第24章解直角三角形24.4解直角三角形（2）1仰角俯角學習目標1、了解仰角、俯角、方位角的概念，能根據直角三角形的知識解決仰角、俯角、方位角有關的實際問題。2、通過借助輔助線解決實際問題過些，使掌握數形結合、抽象歸納的思想方法。3、感知本節與實際生活的密切聯系，認識知識應用于實踐的意義。學習重點解直角三角形在實際生活中的應用。學習難點將某些實際問題中的數量關系，歸結為直角三角形中元素之間的關系，從而解決問題。2仰角俯角三邊之間關系銳角之間關系邊角之間關系(以銳角A為例)a2+b2=c2（勾股定理）∠A+∠B=90o直角三角形3仰角俯角練習：求下列直角三角形未知元素的值ABC30°

(=104仰角俯角12002400Sinsin30ACABB==?o

創設情境導入新課如圖，某飛機于空中A處探測到目標C，此時飛行高度AC=1200米，從飛機上看地平面控制點B的俯角α=300，求飛機A到控制點B的距離.(精確到1米）αABC在進行測量時，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角.鉛直線視線視線仰角俯角αCBA解在Rt△ABC中，∠B=α答：飛機A到控制點B的距離約2400米)30°5仰角俯角解在Rt△CDE中，α=52°CE＝DE×tanα

＝AB×tanα

＝10×tan52°≈12.80

BC＝BE＋CE

＝DA＋CD

＝1.50＋12.80≈14.3（米）答:旗桿BC的高度約為14.3米．∵∴例１、如圖,為了測量旗桿的高度BC,在離旗桿10米的A處,用高1.50米的測角儀DA測得旗桿頂端C的仰角α＝52°,求旗桿BC的高.(tan52°=1.2799;結果精確到0.1米)創設情境導入新課10m52°6仰角俯角水平線地面1、如圖，某飛機于空中A處探測到目標C，此時飛行高度AC=1200米，從飛機上看地平面控制點B的俯角＝370，求飛機A到控制點B的距離。（Sin37°≈0.6）練習7仰角俯角解在Rt△ABC中,AC=1200,＝370

由所以AB=1200Sin37°所以飛機A到控制點B的距離約2000米.AB=12000.6

AB=2000(米)1、如圖，某飛機于空中A處探測到目標C，此時飛行高度AC=1200米，從飛機上看地平面控制點B的俯角＝370，求飛機A到控制點B的距離。（Sin37°≈0.6）37°1200m8仰角俯角1、在山頂上處D有一鐵塔，在塔頂B處測得地面上一點A的俯角α=60o，在塔底D測得點A的俯角β=45o，已知塔高BD=30米，求山高CD。ABCDαβ練習30由題：∵∠α=60°，∠β=45°∴∠ABC=30°,∠ADC=45°在Rt△ACD中，令DC=CA=xTan∠30°==ACBCx30+x解得：x=9仰角俯角3、小玲家對面新造了一幢圖書大廈，小玲在自家窗口測得大廈頂部的仰角和大廈底部的俯角（如圖所示），量得兩幢樓之間的距離為32m，問大廈有多高？（結果精確到1m)m?32m10仰角俯角解：在ΔABC中，∠ACB=900

∵∠CAB=460∴

在ΔADC中∠ACD=900

∵∠CAD=29032mAC=32m∴BD=BC+CD=33.1+17.7≈51答：大廈高BD約為51m.AC=32m7.17?29tan×o∴=ACDC11仰角俯角探索新知αlhi=h:l1、坡角坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α

。2、坡度（或坡比）

坡度通常寫成1∶m的形式，如i=1∶6.

如圖所示，坡面的鉛垂高度（h）和水平長度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡比）,記作i,即i=——hl3、坡度與坡角的關系坡度等于坡角的正切值坡面水平面12仰角俯角1、斜坡的坡度是，則坡角α=______度。2、斜坡的坡角是450

，則坡比是_______。3、斜坡長是12米,坡高6米,則坡比是_______。αLh30鞏固概念1：113仰角俯角例2、如圖,一段路基的橫斷面是梯形，高為4.2米，上底寬為12.51米，其坡面角分別是32°和28°，求路基下底的寬.(tan32°=0.6248;tan28°=0.5317結果精確到0.1米)ADCBEF4.2米4.2米|4.2米|作DE⊥AB,CF⊥AB垂足分別是E,F依題可知：DE=CF=4.2

EF=CD=12.51解:在Rt△ADE中，∵==tan32°DEAE4.2AE∴AE=≈≈6.72

4.2tan32°

4.20.6284在Rt△BCF中，同理可得：∴BF=≈≈7.09

4.2tan28°

4.20.5317∴AB=AE+EF+BF≈6.72+12.51+7.90=27.1（米）答：路基下底的寬約為27.1米)32°28°(14仰角俯角水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬6m，壩高

23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度

i=1∶2.5，求：（1）壩底AD與斜坡AB的長度。（精確到0.1m

）（2）斜坡CD的坡角α。（精確到）例題講解EFADBCi=1:2.5236α分析：（1）由坡度i會想到產生鉛垂高度，即分別過點B、C作AD的垂線。

（2）垂線BE、CF將梯形分割成Rt△ABE，Rt△CFD和矩形BEFC，則AD=AE+EF+FD，EF=BC=6m，AE、DF可結合坡度,通過解Rt△ABE和Rt△CDF求出。

（3）斜坡AB的長度以及斜坡CD的坡角的問題實質上就是解Rt△ABE和Rt△CDF。15仰角俯角解：(1)分別過點B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分別為點E、F,由題意可知在Rt△ABE中BE=CF=23mEF=BC=6m在Rt△DCF中，同理可得=69+6+57.5=132.5m在Rt△ABE中，由勾股定理可得(2)斜坡CD的坡度i=tanα=1：2.5=0.4

由計算器可算得EFADBCi=1:2.5236α

答：壩底寬AD為132.5米，斜坡AB的長約為72.7米．斜坡CD的坡角α約為22°。16仰角俯角

一段路基的橫斷面是梯形，高為4米，上底的寬是12米，路基的坡面與地面的傾角分別是45°和30°，求路基下底的寬．（精確到0.1,米,

）

變式練習45°30°4米12米ABCEFD17仰角俯角解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分別為E、F．由題意可知

DE＝CF＝4（米），

CD＝EF＝12（米）．在Rt△ADE中，

在Rt△BCF中，同理可得因此AB＝AE＋EF＋BF

≈4＋12＋6.93≈22.93（米）．答：路基下底的寬約為22.93米．45°30°4米12米ABCEFD18仰角俯角例3

如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東34°方向上的B處，這時，海輪所在的B處距離燈塔P有多遠（精確到0.01海里）？解：如圖，在Rt△APC中，PC＝PA·cos（90°－65°）＝80×cos25°≈80×0.91=72.8在Rt△BPC中，∠B＝34°當海輪到達位于燈塔P的南偏東34°方向時，它距離燈塔P大約130.23海里．65°34°PBCA8019仰角俯角指南或指北的方向線與目標方向線構成小于900的角,叫做方位角.如圖：點A在O的北偏東30°點B在點O的南偏西45°（西南方向）30°45°BOA東西北南方位角20仰角俯角1.海中有一個小島A，它的周圍8海里內有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東到航行，在B點測得小島A在北偏東60°方向上，航行12海里到達D點，這時測得小島A在北偏東30°方向上，如果漁船不改變航線繼續向東航行，有沒有觸礁的危險？BDF解：由點A作BD的垂線交BD的延長線于點F，垂足為F，∠AFD=90°由題意圖示可知∠DAF=30°設DF=x,AD=2x則在Rt△ADF中，根據勾股定理在Rt△ABF中，解得x=610.4>8沒有觸礁危險練習30°60°A21仰角俯角

·2、一位同學測河寬,如圖,在河岸上一點A觀測河對岸邊的一小樹C,測得AC與河岸邊的夾角為45０,沿河岸邊向前走200米到達B點,又觀測河對岸邊的小樹C,測得BC與河岸邊的夾角為30０,問這位同學能否計算出河寬?若不能,請說明理由;若能,請你計算出河寬.播放停止22仰角俯角解這位同學能計算出河寬.

在Rt△ACD中,設CD=x,由∠CAD=450,則CD=AD=x.

在Rt△BCD中,AB=200,

則BD=200+X,由∠CBD=300,

則tan300=即解得所以河寬為23仰角俯角ABC4506001002米D3、一人在塔底A處測得塔頂C的仰角為450，此人向塔前100米到B處，又測得塔頂的仰角為60度，已知測角器的高度為2米，求塔高。24仰角俯角小結

1．弄清俯角、仰角、方向角等概念的意義，明確各術語與示意圖中的什么元素對應，只有明確這些概念，才能恰當地把實際問題轉化為數學問題

2．認真分析題意、畫圖并找出要求的直角三角形，或通過添加輔助線構造直角三角形來解決問題．

3．選擇合適的邊角關系式，使計算盡可能簡單，且不易出錯．4．按照題中的精確度進行計算，并按照題目中要求的精確度確定