的取值范圍

是（）

33533

A.（--,0）B.C.［-1,--）D.

441244

6.設為>1,若優="v=3，a+2b=6丘,則一+'的最大值為（）

xy

A.4B.3C.2D.1

22

7.已知雙曲線C:工-乙=1,點尸是。的右焦點，若點。為C左支上的動點，設點戶

124

到6■的一條漸近線的距離為4則"+IPFI的最小值為（）

A.2+46B.C.8D.10

8.將函數/（x）=cos（s+￡|（0>O）的圖象向右平移?個單位長度后得到函數g（x）的圖

D.1

x2+后+2%2,用,0

9.已知函數/*）=若關于x的不等式/（%），，k的解集為［凡，?］。以句,

|lnx|,x>0

1?7

S^n<a9mn+ab--k<—,則實數2的取值范圍為()

D.12，q1)

二、填空題

10.已知i為虛數單位,則復數知21=

11.若Y的展開式中二項式系數之和為256,則展開式中常數項是

,4.

12.已知工＞2,則-^+工的最小值是.

x-2-

13.圓柱的體積為底面半徑為且，若該圓柱的兩個底面的圓周在同一個球的球

42

面上，則該球的體積為.

三、雙空題

14.某志愿者召開春季運動會，為了組建一支朝氣蓬勃、訓練有素的賽會志愿者隊伍，

欲從4名男志愿者，3名女志愿者中隨機抽取3人聘為志愿者隊的隊長，則在“抽取的

3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是

；若用X表示抽取的三人中女志愿者的人數，則E(X)=.

7

15.已知平面四邊形ABC。，AC1BD,AB=3,AD=2,OC=行AB,則/皿)=

動點￡,廠分別在線段。C,C8上，且￡＞E=；l￡)C，CF=ACB＞則尸的取值范

圍為____■

四、解答題

16.記一ABC的內角/,B,C的對邊分別為a,b,c,已知點〃為48的中點，點￡滿足

AE=2EC，且acosA+acos(B-C)=2G6cos(7r-A)sinC.

⑴求4

(2)若BC=M，DE=y/1,求一ABC的面積.

⑴求證：「平面BEG；

⑵若Afi=2,心=0,求點A到平面BEq的距離;

(3)當44為何值時,二面角E-BC「C的正弦值為叵?

AB5

18.已知坐標平面內三點A(—2,T),B(2,0),C(—1,1).

(1)求直線AB的斜率和傾斜角：

(2)若A,8,C,。可以構成平行四邊形且點〃在第一象限，求點。的坐標：

19.已知等差數列｛q｝的前〃項和為S〃，公差d>0,且4必=24嗎+4=10.

⑴求數列｛叫的通項公式；

⑵若(="+(+…+!(〃eN*),求

20.已知函數〃x)=fe*.

⑴求曲線y=〃x)在點處的切線方程；

(2)證明：當x>0時，/(x)>3e'-2e.

參考答案：

1.D

【分析】解出集合A,利用補集和交集的含義即可得到答案.

【詳解】e>4,則x>2或x<—2,則4={%|l<一2或x>2},^A={x\-2<x<2}f

5={x|-5<x<l）,則（4A）c8={x|-2Wxvl},

故選：D.

2.B

【分析】首先解不等式得到力：工之2或xW：2,fxN2或1,再根據包含關系

即可得到答案.

22

【詳解】|3x—4|<2,W-2<3%-4<2,即一<x<2,即力：x>2^x<~.

33

由一^―--<0WX2-X-2<0,BP-l<x<2,r：x>2^x<-\.

x2-x-2

因為{4rN2或xWT}。{乂工之2或工41},

所以“是F的必要不充分條件.

故選：B

3.C

【分析】由已知可得，/（0）=4,可得出A、B項錯誤；根據/（兀）>0,可得出D項錯

誤.

【詳解】由己知可得，“X）定義域為R,且〃0）=品箸=；=4,所以A、B項錯

誤；

又〃一*）=嗎筌㈡=點提=/。），所以f（x）為偶函數?

又，（兀）=空署=J=T>0,所以D項錯誤，C項正確，

故選：C.

4.B

【分析】根據頻率直方圖中小矩形的面積代表這一組的頻率進行求解即可.

【詳解】由頻率直方圖可知：樹木的底部周長小于l（X）cm的棵數為：

（0.015+0.025）x10x60=24,

故選：B

5.C

試卷第5頁，共16頁

【分析】作曲線y=與直線丫=依+2左+4的圖象，計算出直線y="+2左+4與

曲線y=相切時對應的實數上的值，數形結合可得結果.

【詳解】對方程y=變形得V=4--，即/+產=4（”0）,

所以曲線、=”^/表示圓/+>2=4的上半圓，

對直線方程變形得y=M》+2）+4,該直線過定點P（-2,4）,且斜率為3如下圖所示:

當直線丫=丘+2%+4與半圓》="二7相切時，則有電也=2,解得左=一,

收+14

當直線y=^+2Z+4過點4（2,0）時，4+4*=0,解得％=-1.

由圖形可知，當曲線y=與直線y=^+2Z+4有兩個相異的交點時，

故選：C

6.C

【分析】先解出羽兒再根據對數性質化簡，最后根據基本不等式求最值.

［詳解］Q優=by=3x=log.3,y=log>3

=log3a+log3b=logs（〃b）

xy

Qa+2b=6>/2>2>Ja-2h:.ah<9（當且僅當a=2Z?時取等號）

因此L+，41og39=2

xy

即的最大值為2,

xy

故選：c

【點睛】本題考查指數式與對數式轉換、對數運算性質、基本不等式求最值，考查綜合

試卷第6頁，共16頁

分析求解能力，屬中檔題.

7.A

【分析】設雙曲線左焦點為9(-4。)，求出其到漸近線的距離，利用雙曲線定義將

d+\尸尸I轉化為2a+\PE\+\PF'\,利用當P,F',E三點共線時,2a+|P目+仍尸|取得最小

值，即可求得答案.

【詳解】由雙曲線C：K-￡=i,可得。=26/=2,尸(4,0),

124

設雙曲線左焦點為F'(-4,0),不妨設一條漸近線為/：'=-2*=-3彳，即x+G)，=0,

a3

作PE，/,垂足為反即|尸曰二1,

|-4|

作FHLI,垂足為目,則1/m二不彳忘T=2,

因為點尸為C左支上的動點，

所以|PF|P尸'I=2a,可得|叩=2a+1,

^d+\FP\=\PE］+2a+\PF'\=2a+\PE\+\PF'\,

由圖可知，當P尸,E三點共線時，即￡和〃點重合時，2a+|PE|+|屏'|取得最小值，

最小值為2x26+1F'H|=4＞/3+2,

即d+|PF|的最小值為4宕+2,

故選：A.

8.B

［分析］求得g(x)=COs(0X_^+?｝由可求得

?＜的-等+?＜防+?,結合函數g(x)的單調性可得出關于0的不等式，由此可得

出。的最大值.

【詳解】將/(X)的圖象向右平移?個單位長度后得到g(X)=COs(s-等+￡|的圖象.

試卷第7頁，共16頁

7T57V}71CD7T7171

因為二，丁，所以:<5-——+-<^+--,

144；4444

上單調遞減，所以3r+frrW"，0<^<34,所以。的最大值為3:

444

故選：B.

9.A

【分析】易知々>0,由表達式畫出函數圖像，再分類討論產2與函數圖像的位置關系，

結合不等關系即可求解

【詳解】易知當2>0,*,0時，/（X）=工2+6+2左2++（公，

/（X）的圖象如圖所示.

當直線y=%在圖中4的位置時，^k2<k<2k2,得；<k",

“，"為方程》2+五+2A：2_&=o的兩根，

即d+丘+2/-4=0的兩根，

故，=2/-%；

而ab=l

11327

貝一一k=2k2-k+l一一k=2k2--k+\<—

222329

1514

即64公-48左+5<0,解得所以

當直線y=G在圖中4的位置時，2心左且左>0,得0<葭；；此時”=0

112751

貝！J帆〃——k=1——k<—,得一<k<—.

2232162

所以，女的取值范圍是島J

【點睛】本題考查函數零點與方程根的關系，數形結合思想，分類討論思想，屬于中檔

題

10.i.

【解析】直接利用虛數單位i的運算性質得答案.

試卷第8頁，共16頁

【詳解】產=(力5?;

故答案為：i.

【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查了虛數單位i的性質，是基礎題.

11.28

【分析】根據二項式展開式的系數和公式可得”的值，然后再利用展開式通項公式求得

常數項.

【詳解】解：因為x2--^=的展開式中二項式系數之和為256,

3/Z2

所以2"=256,故”=8,即該二項式為卜2-戶JI

(22

9

當16-2k-§Z=0時，即k=6,此時該項為C；X(-1)6=28

故答案為：28.

12.6

【分析】根據給定條件，利用均值不等式計算作答.

【詳解】x>2,則/一+》=/-+。-2)+222、'一.1-2)+2=6,當且僅當

X—2X~2yx~2

4

——=x-2,即冗=4時取“二”，

所以「4工+x的最小值是6.

故答案為：6

13.包

3

【分析】利用柱體的體積公式求出圓柱的高，由勾股定理求出球的半徑，根據球的體積

公式可得結果.

設圓柱的高為〃，

圓柱體積為g乃，底面半徑為走,

試卷第9頁，共16頁

一但。3,i

I2J4

設球半徑為R,

則(2對=(若『+-,

4R2=4>可得R=1,

4a4-4

???球的體積為§萬乃，故答案為§不.

【點睛】本題主要考查圓柱與球體的性質，以及柱體與球體的體積公式，意在考查綜合

運用所學知識解答問題的能力，考查了空間想象能力，屬于中檔題.

292

14.--##1-

1779

【分析】由條件概率公式計算在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取

的3人中全是男志愿者”的概率，由古典概型概率公式計算事件X=0,1,2,3的概率，再

由期望公式公式得結論.

【詳解】由題意三人全是男志愿者，即事件X=。，P(X=0)=裊=2,

P(X=1)=嚕1點，尸(x=2)=害=芥尸(X=3)爺=*,

…、

E(X)=1x-1---8F2cx-l---2F3cx—l=9一,

3535357

再記全是男志愿者為事件A,至少有，名男志愿者為事件8,

434

P(A)=P(X=0)=與，P(B)=1-P(X=3)=—,

4

RAB)42

P(A|B)=

P(B)3417

35

故答案為：A29

7

819

15.—##120°

364,4

【分析】根據向量基本定理和向量垂直的數量積為。計算得到3/碗=1,求出

2兀一

ZBAD=—,建立直角坐標系，寫出點的坐標，表達出向量4E,A尸的坐標，從而求出

向量數量積的關系式，求出取值范圍.

7

【詳解】AC=AD+DC=AD+—ABfBD=AD—AB，

試卷第10頁，共16頁

所以4c?BD=(4。+:AB)(4。-48)=加-248?A。一*府

=4——\AB\]AD\COSZBAD——x9=------cosZBAD=O

1211111242f

解得：cosZBAD=--,

2

因為/84。?0,兀）,

所以NBA￡>=w，

以力作坐標原點，<6所在直線為x軸，垂直46的直線為y軸建立平面直角坐標系,

則A（O,O）,8（3,O）,“-1,6）,C（*K）,

因為DE=2OC，CF=2CB，0W4W1

所以設E（加，⑹，產（M，

由（而+1,0）=/1仔,01導：m=^-\,

（〃_j,f-6）=%（',一百），解得：”=：2+[,f,

所以破4尸=臣-1[件+￡）+6心-河嗯*假中、

當2=1時，AEMF=—fA-1^+以取得最小值，最小值為萼,

216（2）6464

當a=0或1時，取得最大值，最大值為9:

4

2兀819

故答案為：y，

16.⑴A號;

⑵也.

2

試卷第11頁，共16頁

【分析】(1)由三角形內角性質及正弦定理邊角關系可得sinA=-百cosA,進而求角

的大小；

3

(2)在叢ABC、座中應用余弦定理可得從+/+歷=19、b=^c，求出Ac,再由

三角形面積公式求面積.

(1)

由A+8+C=TT得：-6TCOS(B+C)4-6?COS(B-C)=-2\/3Z?cosAsinC,即

2asinBsinC=-2\[3bcosAsinC,

由正弦定理得sinAsin3sinC=一百sinBcosAsinC,

在△46。中sin8>0,sinC>0,故sinA=-V^cosA,貝hanA=-V5,

因為A￡(0,7T),所以A=^.

(2)

22

在△45。中，由余弦定理/=b+c-2hccosAf得/?2+°2+歷=19,

在△?丹1中，由余弦定理得竺1+二+如=7,

943

所以也+g+心口從+。2+咐,化簡得52〃一246c-81c;(J,即

94319v7

(2/7-3c)(26Z?+27c)=0,

3

所以。=5%代入匕2+，+反=19得：b=3,c=2,

則△4?。的面積S4=—^sinA=3sin—=-

，A'。232

17.(1)證明見解析

⑵如

3

(3)1

【分析】(1)連接CB、交BG于點/，連接EF,根據中位線即可證明EF//ABt,再利用線

面平行判定定理即可證明；

(2)根據正三棱柱的幾何特征,求出各個長度及$BEC、，SAM,再用等體積法即可求得；

(3)建立合適空間直角坐標系,設出AB，4A長度,找到平面EBG及平面B￡C的法向量，

試卷第12頁，共16頁

建立等式，求出AB,AA長度之間的關系即可證明.

【詳解】（1）證明:連接C4交BG于點F,連接EF如圖所示:

因為三棱柱ABC-AMG,

所以四邊形28CC為平行四邊形，

所以尸為cq中點，

因為E是AC中點，

所以EF〃AB-

因為EFu平面BEG,平面BEG,

所以明/平面5EG；

（2）由題知，因為正三棱柱A8C-

所以CGJ.平面A8C,

且/WC為正三角形，

因為AB=2,然=O,

所以BE=G,EJ=6BC、=瓜,

所以△8EG為直角三角形，

S呵=gxbxg=|,

S%E=gxlxK=#，

記點A到平面BEG的距離為/?,

則有匕一8四=-ABE,

即3'S*XA=—XSABExCC1,

BP-X—xft=-XXA/2,

3232

試卷第13頁，共16頁

解得h=瓜,

3

故A到平面BEG的距離為顯；

3

(3)由題，取AG中點為H,可知E”〃CC1,

所以平面ABC,

因為ABC為正三角形，E是AC中點，

所以3EJ_AC,

故以E為原點，EC方向為x軸，E“方向為》軸，￡?方向為z軸建立如圖所示空間直角

坐標系，

B<___________________少

X

不妨記A3=a，AA=",

所以E(0,0,0)華+C亶也和。,

）20

力瑤人亭但加坐

二（0八0）,

記平面E8C1的法向量為”=a，y,zj,

n-BC,=0

則有,

n-EB=0

a,,島

3玉+如一——z,=0n

即廠，

叵■&=0

I2

取士=2%,可得〃=(24一&0)；

記平面BC￡的法向量為機=(工2，丫2,22)，

試卷第14頁，共16頁

姐=0

即《a.\/3a

-x2+by2---z2=0

取&=百，可得機=（6,0,1）；

因為二面角E-B￡-C的正弦值為萼,

mn

所以卜os（，〃,〃，=

解得：a=b,

即當黑=1時，二面角E-BC「C的正弦值為畫.

AB5

18.（1）斜率為1,傾斜角為:；

4

⑵（3,5）：

【分析】（1）根據直線的斜率公式可求得AB的斜率，進而求得傾斜角；

（2）根據平行四邊形對邊平行，可得對邊斜率相等，設。（x,y）,由斜率公式列出方程

組，即可求得答案.

【詳解】（1）由題意可知直線A8的斜率為Y、=l,

直線傾斜角范圍為［0遂），所以直線4B的傾斜角為￡；

（2）如圖，當點。在第一象限時，kCD=kAB,kBD=kAC,

試卷第15頁，共16頁

匕Li

x-3

設。(x,y),則?工"解得

y=5‘

、x—2—1+2

故點。的坐標為(3,5)；

19.(1)an=2n

⑵?；=號

w+1

【分析】(1)利用等差數列下標和性質得出+4=10，聯立解得%=4,4=6,求出d值,

寫出通項即可；

(2)利用等差數列前”和公式求得5,,=吟也=〃(〃+1),則］=』一一」，最后利

2Snnn+1

用裂項相消求和即可.

【詳解】(1)等差數列{%},公差d>0,=24,4+。4=/+。3=1°.

解得。2=4,%=6,或%=6,%=4,但此時d=一2<0

故d=2,/.an=%+(〃-2”=4+2(〃-2)=2〃

(2)ax=a2-d=4-2=2f

men(2+2n)/八j___1_

貝ljS=——=n(n+1),

nS〃〃伽+1)n〃+1

20.⑴3ex-y-2e=0；

(2)證明見解析.

【分析】(1)先求出切線的斜率，再求出切點即得解；

(2)令F(x)=〃x)—3e，+2e,利用導數求出函數的最小值即得證.

【詳解】(1)解：由題得r(x)=2xe*+x2e，，所以/'⑴=3e,

又/(l)=e,所以切線方程為y—e=3e(x—1),即3er-y-2e=0.

(2)證明：^F(x)=/(x)-3ex+2e=x2eJt-3e"+2e,

F(x)=2xex+x2ex-3e'=ex(x2+2x-3)=ev(x+3)(x-l),

當xw(0,l)時，F'(x)<0,當xe(l,母)時，r(x)>0.

試卷第16頁，共16頁

所以尸（X）在（0,1）上單調遞減，在（L”）上單調遞增.

所以當x>0時，尸（幻,布=~（1）=0，

.?.x>0時，F（x）>0

故當x>0時，/（x）>3e,t-2e.

2022-2023學年高三下學期第二次模擬考試數學試卷

學校__姓名：_班級：-

一、單選題

1.已知集合N={-l,0,l,2,3},則McN=()

A.{0,1,2)B.{-1,0,1,2}C.{-l,0,l,2,3}D.{0,1,2,3}

ah

2.已知命題〃：log（）5（7>log（）5Z>；命題q：2<2.。是。成立的（）條件.

A,充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不也不必要

的圖象可能是（)

對他們每周使用手機的時間進行統計，得到如下的頻

率分布直方圖.則下列說法：①。=003；②若抽取100人，則平均用時13.75小時：③

若從每周使用時間在[15,20）,[20,25）,[25,30）三組內的學生中用分層抽樣的方法選取

8人進行訪談，則應從使用時間在[20,25）內的學生中選取的人數為3.其中正確的序號

是（）

試卷第17頁，共16頁

A.①②B.①③C.②③D.③

5.下列函數中，在區間（0,+8）上是減函數的是（）

23x

A.y=-x+lxB.y=xC.y=2'+lD.y=log2x

6.三棱錐P-ABC中，PA±￥!SiABC,AB=BC=l,AC=y/3,其外接球表面積為127,

則三棱錐P-A8C的體積為（）

A.也B.BC.邁D.也

2636

7.設尸（c,O）為雙曲線2￡-與=1（“>0,匕>0）的右焦點，圓一+丫2=。2與f的兩條漸

a~b~

近線分別相交于48兩點，。為坐標原點，若四邊形的沖是邊長為4的菱形，則后的

方程為（）

￡

X2Bx2九1

6_2=1

A.26

/

c.22

X2Xy

-3=1D.----=1

12412

己知函數〃x）=sin2x+sin（2x+（J+l,則下列結論正確的有（）個

8.

①將止小

②卜合，。）是函數“X）的一個對稱中心;

③任取方程/（x）=l的兩個根為，巧，則k-方是手的整數倍;

④對于任意的為，“2，工3￡°，（，/（西）+/（工2）-/（工3）恒成立.

A.1B.2C.3D.4

/\logAl,X>0/、/\\

9.己知函數J（X）={-9若/（與）=/（七）=/（七）=/（七）（用,當，毛衣4互不相

X+11,X_U

等），則為+占+毛+匕的取值范圍是（）

A.信,0）B.[-p0

試卷第18頁，共16頁

二、填空題

10.i是虛數單位，復數||亳卜.

11.在卜-白）的展開式中，則d的系數是____

12.已知直線船-打"1=0和以M（-3,1）,N（3,2）為端點的線段相交，則實數k的取值

范圍為.

9

13.已知為>-2,則］+—^的最小值為_______.

x+2

f2xx>0

14.已知函數f（x）=I：”0若〃。）+/（1）=0,則實數。的值等于______.

三、雙空題

15.清明節前夕，某校團委決定舉辦“緬懷革命先烈，致敬時代英雄”主題演講比賽,

經過初賽，共7人進入決賽，其中高一年級2人，高二年級3人，高三年級2人，現采

取抽簽方式決定演講順序，設事件A為“高二年級3人相鄰”，事件A的排法為

種；在事件A“高二年級3人相鄰”的前提下，事件B“高一年級2人不相

鄰”的概率P（8|A）為.

四、解答題

*2

16.在，ABC中，內角A,8,C所對的邊分別為。泊,c,已知4sin生理+4sinAsinS=2+6

2

（1）求角C的大小；

（2）已知人=4,Z\A8C的面積為6,求：

①邊長c的值；

②tan（23—C）的值.

17.如圖，在三棱錐產-4%中，底面48C,NBAC=90°.點〃，E,N分別為棱川，

PC,8c的中點，"是線段/〃的中點，PA=AC=4,AB=2.

試卷第19頁，共16頁

p

(1)求證：MN〃平面BDE；

(2)求二面角C-￡/W的正弦值.

(3)已知點，在棱刃上，且直線,如與直線龍所成角的余弦值為地，求線段4/的

21

長.

18.已知點A(L夜)是離心率為4的橢圓C:J+/=l(a>6>0)上的一點，斜率為血

的直線BD交橢圓C于8、。兩點，且A、B、。三點不重合.

(1)求橢圓C的方程；

(2)直線A3、AZ)的斜率之和是否為定值：若是求出定值，不是則說明理由.

19.已知數列｛4｝滿足4.「q=2,其前8項的和為64；數列｛"｝是公比大于0的等比

數列，仇=3,4一H=18.

(1)求數列｛4｝和｛"｝的通項公式；

(2)記4=詈^,?eN\求數列｛&｝的前”項和7；；

一十1

2

(-1)alt,n=2k-\,keW

[2〃

⑶記4="”+i,求S2,=Z&-

-,n=2k,kwN**=i

bn

.2

20.已知函數〃x)=e"直線/:y=g,ieR.

⑴若直線/為曲線y=/(x)的切線，求加的值；

⑵若不等式(X-Z)/(x)+x+Z2O對任意的x?0,y)恒成立，求實數k的最大值;

2

⑶若直線/與曲線y=〃x)有兩個交點人(與,必),3(%,%).求證：xtx2<\nm.

試卷第20頁，共16頁

參考答案：

1.A

【分析】先求解集合M中的二次不等式，結合交集定義，即得解.

【詳解】由題意，M={X|X2-2A:-3<0}={X|(X-3)(X+1)<0}={JV|-1<X<3},

故A/cN={0,l,2}.

故選：A

2.A

【分析】根據對數函數及指數函數的單調性化簡命題，然后根據充分條件必要條件的概念即

得.

【詳解】因為命題p：logos。>logo/,即命題q：2"<2"，即a<b,

所以由p可推出q,而由q推不出p,

所以。是q成立的充分不必要條件，

故選：A.

3.A

【分析】根據圖象可得出函數具有奇偶性，先判斷奇偶性，再比較剩余選項的區別，取特殊

值判斷即可.

【詳解】/(幻=任-1>38，定義域為{xlxwO}關于原點對稱，

2

f(-x)=(xT)?_r=卡-1)?-y=-/(x)

所以，/(X)=(x2-1).回上1是奇函數，圖象關于原點對稱，排除選項D,

顯然八1)=0,又/(2)=臂>0,/(l)=|ln2>0.

故選：A.

4.B

【分析】根據頻率分布直方圖中小矩形的面積和為1可求出“，再求出頻率分布直方圖的平

均值，即為抽取100人的平均值的估計值，再利用分層抽樣可確定出使用時間在［20,25)內

的學生中選取的人數為3.

【詳解】(0.02+0.04+0.06+0.04+tz+0.01)x5=l=>a=0.03,故①正確；

根據頻率分布直方圖可估計出平均值為

(0.02x2.5+0.04x7.5+0.06xl2.5+0.04xl7.5+0.03x22.5+0.01x27.5)x5=13.75,所以估計

抽取100人的平均用時13.75小時，②的說法太絕對，故②錯誤；

每周使用時間在［15,20),［20,25),［25,30)三組內的學生的比例為4:3:1,用分層抽樣的方

法選取8人進行訪談，則應從使用時間在［20,25)內的學生中選取的人數為8xg=3,故③正

O

確.

故選:B.

5.C

【詳解】本題考查函數的單調性.

函數y=-/+2x=-(X-l)2+l圖像是開口向下，對稱軸為X=l的拋物線，在("0,1］上是增函

數，在口,內)上是減函數；所以在區間(0,+8)上不單調；A錯誤；

基函數y=d在定義域(-8,+9)上是增函數；在區間(0,+8)上是增函數；B錯誤；

函數y=2-"+l=(g)，+l在定義域(0,也)上是減函數；在區間(0,+8)上是減函數；

C正確；

函數y=log?x在定義域(0,xo)上是增函數；D錯誤；

故選C

6.D

【分析】作圖，分析圖中的幾何關系，根據條件求出三棱錐的高

【詳解】依題意，三角形/玄的平面圖如圖1：

O'

圖1

其中。是等腰的外接圓的圓心，BO是4C的垂直平分線，。‘尸是小的垂直平分

線，0在的外部，

依題意有NO2c=60"，.?.80,=28E=1;

三棱錐的直觀圖如圖2：

RtPAB外接圓的圓心為陽的中點D,

過O作垂直于平面力比1的垂線，過。作垂直于平面以6的垂線，兩垂線必相交于外接球的

球心0,

外接球的半徑產=30?=產=3,三棱錐F4笈的高為為，

44

貝IJ有00=gpA,在Rt一800中，OO2=BO2-BO2=2,OO=>/2,PA=272,

三棱錐的體積為匕-18c=，SABC*PA=—X—XX—X2A/2=;

3322o

故選：D.

7.D

【分析】根據菱形、圓的性質知c=4且△04斤、△08廠均為等邊三角形，結合漸近線方程、

雙曲線參數關系求/,b：即可求6的方程.

【詳解】由四邊形的陽是邊長為4的菱形，知：c=4且△。46、ZXO8廠均為等邊三角形，

而漸近線方程為），=±2》，

a

.?.，=tan60°=G,又a2+〃=c2=16,

."=4,6=12,故￡的方程為三-21=].

412

故選：D.

【點睛】關鍵點點睛：利用菱形、圓的性質，結合雙曲線漸近線方程求參數，寫出雙曲線方

程.

8.A

【分析】首先把函數的關系式變形成正弦型函數，進一步利用正弦型函數的性質的應用判斷

①②③④的結論.

【詳解】解：函數f(x)=sin2x+sin(2x+?J+l

.7171

=sin2x+sin2xcos—+cos2xsin—+1

33

=-sin2x+——cos2x4-1

22

Gsin2x+3+l,

對于①，喑+4喑7;則函數/（X）關于X=（對稱,

+1,故①錯誤;

故②錯誤;

對于③任取方程〃x）=l的兩個根毛，巧，故瓜in（2x+?）+l=l,

整理得2x+.=A/（keZ）,故》=與一■^信wZ）,

所以禺左-玲），故歸-司是1的整數倍，故③錯誤;

對于④由于xe0彳，所以［頰2x+g'

663

所以（扃4+1〉石+2,

/㈤”國吟+1=6+1,所以［/(3)+/(%)］而.J(玉)2,

故對于任意的國,工2，工3￡。，（，/（國）+/（々）-/（工3）恒成立，故④正確.

故選：A.

9.D

【分析】先畫函數圖象，再進行數形結合得到玉+々=-2和|log2⑷=|咋2耳，結合對勾函

1

數單調性解得一+Z的范圍，即得結果.

%

【詳解】作出函數y=/（x）的圖象，如圖所示:

設玉＜工2＜工3〈工4，則X+W=2X(—1)=—2.

因為|現24|=|豌2%|,所以Tog2/=10g2%,

所以1082七+1082%=1082（天玉）=。，所以玉4=1,即鼻=’.

九4

當降2乂=1時，解得x=g或x=2,所以1<七42.

1

設/=芻+兀=—+2，

因為函數丫=X+，在（1收）上單調遞增，所以;+1<，+/工4+2,g|J2<x3+x4<1,

所以0<七+9+七+Z?g.

故選：D.

10.713

【分析】先利用復數的除法得到復數的代數形式，再利用模長公式進行求解.

8-i=(8-iX2-n=15-101=3_2.

【詳解】J2+i(2+i)(2-i)5

所以M"2"=g=萬.

故答案為：713.

11.135

【分析】首先寫出通項公式，再根據指定項求仁最后代入「求含V的系數.

I/-/）的展開式的通項公式

【詳解】—D=晨.（一3丫，）

令6->3,廠=2,所以V的系數是C：（-3）2=135.

故答案為：135

12.（f-g=|收）

【分析】求出丘->-"1=0所過定點A(l,-1),然后畫出圖形，求出心v，勉,，數形結合實

數〃的取值范圍.

【詳解】H-y-左一1=0變形為y+l=z(x-l),恒過點A(l,-1),

畫圖如下：

則要想直線打7-"1=0和以M(-3,1),N(3,2)為端點的線段相交,

則％或％4砥”，

31

即A2—或&4」.

22

故答案為：卜°，一；21，+°°),

13.4

【分析】利用拼湊法結合均值不等式即可求解.

【詳解】x+-=x+2+—--2/限+2)(2]一2=4,

元+2x+2y\x4-2J

當且僅當》+2=備。>-2)即(x+2『=9即x=l時等號成立，

9

所以x+—^的最小值為4,

故答案為：4.

14.-3

【分析】先求/(〃)，再根據自變量范圍分類討論，根據對應解析式列方程解得結果.

【詳解】/(?)+/(1)=0^/(?)=-2

當a>0時，2a=-2,解得a=-l,不成立

當aWO時，a+l=-2,解得a=-3

【點睛】求某條件下自變量的值，先假設所求的值在分段函數定義區間的各段上，然后求出

相應自變量的值，切記代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相應段自變量的取值范圍.

15.720-##0.6

5

【分析】利用捆綁法求解事件/的排法；再使用捆綁法和插空法求出事件的排法，利

用條件概率公式得到尸國A）

【詳解】將高二年級3人進行全排列，有A；種排法，再將高二年級3人看作一個整體，和

其他年級4人進行全排列，有A；種排法，所以事件［的排法有A；A；=720利大

事件AC8的排法：將高二年級3人進行全排列，有A；種排法，再將高二年級3人看作一

個整體，和高三年級的2人進行全排列，有A：種排法，排好后，將高一年級的2人進行插

空，有A：種排法，所以事件共有A：A；A：=432種排法，

,