第一章空間向量與立體幾何1.4空間向量的應用1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關系第2課時空間中直線、平面的平行學習任務1．能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關系．(數學抽象)2．熟練掌握用方向向量、法向量證明線線、線面、面面間的平行關系．(邏輯推理、數學運算)必備知識·情境導學探新知01平行是立體幾何中主要的位置關系，那么如何用向量方法進行研究呢？知識點空間中直線、平面平行的向量表達式位置關系向量表達式線線平行設μ1，μ2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2?μ1∥μ2??λ∈R，使得μ1＝λμ2線面平行設μ是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l∥α?μ⊥n?μ·n＝0面面平行設n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2思考

若已知平面外一直線的方向向量和平面的法向量，則這兩向量滿足哪些條件可說明直線與平面平行？提示：可探究直線的方向向量與平面的法向量是否垂直，進而確定線面是否平行．提醒

用向量方法證明線線平行時，必須說明兩直線不重合；證明線面平行時，必須說明直線不在平面內；證明面面平行時，必須說明兩個平面不重合．1．若平面β外的一條直線l的方向向量是u＝(－1，2，－3)，平面β的法向量為n＝(4，－1，－2)，則l與β的位置關系是________．l∥β

[由u·n＝(－1)×4＋2×(－1)＋(－3)×(－2)＝0知，l∥β．]2．若兩個不同平面α，β的法向量分別為u＝(1，2，－1)，v＝(－4，－8，4)，則平面α，β的位置是________．α∥β

[由v＝－4u知u∥v，所以α∥β．]l∥β

α∥β

關鍵能力·合作探究釋疑難02類型1直線和直線平行類型2直線和平面平行類型3平面與平面平行

類型1直線和直線平行【例1】在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，點M在棱BB1上，且BM＝2MB1，點S在棱DD1上，且SD1＝2SD，點N，R分別為A1D1，BC的中點．求證：MN∥RS．

反思領悟

向量法證明直線平行的兩種思路

類型2直線和平面平行【例2】如圖所示，在空間圖形P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，CD∥AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，點M在PB上，且PB＝4PM，∠PBC＝30°，求證：CM∥平面PAD．

反思領悟

利用空間向量證明線面平行的三種方法(1)證明直線的方向向量與平面內任意兩個不共線的向量共面，即可用平面內的一組基底表示．(2)證明直線的方向向量與平面內某一向量共線，轉化為線線平行，利用線面平行判定定理得證．(3)先求直線的方向向量，然后求平面的法向量，證明直線的方向向量與平面的法向量垂直．

類型3平面與平面平行【例3】

(源自湘教版教材)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，M，N，E，F分別是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中點．求證：平面AMN∥平面BDEF．

反思領悟

證明面面平行問題可用以下方法去證明：(1)轉化為相應的線線平行或線面平行．(2)分別求出這兩個平面的法向量，然后證明這兩個法向量平行．[跟進訓練]3．在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，F是棱AB的中點．試用向量的方法證明：平面AA1D1D∥平面FCC1．[證明]

因為AB＝4，BC＝CD＝2，F是棱AB的中點，所以BF＝BC＝CF，所以△BCF為正三角形．因為ABCD為等腰梯形，AB＝4，BC＝CD＝2，所以∠BAD＝∠ABC＝60°．取AF的中點M，連接DM，則DM⊥AB，所以DM⊥CD．

因為DD1?平面AA1D1D，CC1?平面AA1D1D，所以CC1∥平面AA1D1D．因為DA?平面AA1D1D，CF?平面AA1D1D，所以CF∥平面AA1D1D．又CF∩CC1＝C，CF?平面FCC1，CC1?平面FCC1，所以平面AA1D1D∥平面FCC1．學習效果·課堂評估夯基礎031．若不重合的直線l1，l2的方向向量分別為a＝(1，2，－2)，b＝(－3，－6，6)，則(

)A．l1∥l2

B．l1⊥l2C．l1，l2相交但不垂直

D．不能確定1234

√12342．(2022·遼寧高二月考)若直線l的方向向量為a＝(1，0，2)，平面α的法向量為n＝(－2，1，1)，則(

)A．l∥α B．l⊥αC．l?α或l∥α D．l與α斜交C

[因為a＝(1，0，2)，n＝(－2，1，1)，所以a·n＝1×(－2)＋0×1＋2×1＝0，所以l?α或l∥α．故選C．]√12343．設平面α的法向量為(1，2，－2)，平面β的法向量為(－2，－4，k)，若α∥β，則k＝(

)A．2

B．－4

C．4

D．－2

√12344．若平面α外的一條直線l的一個方向向量是n＝(－1，2，－3)，平面α的一個法向量為m＝(4，－1，－2)，則l與α的位置關系是________．平行

[n·m＝(－1，2，－3)·(4，－1，－2)＝0，所以n⊥m．又l?α，所以直線l與平面α平行，即l∥α．]平行回顧本節知識，自主完成以下問題：1．兩直線平行的向量表達式是什么？提示：設μ1，μ2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2?μ1∥μ2??λ∈R，使得μ1＝λμ2．2．直線和平面平行的向量表達式是什么？提示：設μ是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，且l?α，則l∥α?μ⊥n?μ·n＝0．3．平面和平面平行的向量表達式是什么？提示：設n1，n2分別是平面α，