新教材2023年秋高中數學第1章空間向量與立體幾何1.4空間向量的應用1.4.1用空間向量研究直線平面的位置關系第2課時空間中直線平面的平行課件新人教A版選擇性必修第一冊_第1頁
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文檔簡介

第一章空間向量與立體幾何1.4空間向量的應用1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關系第2課時空間中直線、平面的平行學習任務1.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關系.(數學抽象)2.熟練掌握用方向向量、法向量證明線線、線面、面面間的平行關系.(邏輯推理、數學運算)必備知識·情境導學探新知01平行是立體幾何中主要的位置關系,那么如何用向量方法進行研究呢?知識點空間中直線、平面平行的向量表達式位置關系向量表達式線線平行設μ1,μ2分別是直線l1,l2的方向向量,則l1∥l2?μ1∥μ2??λ∈R,使得μ1=λμ2線面平行設μ是直線l的方向向量,n是平面α的法向量,l?α,則l∥α?μ⊥n?μ·n=0面面平行設n1,n2分別是平面α,β的法向量,則α∥β?n1∥n2??λ∈R,使得n1=λn2思考

若已知平面外一直線的方向向量和平面的法向量,則這兩向量滿足哪些條件可說明直線與平面平行?提示:可探究直線的方向向量與平面的法向量是否垂直,進而確定線面是否平行.提醒

用向量方法證明線線平行時,必須說明兩直線不重合;證明線面平行時,必須說明直線不在平面內;證明面面平行時,必須說明兩個平面不重合.1.若平面β外的一條直線l的方向向量是u=(-1,2,-3),平面β的法向量為n=(4,-1,-2),則l與β的位置關系是________.l∥β

[由u·n=(-1)×4+2×(-1)+(-3)×(-2)=0知,l∥β.]2.若兩個不同平面α,β的法向量分別為u=(1,2,-1),v=(-4,-8,4),則平面α,β的位置是________.α∥β

[由v=-4u知u∥v,所以α∥β.]l∥β

α∥β

關鍵能力·合作探究釋疑難02類型1直線和直線平行類型2直線和平面平行類型3平面與平面平行

類型1直線和直線平行【例1】在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=4,AA1=2,點M在棱BB1上,且BM=2MB1,點S在棱DD1上,且SD1=2SD,點N,R分別為A1D1,BC的中點.求證:MN∥RS.

反思領悟

向量法證明直線平行的兩種思路

類型2直線和平面平行【例2】如圖所示,在空間圖形P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四邊形ABCD中,CD∥AB,∠ABC=∠BCD=90°,AB=4,CD=1,點M在PB上,且PB=4PM,∠PBC=30°,求證:CM∥平面PAD.

反思領悟

利用空間向量證明線面平行的三種方法(1)證明直線的方向向量與平面內任意兩個不共線的向量共面,即可用平面內的一組基底表示.(2)證明直線的方向向量與平面內某一向量共線,轉化為線線平行,利用線面平行判定定理得證.(3)先求直線的方向向量,然后求平面的法向量,證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.

類型3平面與平面平行【例3】

(源自湘教版教材)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,M,N,E,F分別是棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中點.求證:平面AMN∥平面BDEF.

反思領悟

證明面面平行問題可用以下方法去證明:(1)轉化為相應的線線平行或線面平行.(2)分別求出這兩個平面的法向量,然后證明這兩個法向量平行.[跟進訓練]3.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,F是棱AB的中點.試用向量的方法證明:平面AA1D1D∥平面FCC1.[證明]

因為AB=4,BC=CD=2,F是棱AB的中點,所以BF=BC=CF,所以△BCF為正三角形.因為ABCD為等腰梯形,AB=4,BC=CD=2,所以∠BAD=∠ABC=60°.取AF的中點M,連接DM,則DM⊥AB,所以DM⊥CD.

因為DD1?平面AA1D1D,CC1?平面AA1D1D,所以CC1∥平面AA1D1D.因為DA?平面AA1D1D,CF?平面AA1D1D,所以CF∥平面AA1D1D.又CF∩CC1=C,CF?平面FCC1,CC1?平面FCC1,所以平面AA1D1D∥平面FCC1.學習效果·課堂評估夯基礎031.若不重合的直線l1,l2的方向向量分別為a=(1,2,-2),b=(-3,-6,6),則(

)A.l1∥l2

B.l1⊥l2C.l1,l2相交但不垂直

D.不能確定1234

√12342.(2022·遼寧高二月考)若直線l的方向向量為a=(1,0,2),平面α的法向量為n=(-2,1,1),則(

)A.l∥α B.l⊥αC.l?α或l∥α D.l與α斜交C

[因為a=(1,0,2),n=(-2,1,1),所以a·n=1×(-2)+0×1+2×1=0,所以l?α或l∥α.故選C.]√12343.設平面α的法向量為(1,2,-2),平面β的法向量為(-2,-4,k),若α∥β,則k=(

)A.2

B.-4

C.4

D.-2

√12344.若平面α外的一條直線l的一個方向向量是n=(-1,2,-3),平面α的一個法向量為m=(4,-1,-2),則l與α的位置關系是________.平行

[n·m=(-1,2,-3)·(4,-1,-2)=0,所以n⊥m.又l?α,所以直線l與平面α平行,即l∥α.]平行回顧本節知識,自主完成以下問題:1.兩直線平行的向量表達式是什么?提示:設μ1,μ2分別是直線l1,l2的方向向量,則l1∥l2?μ1∥μ2??λ∈R,使得μ1=λμ2.2.直線和平面平行的向量表達式是什么?提示:設μ是直線l的方向向量,n是平面α的法向量,且l?α,則l∥α?μ⊥n?μ·n=0.3.平面和平面平行的向量表達式是什么?提示:設n1,n2分別是平面α,

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