第1章傳感器與檢測技術(shù)的理論基礎(chǔ)1.1測量概論1.2測量數(shù)據(jù)的估計和處理返回主目錄第1章傳感與檢測技術(shù)的理論基礎(chǔ)

1.1測量概論在科學(xué)技術(shù)高度發(fā)達(dá)的現(xiàn)代社會中,人類已進(jìn)入瞬息萬變的信息時代。人們在從事工業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)實驗等活動中,主要依靠對信息資源的開發(fā)、獲取、傳輸和處理。傳感器處于研究對象與測控系統(tǒng)的接口位置,是感知、獲取與檢測信息的窗口,一切科學(xué)實驗和生產(chǎn)過程,特別是自動檢測和自動控制系統(tǒng)要獲取的信息,都要通過傳感器將其轉(zhuǎn)換為容易傳輸與處理的電信號。

在工程實踐和科學(xué)實驗中提出的檢測任務(wù)是正確及時地掌握各種信息,大多數(shù)情況下是要獲取被測對象信息的大小,即被測量的大小。這樣，信息采集的主要含義就是測量#,取得測量數(shù)據(jù)。

“測量系統(tǒng)”這一概念是傳感技術(shù)發(fā)展到一定階段的產(chǎn)物。在工程中,需要有傳感器與多臺儀表組合在一起,才能完成信號的檢測,這樣便形成了測量系統(tǒng)。尤其是隨著計算機技術(shù)及信息處理技術(shù)的發(fā)展,測量系統(tǒng)所涉及的內(nèi)容也不斷得以充實。為了更好地掌握傳感器,需要對測量的基本概念#,測量系統(tǒng)的特性#,測量誤差及數(shù)據(jù)處理等方面的理論及工程方法進(jìn)行學(xué)習(xí)和研究,只有了解和掌握了這些基本理論,才能更有效地完成檢測任務(wù)。

一、測量測量是以確定量值為目的的一系列操作。所以測量也就是將被測量與同種性質(zhì)的標(biāo)準(zhǔn)量進(jìn)行比較,確定被測量對標(biāo)準(zhǔn)量的倍數(shù)。它可由下式表示:或（1-1）（1-2）

式中：x——被測量值;u——標(biāo)準(zhǔn)量,即測量單位;n——比值（純數(shù)）,含有測量誤差。

由測量所獲得的被測的量值叫測量結(jié)果。測量結(jié)果可用一定的數(shù)值表示,也可以用一條曲線或某種圖形表示。但無論其表現(xiàn)形式如何,測量結(jié)果應(yīng)包括兩部分：比值和測量單位。確切地講,測量結(jié)果還應(yīng)包括誤差部分。被測量值和比值等都是測量過程的信息,這些信息依托于物質(zhì)才能在空間和時間上進(jìn)行傳遞。參數(shù)承載了信息而成為信號。選擇其中適當(dāng)?shù)膮?shù)作為測量信號,例如熱電偶溫度傳感器的工作參數(shù)是熱電偶的電勢,差壓流量傳感器中的孔板工作參數(shù)是差壓ΔP。測量過程就是傳感器從被測對象獲取被測量的信息,建立起測量信號,經(jīng)過變換、傳輸、處理,從而獲得被測量的量值。

二、測量方法實現(xiàn)被測量與標(biāo)準(zhǔn)量比較得出比值的方法,稱為測量方法。針對不同測量任務(wù)進(jìn)行具體分析以找出切實可行的測量方法,對測量工作是十分重要的。對于測量方法,從不同角度,有不同的分類方法。根據(jù)獲得測量值的方法可分為直接測量、間接測量和組合測量;根據(jù)測量的精度因素情況可分為等精度測量與非等精度測量;根據(jù)測量方式可分為偏差式測量、零位法測量與微差法測量;根據(jù)被測量變化快慢可分為靜態(tài)測量與動態(tài)測量;根據(jù)測量敏感元件是否與被測介質(zhì)接觸可分為接觸測量與非接觸測量;根據(jù)測量系統(tǒng)是否向被測對象施加能量可分為主動式測量與被動式測量等。

1．直接測量、間接測量與組合測量

在使用儀表或傳感器進(jìn)行測量時,對儀表讀數(shù)不需要經(jīng)過任何運算就能直接表示測量所需要的結(jié)果的測量方法稱為直接測量。例如,用磁電式電流表測量電路的某一支路電流,用彈簧管壓力表測量壓力等,都屬于直接測量。直接測量的優(yōu)點是測量過程簡單而又迅速,缺點是測量精度不高。在使用儀表或傳感器進(jìn)行測量時,首先對與測量有確定函數(shù)關(guān)系的幾個量進(jìn)行測量,將被測量代入函數(shù)關(guān)系式,經(jīng)過計算得到所需要的結(jié)果,這種測量稱為間接測量。間接測量測量手續(xù)較多,花費時間較長,一般用在直接測量不方便或者缺乏直接測量手段的場合。

若被測量必須經(jīng)過求解聯(lián)立方程組,才能得到最后結(jié)果,則稱這樣的測量為組合測量。組合測量是一種特殊的精密測量方法,操作手續(xù)復(fù)雜,花費時間長,多用于科學(xué)實驗或特殊場合。2．等精度測量與不等精度測量

用相同儀表與測量方法對同一被測量進(jìn)行多次重復(fù)測量,稱為等精度測量。用不同精度的儀表或不同的測量方法,或在環(huán)境條件相差很大時對同一被測量進(jìn)行多次重復(fù)測量稱為非等精度測量。

3．偏差式測量、零位式測量與微差式測量

用儀表指針的位移（即偏差）決定被測量的量值,這種測量方法稱為偏差式測量。應(yīng)用這種方法測量時,儀表刻度事先用標(biāo)準(zhǔn)器具標(biāo)定。在測量時,輸入被測量,按照儀表指針在標(biāo)尺上的示值,決定被測量的數(shù)值。這種方法測量過程比較簡單、迅速,但測量結(jié)果精度較低。用指零儀表的零位指示檢測測量系統(tǒng)的平衡狀態(tài),在測量系統(tǒng)平衡時,用已知的標(biāo)準(zhǔn)量決定被測量的量值,這種測量方法稱為零位式測量。在測量時,已知標(biāo)準(zhǔn)量直接與被測量相比較,已知量應(yīng)連續(xù)可調(diào),指零儀表指零時,被測量與已知標(biāo)準(zhǔn)量相等。例如天平、電位差計等。零位式測量的優(yōu)點是可以獲得比較高的測量精度,但測量過程比較復(fù)雜,費時較長,不適用于測量迅速變化的信號。

微差式測量是綜合了偏差式測量與零位式測量的優(yōu)點而提出的一種測量方法。它將被測量與已知的標(biāo)準(zhǔn)量相比較,取得差值后,再用偏差法測得此差值。應(yīng)用這種方法測量時,不需要調(diào)整標(biāo)準(zhǔn)量,而只需測量兩者的差值。設(shè):N為標(biāo)準(zhǔn)量,x為被測量,Δ為二者之差,則x=N+Δ。由于N是標(biāo)準(zhǔn)量,其誤差很小,且ΔN,因此可選用高靈敏度的偏差式儀表測量Δ,即使測量Δ的精度較低,但因Δx,故總的測量精度仍很高。微差式測量的優(yōu)點是反應(yīng)快,而且測量精度高,特別適用于在線控制參數(shù)的測量。圖1–1測量系統(tǒng)原理結(jié)構(gòu)框圖

三、測量系統(tǒng)

1.測量系統(tǒng)構(gòu)成

測量系統(tǒng)是傳感器與測量儀表、變換裝置等的有機組合。圖1-1表示測量系統(tǒng)原理結(jié)構(gòu)框圖。

系統(tǒng)中的傳感器是感受被測量的大小并輸出相對應(yīng)的可用輸出信號的器件或裝置。數(shù)據(jù)傳輸環(huán)節(jié)用來傳輸數(shù)據(jù)。當(dāng)測量系統(tǒng)的幾個功能環(huán)節(jié)獨立地分隔開的時候,則必須由一個地方向另一個地方傳輸數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)傳輸環(huán)節(jié)就是完成這種傳輸功能。數(shù)據(jù)處理環(huán)節(jié)是將傳感器輸出信號進(jìn)行處理和變換。如對信號進(jìn)行放大、運算、線性化、數(shù)-模或模-數(shù)轉(zhuǎn)換,變成另一種參數(shù)的信號或變成某種標(biāo)準(zhǔn)化的統(tǒng)一信號等,使其輸出信號便于顯示、記錄,既可用于自動控制系統(tǒng),也可與計算機系統(tǒng)聯(lián)接,以便對測量信號進(jìn)行信息處理。

數(shù)據(jù)顯示環(huán)節(jié)將被測量信息變成人感官能接受的形式,以完成監(jiān)視、控制或分析的目的。測量結(jié)果可以采用模擬顯示,也可采用數(shù)字顯示,也可以由記錄裝置進(jìn)行自動記錄或由打印機將數(shù)據(jù)打印出來。

2．開環(huán)測量系統(tǒng)與閉環(huán)測量系統(tǒng)（1）開環(huán)測量系統(tǒng)開環(huán)測量系統(tǒng)全部信息變換只沿著一個方向進(jìn)行,如圖1-2所示。其中x為輸入量,y為輸出量,k1、k2、k3為各個環(huán)節(jié)的傳遞系數(shù)。輸入、輸出關(guān)系為

y=k1k2k3x(1-3）圖1-2開環(huán)測量系統(tǒng)框圖

采用開環(huán)方式構(gòu)成的測量系統(tǒng),結(jié)構(gòu)較簡單,但各環(huán)節(jié)特性的變化都會造成測量誤差。（2）閉環(huán)測量系統(tǒng)-閉環(huán)測量系統(tǒng)有兩個通道,一為正向通道,二為反饋通道,其結(jié)構(gòu)如圖1-3所示。圖1–3閉環(huán)測量系統(tǒng)框圖

其中Δx為正向通道的輸入量,β為反饋環(huán)節(jié)的傳遞系數(shù),正向通道的總傳遞系數(shù)k=k2k3。由圖1-3可知:

xf=βy

y=kΔx=k(x1-xf)=kx1-kβy當(dāng)k>>1時，則

顯然,這時整個系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系由反饋環(huán)節(jié)的特性決定,放大器等環(huán)節(jié)特性的變化不會造成測量誤差,或者說造成的誤差很小。根據(jù)以上分析可知,在構(gòu)成測量系統(tǒng)時,應(yīng)將開環(huán)系統(tǒng)與閉環(huán)系統(tǒng)巧妙地組合在一起加以應(yīng)用,才能達(dá)到所期望的目的。

四、測量誤差測量的目的是希望通過測量獲取被測量的真實值。但由于種種原因,例如,傳感器本身性能不十分優(yōu)良,測量方法不十分完善,外界干擾的影響等,都會造成被測參數(shù)的測量值與真實值不一致,兩者不一致程度用測量誤差表示。

測量誤差就是測量值與真實值之間的差值。它反映了測量質(zhì)量的好壞。測量的可靠性至關(guān)重要,不同場合對測量結(jié)果可靠性的要求也不同。例如,在量值傳遞、經(jīng)濟核算、產(chǎn)品檢驗等場合應(yīng)保證測量結(jié)果有足夠的準(zhǔn)確度。當(dāng)測量值用作控制信號時,則要注意測量的穩(wěn)定性和可靠性。因此,測量結(jié)果的準(zhǔn)確程度應(yīng)與測量的目的與要求相聯(lián)系、相適應(yīng),那種不惜工本、不顧場合,一味追求越準(zhǔn)越好的作法是不可取的,要有技術(shù)與經(jīng)濟兼顧的意識。

1．測量誤差的表示方法

測量誤差的表示方法有多種,含義各異。（1）絕對誤差絕對誤差可用下式定義:Δ=x-L(1-6）式中:Δ——絕對誤差;x——測量值;L——真實值。對測量值進(jìn)行修正時,要用到絕對誤差。修正值是與絕對誤差大小相等、符號相反的值,實際值等于測量值加上修正值。

采用絕對誤差表示測量誤差,不能很好說明測量質(zhì)量的好壞。例如,在溫度測量時,絕對誤差Δ=1℃,對體溫測量來說是不允許的,而對測量鋼水溫度來說卻是一個極好的測量結(jié)果。（2）相對誤差相對誤差的定義由下式給出:δ=×100%(1-7）式中:δ——相對誤差,一般用百分?jǐn)?shù)給出;Δ——絕對誤差;L——真實值。由于被測量的真實值L無法知道,實際測量時用測量值x代替真實值L進(jìn)行計算,這個相對誤差稱為標(biāo)稱相對誤差,即

（3）引用誤差引用誤差是儀表中通用的一種誤差表示方法。它是相對儀表滿量程的一種誤差,一般也用百分?jǐn)?shù)表示，即

γ=(1-9）式中:γ——引用誤差;Δ——絕對誤差。儀表精度等級是根據(jù)引用誤差來確定的。例如,0.5級表的引用誤差的最大值不超過±0.5%，1.0級表的引用誤差的最大值不超過±1%。在使用儀表和傳感器時,經(jīng)常也會遇到基本誤差和附加誤差兩個概念。

（4）基本誤差基本誤差是指儀表在規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)條件下所具有的誤差。例如,儀表是在電源電壓(220±5)V、電網(wǎng)頻率(50±2)Hz、環(huán)境溫度(20±5)℃、濕度65%±5%的條件下標(biāo)定的。如果這臺儀表在這個條件下工作,則儀表所具有的誤差為基本誤差。測量儀表的精度等級就是由基本誤差決定的。（5）附加誤差附加誤差是指當(dāng)儀表的使用條件偏離額定條件下出現(xiàn)的誤差。例如,溫度附加誤差、頻率附加誤差、電源電壓波動附加誤差等。

2．誤差的性質(zhì)

根據(jù)測量數(shù)據(jù)中的誤差所呈現(xiàn)的規(guī)律,將誤差分為三種,即系統(tǒng)誤差、隨機誤差和粗大誤差。這種分類方法便于測量數(shù)據(jù)處理。（1）系統(tǒng)誤差對同一被測量進(jìn)行多次重復(fù)測量時,如果誤差按照一定的規(guī)律出現(xiàn),則把這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。例如,標(biāo)準(zhǔn)量值的不準(zhǔn)確及儀表刻度的不準(zhǔn)確而引起的誤差。（2）隨機誤差對同一被測量進(jìn)行多次重復(fù)測量時,絕對值和符號不可預(yù)知地隨機變化,但就誤差的總體而言,具有一定的統(tǒng)計規(guī)律性的誤差稱為隨機誤差。

引起隨機誤差的原因是很多難以掌握或暫時未能掌握的微小因素,一般無法控制。對于隨機誤差不能用簡單的修正值來修正,只能用概率和數(shù)理統(tǒng)計的方法去計算它出現(xiàn)的可能性的大小。（3）粗大誤差明顯偏離測量結(jié)果的誤差稱為粗大誤差,又稱疏忽誤差。這類誤差是由于測量者疏忽大意或環(huán)境條件的突然變化而引起的。對于粗大誤差,首先應(yīng)設(shè)法判斷是否存在,然后將其剔除。1.2測量數(shù)據(jù)的估計和處理

從工程測量實踐可知,測量數(shù)據(jù)中含有系統(tǒng)誤差和隨機誤差,有時還會含有粗大誤差。它們的性質(zhì)不同,對測量結(jié)果的影響及處理方法也不同。在測量中,對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理時,首先判斷測量數(shù)據(jù)中是否含有粗大誤差,如有,則必須加以剔除。再看數(shù)據(jù)中是否存在系統(tǒng)誤差,對系統(tǒng)誤差可設(shè)法消除或加以修正。對排除了系統(tǒng)誤差和粗大誤差的測量數(shù)據(jù),則利用隨機誤差性質(zhì)進(jìn)行處理。總之,對于不同情況的測量數(shù)據(jù),首先要加以分析研究,判斷情況,分別處理,再經(jīng)綜合整理以得出合乎科學(xué)性的結(jié)果。

一、隨機誤差的統(tǒng)計處理在測量中,當(dāng)系統(tǒng)誤差已設(shè)法消除或減小到可以忽略的程度時,如果測量數(shù)據(jù)仍有不穩(wěn)定的現(xiàn)象,說明存在隨機誤差。在等精度測量情況下,得n個測量值x1,x2,…,xn,設(shè)只含有隨機誤差δ1,δ2，…，δn。這組測量值或隨機誤差都是隨機事件,可以用概率數(shù)理統(tǒng)計的方法來研究。隨機誤差的處理任務(wù)是從隨機數(shù)據(jù)中求出最接近真值的值（或稱真值的最佳估計值）,對數(shù)據(jù)精密度的高低（或稱可信賴的程度）進(jìn)行評定并給出測量結(jié)果。

1．隨機誤差的正態(tài)分布曲線

測量實踐表明,多數(shù)測量的隨機誤差具有以下特征:①絕對值小的隨機誤差出現(xiàn)的概率大于絕對值大的隨機誤差出現(xiàn)的概率。②隨機誤差的絕對值不會超出一定界限。③測量次數(shù)n很大時,絕對值相等#,符號相反的隨機誤差出現(xiàn)的概率相等。由特征③不難推出,當(dāng)n→∞時,隨機誤差的代數(shù)和趨近于零。隨機誤差的上述三個特征,說明其分布實際上是單一峰值的和有界限的,且當(dāng)測量次數(shù)無窮增加時,這類誤差還具有對稱性（即抵償性）。

在大多數(shù)情況下,當(dāng)測量次數(shù)足夠多時,測量過程中產(chǎn)生的誤差服從正態(tài)分布規(guī)律。分布密度函數(shù)為（1-10）（1-11)y——概率密度;x——測量值（隨機變量）;σ——均方根偏差（標(biāo)準(zhǔn)誤差）;L——真值（隨機變量x的數(shù)學(xué)期望）;δ——隨機誤差（隨機變量）,δ=x-L。

正態(tài)分布方程式的關(guān)系曲線為一條鐘形的曲線(如圖1-4所示),說明隨機變量在x=L或δ=0處的附近區(qū)域內(nèi)具有最大概率。

圖1–4#正態(tài)分布曲線

2．正態(tài)分布的隨機誤差的數(shù)字特征在實際測量時,真值L不可能得到。但如果隨機誤差服從正態(tài)分布,則算術(shù)平均值處隨機誤差的概率密度最大。對被測量進(jìn)行等精度的n次測量,得n個測量值x1,x2,…,xn,它們的算術(shù)平均值為

(1-12）算術(shù)平均值是諸測量值中最可信賴的,它可以作為等精度多次測量的結(jié)果。

上述的算術(shù)平均值是反映隨機誤差的分布中心,而均方根偏差則反映隨機誤差的分布范圍。均方根偏差愈大,測量數(shù)據(jù)的分散范圍也愈大，所以均方根偏差σ可以描述測量數(shù)據(jù)和測量結(jié)果的精度。圖1-5為不同σ下正態(tài)分布曲線。由圖可見：σ愈小,分布曲線愈陡峭,說明隨機變量的分散性小,測量精度高；反之,σ愈大,分布曲線愈平坦,隨機變量的分散性也大,則精度也低。均方根偏差σ可由下式求取:

(1-13)

圖1–5不同σ下正態(tài)分布曲線xi——第i次測量值。在實際測量時,由于真值L是無法確切知道的,用測量值的算術(shù)平均值-代替之,各測量值與算術(shù)平均值差值稱為殘余誤差,即

vi=xi-(1-14）用殘余誤差計算的均方根偏差稱為均方根偏差的估計值σs,即

(1-15)

通常在有限次測量時,算術(shù)平均值不可能等于被測量的真值L,它也是隨機變動的。設(shè)對被測量進(jìn)行m組的“多次測量”,各組所得的算術(shù)平均值1,1,…,m,圍繞真值L有一定的分散性,也是隨機變量。算術(shù)平均值的精度可由算術(shù)平均值的均方根偏差來評定。它與σs的關(guān)系如下:故（1-17）在任意誤差區(qū)間（a,b）出現(xiàn)的概率為

P(a≤v<b)=σ是正態(tài)分布的特征參數(shù),誤差區(qū)間通常表示成σ的倍數(shù),如tσ。由于隨機誤差分布對稱性的特點,常取對稱的區(qū)間,即

Pa=P(-tσ≤v≤+tσ)=（1-18）式中:t——置信系數(shù)；

Pa

——置信概率；

±tσ——誤差限。表1-1給出幾個典型的t值及其相應(yīng)的概率。

表1-1t值及其相應(yīng)的概率

t0.674511.9622.5834Pa0.50.68270.950.95450.990.99730.99994

隨機誤差在±tσ范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率為P,則超出的概率稱為顯著度,用α表示：

α=1-Pa

Pa與α關(guān)系見圖1-6。

圖1–6Pa與α關(guān)系

從表1-1可知,當(dāng)t=±1時,Pa=0.6827,即測量結(jié)果中隨機誤差出現(xiàn)在-σ～+σ范圍內(nèi)的概率為68.27%,而|v|>σ的概率為31.73%。出現(xiàn)在-3σ～+3σ范圍內(nèi)的概率是99.73%,因此可以認(rèn)為絕對值大于3σ的誤差是不可能出現(xiàn)的,通常把這個誤差稱為極限誤差σlim。按照上面分析,測量結(jié)果可表示為或（1-19）

例1-1有一組測量值為237.4、237.2、237.9、237.1、238.1、237.5、237.4、237.6、237.6、237.4,求測量結(jié)果.表1-2測量值列表

解:將測量值列于表1-2。序號測量值xi殘余誤差vi1237.4-0.120.0142237.2-0.320.103237.90.380.144237.1-0.420.185237.10.580.346237.5-0.020.007237.4-0.120.0148237.60.080.00649237.60.080.006410237.4-0.120.014

測量結(jié)果為

x=237.52±0.09(Pa=0.6827)或x=237.52±3×0.09=237.52±0.27(Pa=0.9973)

二、系統(tǒng)誤差的通用處理方法

1.從誤差根源上消除系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差是在一定的測量條件下,測量值中含有固定不變或按一定規(guī)律變化的誤差。系統(tǒng)誤差不具有抵償性,重復(fù)測量也難以發(fā)現(xiàn),在工程測量中應(yīng)特別注意該項誤差。由于系統(tǒng)誤差的特殊性,在處理方法上與隨機誤差完全不同。有效地找出系統(tǒng)誤差的根源并減小或消除的關(guān)鍵是如何查找誤差根源,這就需要對測量設(shè)備、測量對象和測量系統(tǒng)作全面分析,明確其中有無產(chǎn)生明顯系統(tǒng)誤差的因素,并采取相應(yīng)措施予以修正或消除。由于具體條件不同,在分析查找誤差根源時并無一成不變的方法,這與測量者的經(jīng)驗、水平以及測量技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)。但我們可以從以下幾個方面進(jìn)行分析考慮。

①所用傳感器、測量儀表或組成元件是否準(zhǔn)確可靠。比如傳感器或儀表靈敏度不足,儀表刻度不準(zhǔn)確,變換器、放大器等性能不太優(yōu)良,由這些引起的誤差是常見的誤差。②測量方法是否完善。如用電壓表測量電壓,電壓表的內(nèi)阻對測量結(jié)果有影響。③傳感器或儀表安裝、調(diào)整或放置是否正確合理。例如:沒有調(diào)好儀表水平位置,安裝時儀表指針偏心等都會引起誤差。④傳感器或儀表工作場所的環(huán)境條件是否符合規(guī)定條件。例如環(huán)境、溫度、濕度、氣壓等的變化也會引起誤差。⑤測量者的操作是否正確。例如讀數(shù)時的視差、視力疲勞等都會引起系統(tǒng)誤差。

2.系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)與判別發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差一般比較困難,下面只介紹幾種發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的一般方法。（1）實驗對比法這種方法是通過改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件從而進(jìn)行不同條件的測量,以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。這種方法適用于發(fā)現(xiàn)固定的系統(tǒng)誤差。例如,一臺測量儀表本身存在固定的系統(tǒng)誤差,即使進(jìn)行多次測量也不能發(fā)現(xiàn),只有用精度更高一級的測量儀表測量,才能發(fā)現(xiàn)這臺測量儀表的系統(tǒng)誤差。2）殘余誤差觀察法這種方法是根據(jù)測量值的殘余誤差的大小和符號的變化規(guī)律,直接由誤差數(shù)據(jù)或誤差曲線圖形判斷有無變化的系統(tǒng)誤差。圖1-7中把殘余誤差按測量值先后順序排列,圖（a）的殘余誤差排列后有遞減的變值系統(tǒng)誤差;圖（b）則可能有周期性系統(tǒng)誤差。（3）準(zhǔn)則檢查法已有多種準(zhǔn)則供人們檢驗測量數(shù)據(jù)中是否含有系統(tǒng)誤差。不過這些準(zhǔn)則都有一定的適用范圍。如馬利科夫判據(jù)是將殘余誤差前后各半分兩組,若“Σvi前”與“Σvi后”之差明顯不為零,則可能含有線性系統(tǒng)誤差。圖1–7殘余誤差變化規(guī)律

（3）準(zhǔn)則檢查法已有多種準(zhǔn)則供人們檢驗測量數(shù)據(jù)中是否含有系統(tǒng)誤差。不過這些準(zhǔn)則都有一定的適用范圍。如馬利科夫判據(jù)是將殘余誤差前后各半分兩組,若“Σvi前”與“Σvi后”之差明顯不為零,則可能含有線性系統(tǒng)誤差。阿貝檢驗法則檢查殘余誤差是否偏離正態(tài)分布,若偏離,則可能存在變化的系統(tǒng)誤差。將測量值的殘余誤差按測量順序排列，且設(shè)A=v21+v22+…+v2n,B=(v1-v2)2+(v2-v3)2+…+(vn-1-vn)2+(vn-v1)2。若則可能含有變化的系統(tǒng)誤差。

3.系統(tǒng)誤差的消除

（1）在測量結(jié)果中進(jìn)行修正對于已知的系統(tǒng)誤差,可以用修正值對測量結(jié)果進(jìn)行修正;對于變值系統(tǒng)誤差,設(shè)法找出誤差的變化規(guī)律,用修正公式或修正曲線對測量結(jié)果進(jìn)行修正;對未知系統(tǒng)誤差,則按隨機誤差進(jìn)行處理。（2）消除系統(tǒng)誤差的根源在測量之前,仔細(xì)檢查儀表,正確調(diào)整和安裝;防止外界干擾影響;選好觀測位置，消除視差;選擇環(huán)境條件比較穩(wěn)定時進(jìn)行讀數(shù)等。（3）在測量系統(tǒng)中采用補償措施找出系統(tǒng)誤差的規(guī)律,在測量過程中自動消除系統(tǒng)誤差。如用熱電偶測量溫度時,熱電偶參考端溫度變化會引起系統(tǒng)誤差,消除此誤差的辦法之一是在熱電偶回路中加一個冷端補償器,從而進(jìn)行自動補償。

（4）實時反饋修正由于自動化測量技術(shù)及微機的應(yīng)用,可用實時反饋修正的辦法來消除復(fù)雜的變化系統(tǒng)誤差。當(dāng)查明某種誤差因素的變化對測量結(jié)果有明顯的復(fù)雜影響時,應(yīng)盡可能找出其影響測量結(jié)果的函數(shù)關(guān)系或近似的函數(shù)關(guān)系。在測量過程中,用傳感器將這些誤差因素的變化轉(zhuǎn)換成某種物理量形式（一般為電量）,及時按照其函數(shù)關(guān)系,通過計算機算出影響測量結(jié)果的誤差值,對測量結(jié)果作實時的自動修正。

三、粗大誤差

如前所述,在對重復(fù)測量所得一組測量值進(jìn)行數(shù)據(jù)處理之前,首先應(yīng)將具有粗大誤差的可疑數(shù)據(jù)找出來加以剔除。人們絕對不能憑主觀意愿對數(shù)據(jù)任意進(jìn)行取舍,而是要有一定的根據(jù)。原則就是要看這個可疑值的誤差是否仍處于隨機誤差的范圍之內(nèi),是則留,不是則棄。因此要對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行必要的檢驗。下面就常用的幾種準(zhǔn)則介紹如下:

1.3σ準(zhǔn)則前面已講到,通常把等于3σ的誤差稱為極限誤差。3σ準(zhǔn)則就是如果一組測量數(shù)據(jù)中某個測量值的殘余誤差的絕對值|vi|>3σ時,則該測量值為可疑值（壞值）,應(yīng)剔除。

2.肖維勒準(zhǔn)則肖維勒準(zhǔn)則以正態(tài)分布為前提,假設(shè)多次重復(fù)測量所得n個測量值中,某個測量值的殘余誤差|vi|>Zcσ,則剔除此數(shù)據(jù)。實用中Zc<3,所以在一定程度上彌補了3σ準(zhǔn)則的不足。肖維勒準(zhǔn)則中的Zc值見表1-3。

3.格拉布斯準(zhǔn)則某個測量值的殘余誤差的絕對值|vi|＞Gσ,則判斷此值中含有粗大誤差,應(yīng)予剔除。此即格拉布斯準(zhǔn)則。G值與重復(fù)測量次數(shù)n和置信概率Pa有關(guān),見表1-4。

以上準(zhǔn)則是以數(shù)據(jù)按正態(tài)分布為前提的,當(dāng)偏離正態(tài)分布,特別是測量次數(shù)很少時,則判斷的可靠性就差。因此,對粗大誤差除用剔除準(zhǔn)則外,更重要的是要提高工作人員的技術(shù)水平和工作責(zé)任心。另外,要保證測量條件穩(wěn)定,防止因環(huán)境條件劇烈變化而產(chǎn)生的突變影響。

四、不等精度測量的權(quán)與誤差前面講述的內(nèi)容是等精度測量的問題。即多次重復(fù)測量得的各個測量值具有相同的精度,可用同一個均方根偏差σ值來表征,或者說具有相同的可信賴程度。

嚴(yán)格地說來,絕對的等精度測量是很難保證的,但對條件差別不大的測量,一般都當(dāng)作等精度測量對待,某些條件的變化,如測量時溫度的波動等,只作為誤差來考慮。因此,在一般測量實踐中,基本上都屬等精度測量。但在科學(xué)實驗或高精度測量中,為了提高測量的可靠性和精度,往往在不同的測量條件下,用不同的測量儀表#,不同的測量方法#,不同的測量次數(shù)以及不同的測量者進(jìn)行測量與對比,則認(rèn)為它們是不等精度的測量。

1.“權(quán)”的概念在不等精度測量時,對同一被測量進(jìn)行m組測量,得到m組測量列（進(jìn)行多次測量的一組數(shù)據(jù)稱為一測量列）的測量結(jié)果及其誤差,它們不能同等看待。精度高的測量列具有較高的可靠性,將這種可靠性的大小稱為“權(quán)”。

“權(quán)”可理解為各組測量結(jié)果相對的可信賴程度。測量次數(shù)多,測量方法完善,測量儀表精度高,測量的環(huán)境條件好,測量人員的水平高,則測量結(jié)果可靠,其權(quán)也大。權(quán)是相比較而存在的。權(quán)用符號p表示,有兩種計算方法:①用各組測量列的測量次數(shù)n的比值表示,并取測量次數(shù)較小的測量列的權(quán)為1,則有

p1∶p2∶…∶pm=n1∶n2∶…∶nm(1-20）②用各組測量列的誤差平方的倒數(shù)的比值表示,并取誤差較大的測量列的權(quán)為1,

則有

p1∶p2∶…∶pm=(1-21）∶∶…∶2.加權(quán)算術(shù)平均值加權(quán)算術(shù)平均值不同于一般的算術(shù)平均值,應(yīng)考慮各測量列的權(quán)的情況。若對同一被測量進(jìn)行m組不等精度測量,得到m個測量列的算術(shù)平均值1,2,…,m,相應(yīng)各組的權(quán)分別為p1,p2,…,pm,則加權(quán)平均值可用下式表示：

3．加權(quán)算術(shù)平均值p的標(biāo)準(zhǔn)誤差σp當(dāng)進(jìn)一步計算加權(quán)算術(shù)平均值p的標(biāo)準(zhǔn)誤差時,也要考慮各測量列的權(quán)的情況,標(biāo)準(zhǔn)誤差σp

可由下式計算:（1-23）

五、測量數(shù)據(jù)處理中的幾個問題

1.測量誤差的合成一個測量系統(tǒng)或一個傳感器都是由若干部分組成。設(shè)各環(huán)節(jié)為x1,x2,…,xn,系統(tǒng)總的輸入輸出關(guān)系為y=f(x1,x2,…,xn),而各部分又都存在測量誤差。各局部誤差對整個測量系統(tǒng)或傳感器測量誤差的影響就是誤差的合成問題。若已知各環(huán)節(jié)的誤差而求總的誤差,叫做誤差的合成;反之,總的誤差確定后,要確定各環(huán)節(jié)具有多大誤差才能保證總的誤差值不超過規(guī)定值,這一過程叫做誤差的分配。

由于隨機誤差和系統(tǒng)誤差的規(guī)律和特點不同,誤差的合成與分配的處理方法也不同,下面分別介紹。（1）系統(tǒng)誤差的合成由前面可知,系統(tǒng)總輸出與各環(huán)節(jié)之間的函數(shù)關(guān)系為

y=f(x1,x2,…,xn)

各部分定值系統(tǒng)誤差分別為Δx1,Δx2,…,Δxn,因為系統(tǒng)誤差一般均很小,其誤差可用微分來表示,故其合成表達(dá)式為（1-24）

實際計算誤差時,是以各環(huán)節(jié)的定值系統(tǒng)誤差Δx1,Δx2,…,Δxn代替上式中的dx1,dx2,…,dxn,即（1-25）式中Δy即合成后的總的定值系統(tǒng)誤差。（2）隨機誤差的合成設(shè)測量系統(tǒng)或傳感器有n個環(huán)節(jié)組成,各部分的均方根偏差為σx1,σx2，…，σxn,則隨機誤差的合成表達(dá)式為（1-26）若y=f(x1,x2,…,xn)為線性函數(shù),即

y=a1x1+a2x2+…+anxn

如果a1=a2=…=an=1，則(3)總合成誤差設(shè)測量系統(tǒng)和傳感器的系統(tǒng)誤差和隨機誤差均為相互獨立的,則總的合成誤差ε表示為

ε=Δy±σy(1-29）

2.最小二乘法的應(yīng)用最小二乘法原理是一數(shù)學(xué)原理,它在誤差的數(shù)據(jù)處理中作為一種數(shù)據(jù)處理手段。最小二乘法原理就是要獲得最可信賴的測量結(jié)果,使各測量值的殘余誤差平方和為最小。在等精度測量和不等精度測量中,用算術(shù)平均值或加權(quán)算術(shù)平均值作為多次測量的結(jié)果,因為它們符合最小二乘法原理。最小二乘法在組合測量的數(shù)據(jù)處理#,實驗曲線的擬合及其它多種學(xué)科等方面,均獲得了廣泛的應(yīng)用。下面舉個組合測量的例子。鉑電阻電阻值R與溫度t之間函數(shù)關(guān)系式為Rt=R0(1+αt+βt2)

式中:R0,Rt——分別為鉑電阻在溫度0℃和t℃時的電阻值;α,β——電阻溫度系數(shù)。若在不同溫度t條件下測得一系列電阻值R,求電阻溫度系數(shù)α和β。由于在測量中不可避免地引入誤差,如何求得一組最佳的或最恰當(dāng)?shù)慕?使Rt=R0(1+αt+βt2)具有最小的誤差呢通常的做法是使測量次數(shù)n大于所求未知量個數(shù)m（n>m）,采用最小二乘法原理進(jìn)行計算。為了討論方便起見,我們用線性函數(shù)通式表示。設(shè)X1,X2,…,Xm為待求量,Y1,Y2，…，Yn為直接測量值,它們相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系為

Y1=a11X1+a12X2+…+a1mXm

Y2=a21X1+a22X2+…+a2mXm

Yn=an1X1+an2X2+…+anmXm

…

若x1,x2，…，xm是待求量X1,X2,…，Xm最可信賴的值,又稱最佳估計值,則相應(yīng)的估計值亦有下列函數(shù)關(guān)系：y1=a11x1+a12x2+…+a1mxm

y2=a21x2+a22x2+…+a2mxm

yn=an1x1+an2x2+…+anmxm

…

相應(yīng)的誤差方程為

l1-y1=l1-(a11x1+a12x2+…+a1mxm)l2-y2=l2-(a21x1+a22x2+…+a2mxm)ln-yn=ln-(an1x1+an2x2+…+anmxm)

（1-32）式中:l1,l2,…,ln——帶有誤差的實際直接測量值。按最小二乘法原理,要獲取最可信賴的結(jié)果x1,x2,…，xm,應(yīng)按上述方程組的殘余誤差平方和為最小,即

根據(jù)求極值條件,應(yīng)使…將上述偏微分方程式整理,最后可寫成:

［a1a1］x1+［a1a2］x2+…+［a1am］=［a1l］［a2a1］x1+［a2a2］x2+…+［a2am］=［a2l］［ama1］x1+［ama2］x2+…+［amam］=［aml］(1-34)…

式（1-34）即為等精度測量的線性函數(shù)最小二乘估計的正規(guī)方程。式中:

［a1a1］=a11a11+a21a21+…+an1an1

［a1a2］=a11a12+a21a22+…+an1an2

［a1am］=a11a1m+a21a2m+…+an1anm

［a1l］=a11l1+a21l2+…+an1ln

…

正規(guī)方程是一個m元線性方程組,當(dāng)其系數(shù)行列式不為零時,有唯一確定的解,由此可解得欲求的估計值x1,x2,…，xm即為符合最小二乘原理的最佳解。

線性函數(shù)的最小二乘法處理應(yīng)用矩陣這一工具進(jìn)行討論有許多便利之處。將誤差方程式（1-32）用矩陣表示:L-AX=V(1-35）式中:a11a12

…a1m

a21a22

…a2m

an1an2…anm

…………系數(shù)矩陣A=估計值矩陣x1x2xn…實際測量值矩陣L1L2

Ln…L=V1V2Vn…V=殘余誤差矩陣殘余誤差平方和最小這一條件的矩陣形式為V1V2Vn…(v1,v2,…,vn)=最小

v′n=最小即V′V=最小或(L-AX）′（L-AX）=最小將上述線性函數(shù)的正規(guī)方程式(1-34）用殘余誤差表示,可改寫成:a11v1+a21v2+…+an1vn=0a12v1+a22v2+…+an2vn=0

a1mv1+a2mv2+…+anmvn=0(1-36)…

寫成矩陣形式為

a11a21

…an1

a12a22

…an2

a1ma2m…anm

…………V1V2Vn=0即由式（1-35）有A′V=0A′（L-AX）=0（A′A）

X=A′LX=(A′A）-1A′L（1-38）式(1-38）即為最小二乘估計的矩陣解。例1–2銅的電阻值R與溫度t之間關(guān)系為Rt=R0(1+αt),在不同溫度下,測定銅電阻的電阻值如下表所示。試估計0℃時的銅電阻電阻值R0和銅電阻的電阻溫度系數(shù)α。ti(℃)19.125.030.136.040.045.150.0Ri(Ω)76.377.879.7580.8082.3583.985.10

解:列出誤差方程:Rti-R0（1+αt）=vi(i=1,2,3,…,7)式中:ti是在溫度ti下測得銅電阻電阻值。

令x=R0,y=αR0,則誤差方程可寫為

76.3-(x+19.1y)=v1

77.8-(x+25.0y)=v2

79.75-(x+30.1y)=v3

80.80-(x+36.0y)=v4

82.35-(x+40.0y)=v583.9-(x+45.1y)=v6

85.10-(x+50.0y)=v7

其正規(guī)方程按式(1-34）為［a1a1］x+［a1a2］y=［a1l］［a2a1］x+［a2a2］y=［a2l］于是有將各值代入上式,得到

7x+245.3y=566245.3x+9325.38y=20044.5解得

x=70.8Ωy=0.288Ω/℃即

R0=70.8Ωα=用矩陣求解,則有A′A=11111119.125.030.136.040.045.150.0119.1125.0130.1136.0140.0145.1150.0=7245.3245.39325.38245.3245.39325.38=5108.7≠0（有解）(A′A)-1=A11A12A21A22=9325.85-245.3-245.37A′L=11111119.125.030.136.040.045.150.076.377.879.7580.8082.3583.985.10=56620044.5

3．用經(jīng)驗公式擬合實驗數(shù)據(jù)——回歸分析

在工程實踐和科學(xué)實驗中,經(jīng)常遇到對于一批實驗數(shù)據(jù),需要把它們進(jìn)一步整理成曲線圖或經(jīng)驗公式。用經(jīng)驗公式擬合實驗數(shù)據(jù),工程上把這種方法稱為回歸分析。回歸分析就是應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計的方法,對實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和處理,從而得出反映變量間相互關(guān)系的經(jīng)驗公式,也稱回歸方程。

當(dāng)經(jīng)驗公式為線性函數(shù)時,例如,y=b0+b1x1+b2x2+…+bnxn(1-39)

稱這種回歸分析為線性回歸分析,它在工程中的應(yīng)用價值較高。在線性回歸中,當(dāng)獨立變量只有一個時,即函數(shù)關(guān)系為

y=b0+bx(1-40)

這種回歸稱為一元線性回歸,這就是工程上和科研中常遇到的直線擬合問題。設(shè)有n對測量數(shù)據(jù)（xi,yi）,用一元線性回歸方程y∧=b0+bx擬合,根據(jù)測量數(shù)據(jù)值,求方程中系數(shù)b0、b的最佳估計值。可應(yīng)用最小二乘法原理,使各測量數(shù)據(jù)點與回歸直線的偏差平方和為最小,見圖1-8。

圖1–8用最小二乘法求回歸直線

式中:,,…,——在x1，x2，…，xn點上y的估計值。用最小二乘法求系數(shù)b0,b同上,這里不再敘述。

在求經(jīng)驗公式時,有時用圖解法分析顯得更方便、直觀,將測量數(shù)據(jù)值（xi,yi）繪制在坐標(biāo)紙上,把這些測量點直接聯(lián)接起來,根據(jù)曲線（包括直線）的形狀、特征以及變化趨勢,可以設(shè)法給出它們的數(shù)學(xué)模型（即經(jīng)驗公式）。這不僅可把一條形象化的曲線與各種分析方法聯(lián)系起來,而且還在相當(dāng)程度上擴展了原有曲線的應(yīng)用范圍。第2章傳感器概述2.1傳感器的組成部分2.2傳感器的基本特性返回主目錄

第2章傳感器概述

2.1傳感器的組成和分類

傳感器是能感受規(guī)定的被測量并按照一定的規(guī)律將其轉(zhuǎn)換成可用輸出信號的器件或裝置。在有些學(xué)科領(lǐng)域,傳感器又稱為敏感元件、檢測器、轉(zhuǎn)換器等。這些不同提法,反映了在不同的技術(shù)領(lǐng)域中,只是根據(jù)器件用途對同一類型的器件使用著不同的技術(shù)術(shù)語而已。如在電子技術(shù)領(lǐng)域,常把能感受信號的電子元件稱為敏感元件,如熱敏元件、磁敏元件、光敏元件及氣敏元件等,在超聲波技術(shù)中則強調(diào)的是能量的轉(zhuǎn)換,如壓電式換能器。這些提法在含義上有些狹窄,而傳感器一詞是使用最為廣泛而概括的用語。

傳感器的輸出信號通常是電量,它便于傳輸、轉(zhuǎn)換、處理、顯示等。電量有很多形式,如電壓、電流、電容、電阻等,輸出信號的形式由傳感器的原理確定。通常傳感器由敏感元件和轉(zhuǎn)換元件組成。其中,敏感元件是指傳感器中能直接感受或響應(yīng)被測量的部分;轉(zhuǎn)換元件是指傳感器中將敏感元件感受或響應(yīng)的被測量轉(zhuǎn)換成適于傳輸或測量的電信號部分。由于傳感器的輸出信號一般都很微弱,因此需要有信號調(diào)理與轉(zhuǎn)換電路對其進(jìn)行放大、運算調(diào)制等。隨著半導(dǎo)體器件與集成技術(shù)在傳感器中的應(yīng)用,傳感器的信號調(diào)理與轉(zhuǎn)換電路可能安裝在傳感器的殼體里或與敏感元件一起集成在同一芯片上。此外,信號調(diào)理轉(zhuǎn)換電路以及傳感器工作必須有輔助的電源,因此,信號調(diào)理轉(zhuǎn)換電路以及所需的電源都應(yīng)作為傳感器組成的一部分。傳感器組成框圖如圖2-1所示。圖2-1#傳感器組成框圖

傳感器技術(shù)是一門知識密集型技術(shù),它與許多學(xué)科有關(guān)。傳感器的原理各種各樣，其種類十分繁多,分類方法也很多,但目前一般采用兩種分類方法:一是按被測參數(shù)分類,如溫度壓力、位移、速度等;二是按傳感器的工作原理分類,如應(yīng)變式、電容式、壓電式、磁電式等。本書是按后一種分類方法來介紹各種傳感器的,而傳感器的工程應(yīng)用則是根據(jù)工程參數(shù)進(jìn)行敘述的。對于初學(xué)者和應(yīng)用傳感器的工程技術(shù)人來說,應(yīng)先從工作原理出發(fā),了解各種各樣傳感器,而對工程上的被測參數(shù)應(yīng)著重于如何合理選擇和使用傳感器。

2.2傳感器的基本特性

在生產(chǎn)過程和科學(xué)實驗中,要對各種各樣的參數(shù)進(jìn)行檢測和控制,就要求傳感器能感受被測非電量的變化并將其不失真地變換成相應(yīng)的電量,這取決于傳感器的基本特性,即輸出—輸入特性。如果把傳感器看作二端口網(wǎng)絡(luò),即有兩個輸入端和兩個輸出端,那么傳感器的輸出-輸入特性是與其內(nèi)部結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)的外部特性。傳感器的基本特性可用靜態(tài)特性和動態(tài)特性來描述。

一、傳感器的靜態(tài)特性傳感器的靜態(tài)特性是指被測量的值處于穩(wěn)定狀態(tài)時的輸出輸入關(guān)系。只考慮傳感器的靜態(tài)特性時,輸入量與輸出量之間的關(guān)系式中不含有時間變量。衡量靜態(tài)特性的重要指標(biāo)是線性度、靈敏度#,遲滯和重復(fù)性等。1.線性度傳感器的線性度是指傳感器的輸出與輸入之間數(shù)量關(guān)系的線性程度。輸出與輸入關(guān)系可分為線性特性和非線性特性。從傳感器的性能看,希望具有線性關(guān)系,即具有理想的輸出輸入關(guān)系。但實際遇到的傳感器大多為非線性,如果不考慮遲滯和蠕變等因素,傳感器的輸出與輸入關(guān)系可用一個多項式表示：

y=a0+a1x+a2x2+…+anxn(2-1)式中:a0——輸入量x為零時的輸出量;a1,a2,…,an——非線性項系數(shù)。

各項系數(shù)不同,決定了特性曲線的具體形式各不相同。靜特性曲線可通過實際測試獲得。在實際使用中,為了標(biāo)定和數(shù)據(jù)處理的方便,希望得到線性關(guān)系,因此引入各種非線性補償環(huán)節(jié)。如采用非線性補償電路或計算機軟件進(jìn)行線性化處理,從而使傳感器的輸出與輸入關(guān)系為線性或接近線性。但如果傳感器非線性的方次不高,輸入量變化范圍較小時,可用一條直線（切線或割線）近似地代表實際曲線的一段,如圖2-2所示,使傳感器輸出—輸入特性線性化。所采用的直線稱為擬合直線。實際特性曲線與擬合直線之間的偏差稱為傳感器的非線性誤差（或線性度）,通常用相對誤差γL表示,即（2-2）式中:ΔLmax——最大非線性絕對誤差;YFS——滿量程輸出。從圖2-2中可見,即使是同類傳感器,擬合直線不同,其線性度也是不同的。選取擬合直線的方法很多,用最小二乘法求取的擬合直線的擬合精度最高。

2．靈敏度

靈敏度S是指傳感器的輸出量增量Δy與引起輸出量增量Δy的輸入量增量Δx的比值,即

S=Δy/Δx（2-3）圖2-2#幾種直線擬合方法

(a)理論擬合；(b)過零旋轉(zhuǎn)擬合；(c)端點連線擬合；(d)端點平移擬合

對于線性傳感器,它的靈敏度就是它的靜態(tài)特性的斜率,即S=Δy/Δx為常數(shù),而非線性傳感器的靈敏度為一變量,用S=dy/dx表示。傳感器的靈敏度如圖2-3所示。

3.遲滯傳感器在正（輸入量增大）反（輸入量減小）行程期間其輸出-輸入特性曲線不重合的現(xiàn)象稱為遲滯,如圖2-4所示。也就是說,對于同一大小的輸入信號,傳感器的正反行程輸出信號大小不相等。產(chǎn)生這種現(xiàn)象的主要原因是由于傳感器敏感元件材料的物理性質(zhì)和機械零部件的缺陷所造成的,例如彈性敏感元件的彈性滯后、運動部件摩擦、傳動機構(gòu)的間隙、緊固件松動等。遲滯大小通常由實驗確定。遲滯誤差γH可由下式計算:（2-4）式中:ΔHmax——正反行程輸出值間的最大差值。

4.重復(fù)性重復(fù)性是指傳感器在輸入量按同一方向作全量程連續(xù)多次變化時,所得特性曲線不一致的程度,如圖2-5所示。重復(fù)性誤差屬于隨機誤差,常用標(biāo)準(zhǔn)偏差表示,也可用正反行程中的最大偏差表示,即（2-5）（2-6）

二、傳感器的動態(tài)特性

傳感器的動態(tài)特性是指其輸出對隨時間變化的輸入量的響應(yīng)特性。當(dāng)被測量隨時間變化,是時間的函數(shù)時,則傳感器的輸出量也是時間的函數(shù),其間的關(guān)系要用動特性來表示。一個動態(tài)特性好的傳感器,其輸出將再現(xiàn)輸入量的變化規(guī)律,即具有相同的時間函數(shù)。實際上除了具有理想的比例特性外,輸出信號將不會與輸入信號具有相同的時間函數(shù),這種輸出與輸入間的差異就是所謂的動態(tài)誤差。

為了說明傳感器的動態(tài)特性,下面簡要介紹動態(tài)測溫的問題。在被測溫度隨時間變化或傳感器突然插入被測介質(zhì)中以及傳感器以掃描方式測量某溫度場的溫度分布等情況下,都存在動態(tài)測溫問題。如把一支熱電偶從溫度為t0℃環(huán)境中迅速插入一個溫度為t℃的恒溫水槽中（插入時間忽略不計）,這時熱電偶測量的介質(zhì)溫度從t0突然上升到t,而熱電偶反映出來的溫度從t0℃變化到t℃需要經(jīng)歷一段時間,即有一段過渡過程,如圖2-6所示。熱電偶反映出來的溫度與介質(zhì)溫度的差值就稱為動態(tài)誤差。

造成熱電偶輸出波形失真和產(chǎn)生動態(tài)誤差的原因,是因為溫度傳感器有熱慣性（由傳感器的比熱容和質(zhì)量大小決定）和傳熱熱阻,使得在動態(tài)測溫時傳感器輸出總是滯后于被測介質(zhì)的溫度變化。如帶有套管的熱電偶的熱慣性要比裸熱電偶大得多。這種熱慣性是熱電偶固有的,這種熱慣性決定了熱電偶測量快速溫度變化時會產(chǎn)生動態(tài)誤差。影響動態(tài)特性的“固有因素”任何傳感器都有,只不過它們的表現(xiàn)形式和作用程度不同而已。動態(tài)特性除了與傳感器的固有因素有關(guān)之外,還與傳感器輸入量的變化形式有關(guān)。也就是說,我們在研究傳感器動特性時,通常是根據(jù)不同輸入變化規(guī)律來考察傳感器的響應(yīng)的。

雖然傳感器的種類和形式很多,但它們一般可以簡化為一階或二階系統(tǒng)（高階可以分解成若干個低階環(huán)節(jié)）,因此一階和二階傳感器是最基本的。傳感器的輸入量隨時間變化的規(guī)律是各種各樣的,下面在對傳感器動態(tài)特性進(jìn)行分析時，采用最典型、最簡單、易實現(xiàn)的正弦信號和階躍信號作為標(biāo)準(zhǔn)輸入信號。對于正弦輸入信號,傳感器的響應(yīng)稱為頻率響應(yīng)或穩(wěn)態(tài)響應(yīng)；對于階躍輸入信號,則稱為傳感器的階躍響應(yīng)或瞬態(tài)響應(yīng)。

1.瞬態(tài)響應(yīng)特性

傳感器的瞬態(tài)響應(yīng)是時間響應(yīng)。在研究傳感器的動態(tài)特性時,有時需要從時域中對傳感器的響應(yīng)和過渡過程進(jìn)行分析。這種分析方法是時域分析法,傳感器對所加激勵信號響應(yīng)稱瞬態(tài)響應(yīng)。常用激勵信號有階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)、脈沖函數(shù)等。下面以傳感器的單位階躍響應(yīng)來評價傳感器的動態(tài)性能指標(biāo)。

1)一階傳感器的單位階躍響應(yīng)在工程上,一般將下式:（2-7）

視為一階傳感器單位階躍響應(yīng)的通式。式中x(t)、y(t)分別為傳感器的輸入量和輸出量,均是時間的函數(shù),表征傳感器的時間常數(shù),具有時間“秒”的量綱。一階傳感器的傳遞函數(shù)：（2-8）

對初始狀態(tài)為零的傳感器,當(dāng)輸入一個單位階躍信號

0t≤01t>0時,由于x(t)=1(t),x(s)=,傳感器輸出的拉氏變換為

Y(s)=H(s)X(s)=（2-9）x(t)=一階傳感器的單位階躍響應(yīng)信號為

y(t)=1-e-(2-10)

相應(yīng)的響應(yīng)曲線如圖2-7所示。由圖可見,傳感器存在慣性,它的輸出不能立即復(fù)現(xiàn)輸入信號,而是從零開始,按指數(shù)規(guī)律上升,最終達(dá)到穩(wěn)態(tài)值。理論上傳感器的響應(yīng)只在t趨于無窮大時才達(dá)到穩(wěn)態(tài)值,但實際上當(dāng)t=4τ時其輸出達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的98.2%,可以認(rèn)為已達(dá)到穩(wěn)態(tài)。τ越小,響應(yīng)曲線越接近于輸入階躍曲線,因此,τ值是一階傳感器重要的性能參數(shù)。2)二階傳感器的單位階躍響應(yīng)二階傳感器的單位階躍響應(yīng)的通式為(2-11)式中:ωn——傳感器的固有頻率;ξ——傳感器的阻尼比。二階傳感器的傳遞函數(shù):

H(s)=

(2-12)傳感器輸出的拉氏變換:H(s)=H(s)X(s)=

(2-13)

二階傳感器對階躍信號的響應(yīng)在很大程度上取決于阻尼比ξ和固有頻率ωn。固有頻率ωn由傳感器主要結(jié)構(gòu)參數(shù)所決定,ωn越高,傳感器的響應(yīng)越快。當(dāng)ωn為常數(shù)時,傳感器的響應(yīng)取決于阻尼比ξ。圖2-8為二階傳感器的單位階躍響應(yīng)曲線。阻尼比ξ直接影響超調(diào)量和振蕩次數(shù)。ξ=0,為臨界阻尼,超調(diào)量為100%,產(chǎn)生等幅振蕩,達(dá)不到穩(wěn)態(tài)。>1,為過阻尼,無超調(diào)也無振蕩,但達(dá)到穩(wěn)態(tài)所需時間較長。ξ<1,為欠阻尼,衰減振蕩,達(dá)到穩(wěn)態(tài)值所需時間隨ξ的減小而加長。ξ=1時響應(yīng)時間最短。但實際使用中常按稍欠阻尼調(diào)整,ξ取0.7～0.8為最好。3)瞬態(tài)響應(yīng)特性指標(biāo)（1）時間常數(shù)τ一階傳感器時間常數(shù)τ越小,響應(yīng)速度越快。（2）延時時間傳感器輸出達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的50%所需時間。（3）上升時間傳感器輸出達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的90%所需時間。（4）超調(diào)量傳感器輸出超過穩(wěn)態(tài)值的最大值。

2.頻率響應(yīng)特性傳感器對正弦輸入信號的響應(yīng)特性,稱為頻率響應(yīng)特性。頻率響應(yīng)法是從傳感器的頻率特性出發(fā)研究傳感器的動態(tài)特性。1)一階傳感器的頻率響應(yīng)

將一階傳感器的傳遞函數(shù)中的s用jω代替后,即可得頻率特性表達(dá)式,即相頻特性

Φ(ω)=-arctan(ωτ)幅頻特性(2-14)(2-15)(2-16)

圖2-9為一階傳感器的頻率響應(yīng)特性曲線。

從式（2-15）、（2-16）和圖2-9看出,時間常數(shù)τ越小,頻率響應(yīng)特性越好。當(dāng)ωτ1時,A（ω）≈1,Φ（ω）≈0,表明傳感器輸出與輸入為線性關(guān)系,且相位差也很小,輸出y(t)比較真實地反映輸入x(t)的變化規(guī)律。因此,減小τ可改善傳感器的頻率特性。2)二階傳感器的頻率響應(yīng)二階傳感器的頻率特性表達(dá)式、幅頻特性、相頻特性分別為(2-17)(2-18)(2-19)

圖2-10為二階傳感器的頻率響應(yīng)特性曲線。從式（2-18）、（2-19）和圖2-10可見,傳感器的頻率響應(yīng)特性的好壞主要取決于傳感器的固有頻率ωn和阻尼比ξ。當(dāng)ξ<1,ωnω時,A（ω）≈1,Φ（ω）很小,此時,傳感器的輸出y(t)再現(xiàn)了輸入x(t)的波形。通常固有頻率ωn至少應(yīng)大于被測信號頻率ω的3～5倍,即ωn≥（3～5）ω。為了減小動態(tài)誤差和擴大頻率響應(yīng)范圍,一般是提高傳感器固有頻率ωn。而固有頻率ωn與傳感器運動部件質(zhì)量m和彈性敏感元件的剛度k有關(guān),即ωn=（k/m）1/2。增大剛度k和減小質(zhì)量m可提高固有頻率,但剛度k增加,會使傳感器靈敏度降低。所以在實際中,應(yīng)綜合各種因素來確定傳感器的各個特征參數(shù)。3)頻率響應(yīng)特性指標(biāo)

(1)頻帶傳感器增益保持在一定值內(nèi)的頻率范圍為傳感器頻帶或通頻帶,對應(yīng)有上、下截止頻率。

(2)時間常數(shù)τ用時間常數(shù)τ來表征一階傳感器的動態(tài)特性。τ越小,頻帶越寬。

(3)固有頻率ωn二階傳感器的固有頻率