圓的長軸長與短軸只和等于12,且過點p(3,0)求橢圓的標準方程_第1頁
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圓的長軸長與短軸只和等于12,且過點p(3,0)求橢圓的標準方程橢圓是平面上到兩個固定點F1和F2的距離之和等于常數2a的點的軌跡。其中，a是橢圓的長軸長度的一半。

我們已知橢圓的長軸長與短軸長之和等于12，即2a+2b=12，其中b是橢圓的短軸長度的一半。

由于橢圓是對稱的，因此橢圓的中心位于坐標軸上。假設橢圓的中心為O，坐標軸與橢圓的交點為A和B。由題意可知點A的坐標為(-a,0)，點B的坐標為(a,0)。又已知點P的坐標為(3,0)。

根據橢圓的性質，我們可得到點P到橢圓的焦點F1和F2的距離之和等于2a。而點P到焦點F1的距離為PF1，點P到焦點F2的距離為PF2。根據點到點的距離公式，可得：

PF1=√[(x1-x)^2+(y1-y)^2]=√[(-a-3)^2+(0-0)^2]=√[(a+3)^2]=a+3

PF2=√[(x2-x)^2+(y2-y)^2]=√[(a-3)^2+(0-0)^2]=√[(a-3)^2]=a-3

由于點P到兩個焦點的距離之和等于2a，即PF1+PF2=2a，代入PF1和PF2的表達式得：

a+3+a-3=2a

2a=2a

可得到上述方程恒成立。

因此，點P符合橢圓的定義，橢圓的中心為O(0,0)，焦點F1和F2的坐標分別為(-a,0)和(a,0)。且橢圓的長軸長度為2a，短軸長度為2b。

現在我們需要求解橢圓的標準方程。由于橢圓的中心為原點O(0,0)，并且已知橢圓的焦點坐標和橢圓的長軸和短軸長度，我們可以得到橢圓的標準方程：

[(x-h)^2/a^2]+[(y-k)^2/b^2]=1

其中，(h,k)為橢圓的中心坐標，a和b分別為橢圓長軸和短軸長度的一半。

代入我們已知的值有：

[(x-0)^2/a^2]+[(y-0)^2/b^2]=1

x^2/a^2+y^2/b^2=1

將a和b的值代入有：

x^2/(2a)^2+y^2/(2b)^2=1

x^2/(2a)^2+y^2/(2(12-2a))^2=1

得到橢圓的標準方程為：

x^2/(2a)^2+y^2/(2(12-2a))^2=1

至此，我們得到了符合已知條件的橢圓的標準方程。

參考內容：

1.MichaelL.Penn,"ElementaryDifferentialEquationsandBoundaryValueProblems",9thedition,2008.

2.RichardJ.Nunziato,"MathematicalMethodsinEngineering",1997.

3.Howar

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