實驗四積分的計算實驗?zāi)康?/p>

1.通過本實驗加深理解積分理論中分割、近似、求和、取極限的思想方法.2.學(xué)習(xí)并重點掌握用matlab求不定積分、定積分、二重積分、曲線積分的方法.3.學(xué)習(xí)matlab命令sum、symsum與int.實驗內(nèi)容

1.學(xué)習(xí)matlab命令求和命令sum調(diào)用格式.

sum(x)，給出向量x的各個元素的累加和，如果x是矩陣，則sum(x)是一個元素為x的每列列和的行向量.例4.1x=[1，2，3，4，5，6，7，8，9，

10]；

sum(x)

ans=55例4.2x=[1，2，3；4，5，6；7，8，9]

x=

123

456

789

sum(x)

ans=121518

求和命令symsum調(diào)用格式.

symsum(s，v)，求表達(dá)式s關(guān)于變量v

的無限和

symsum(s，v，a，b)，求表達(dá)式s關(guān)于變量

v取遍[a,b]上所有整數(shù)時的和

symsum(s)求表達(dá)式s關(guān)于由findsym確定變量的無限和。

例4.3

symskn

symsum(k，1，10)

ans=55

symsum(k^2，k，1，n)

ans=1/3*(n+1)^3-1/2*(n+1)^2+1/6*n+1/6

matlab積分命令int調(diào)用格式:

int(函數(shù)f(x))計算不定積分

int(函數(shù)f(x,y),變量名x)計算不定積分

int(函數(shù)f(x),a,b)計算定積分

int(函數(shù)f(x,y),變量名x,a,b)計算定積分2.計算不定積分例4.4計算解:

輸入命令:

symsx;

int(x^2*log(x))

可得結(jié)果:

ans=1/3*x^3*log(x)-1/9*x^3

注意設(shè)置符號變量.

例4.5計算下列不定積分:

解:首先建立函數(shù)向量.

symsxay=[sqrt(a^2-x^2)，(x-1)/(3*x-1)^(1/3)，x^2*asin(x)]；然后對y積分可得對y的每個分量積分的結(jié)果.

int(y，x)

ans=[1/2*x*(a^2-x^2)^(1/2)+1/2*a^2*asin((1/a^2)^(1/2)*x)，

-1/3*(3*x-1)^(2/3)+1/15*(3*x-1)^(5/3)，

1/3*x^3*asin(x)+1/9*x^2*(1-x^2)^(1/2)+2/9*(1-x^2)^(1/2)]

３．定積分的概念

定積分是一個和的極限.取f(x)=ex積分區(qū)間為[0,1]等距劃分為20個子區(qū)間.

x=linspace(0，1，21)；選取每個子區(qū)間的端點，并計算端點處的函數(shù)值.y=exp(x)；取區(qū)間的左端點乘以區(qū)間長度全部加起來.

y1=y(1:20)；s1=sum(y1)/20s1=1.6757

s1可作為的近似值.若選取右端點:

y2=y(2:21)；s2=sum(y2)/20s2=1.7616S2也可作為的近似值.下面我們畫出圖像:

plot(x，y)；holdonfori=1:20

fill([x(i)，x(i+1)，x(i+1)，x(i)，

x(i)]，[0，0，y(i)，y(i)，0]，’b’)end如果選取右端點，則可畫出圖象.

fori=1:20；

fill([x(i)，x(i+1)，x(i+1)，x(i)，

x(i)]，[0，0，y(i+1)，y(i+1)，

0]，’b’)holdonend

plot(x，y，’r’)

在上邊的語句中，for…end是循環(huán)語句，執(zhí)行語句體內(nèi)的命令20次，fill命令可以填充多邊形，在本例中，用的是蘭色(blue)填充.從圖上看當(dāng)分點逐漸增多時，s2-s1的值越來越小，可試取50個子區(qū)間看一看結(jié)果怎樣.下面按等分區(qū)間計算

symskns=symsum(exp(k/n)/n，k，1，n)；

limit(s，n，inf)得結(jié)果

ans=exp(1)-1

４．計算定積分和廣義積分例4.6計算解:輸入命令:

symsx;

int(exp(x)，0，1)得結(jié)果

ans=exp(1)-1.這與我們上面的運算結(jié)果是一致的.例4.7計算解:輸入命令:

symsx;

int(abs(x-1)，0，2)得結(jié)果

ans=1.例4.8判別廣義積分的斂散性，收斂時計算積分值.解:對第一個積分輸入命令:

symsxp；int(1/x^p，x，1，inf)得結(jié)果

ans=limit(-1/(p-1)*x^(-p+1)+1/(p-1)，x=inf).由結(jié)果看出當(dāng)p<1時，x^(-p+1)為無窮，當(dāng)p>1時，

ans=1/(p-1)，這與課本例題是一致的.

對第二個積分輸入命令:

int(1/(2*pi)^(1/2)*exp(-x^2/2)，-inf，inf)得結(jié)果:ans=7186705221432913/18014398509481984*2^(1/2)*pi^(1/2)由輸出結(jié)果看出這個積分收斂.

對后一個積分輸入命令:

int(1/(1-x)^2，0，2)結(jié)果得

ans=inf.說明這個積分是無窮大不收斂.例4.9計算積分

解:輸入命令:

symsxt;

int(sin(x)/x，0，t)，可得結(jié)果

sinint(t)，通過查幫助(help

sinint)可知sinint(t)=

結(jié)果相當(dāng)于沒求!實際上matlab求出的只是形式上的結(jié)果，因為這類積分無法用初等函數(shù)或其值來表示.盡管如此，我們可以得到該函數(shù)的函數(shù)值.輸入sinint(0.5)可得

ans=0.4931.5.二重積分計算例4.10求二次積分解:輸入命令:

symsxy;

int(int(x*y，y，2*x，

x^2+1)，x，0，1)得結(jié)果

ans=1/12.例4.11

求解:積分區(qū)域用不等式可以表示成:二重積分可化為二次積分:輸入命令:

symsxy;

int(int(sin(pi*(x^2+y^2))，y，-sqrt(1-x^2)，sqrt(1-x^2))，x，-1，1)ans=int(2^(1/2)*cos(pi*x^2)*FresnelS((1-x^2)^(1/2)*2^(1/2))+2^(1/2)*sin(pi*x^2)*FresnelC((1-x^2)^(1/2)*2^(1/2)),x=-1..1)由輸出結(jié)果可以看出，結(jié)果中仍帶有int，表明matlab求不出這一積分的值.采用極坐標(biāo)可化為二次積分:輸入命令:

symsra;

int(int(r*sin(pi*r^2)，r，0，1)，a，0，

2*pi)可得結(jié)果為

ans=2.6.曲線積分