第第頁專題07解題技巧專題：構造等腰三角形的技巧壓軸題三種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一利用平行線+角平分線構造新等腰三角形】 1【類型二過腰或底作平行線構造新等腰(邊)三角形】 12【類型三利用倍角關系構造新等腰三角形】 21【典型例題】【類型一利用平行線+角平分線構造新等腰三角形】例題：（2022秋·廣東潮州·八年級統考期末）已知，如圖中，、的平分線相交于點，過點作交、于、．

(1)如圖1若，圖中有________個等腰三角形，且與、的數量關系是________．(2)如圖2若，其他條件不變，（1）問中與、間的關系還成立嗎？請說明理由．(3)如圖3在中，若，的平分線與三角形外角的平分線交于，過點作交于，交于．請直接寫出與、間的數量關系是．【答案】(1)；(2)成立；理由見解析(3)【分析】（1）根據，、的平分線相交于點，可得，，，，再加上題目中給出的，可得出等腰三角形的個數；根據等腰三角形的性質，即可得出與、之間的關系；（2）證明和是等腰三角形，利用等腰三角形的性質即可得出與、的關系；（3）證明和是等腰三角形，利用等腰三角形的性質即可得出與、的關系．【詳解】（1）解：∵，∴，，∵、的平分線相交于點，∴，，∴，，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，，∴等腰三角形有：，，，，，共個，與、的數量關系是：，故答案為：；．（2）與、的數量關系是：．理由如下：∵平分，平分，∴，，∵，∴，，∴，，∴，，∴．（3）與、間的數量關系是：．理由如下：∵，∴，，又∵，分別是與的角平分線，∴，，∴，，∴，，∴．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的判定與性質，平行線的性質，角平分線的定義，全等三角形的判定和性質．線段間的等量代換是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·重慶合川·八年級期末）如圖，在中，，是的角平分線，交AB于點F．的一個外角的平分線與的延長線交于點G．(1)求證：；(2)若，求的大小．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據角平分線的概念得到，根據平行線的性質得到，進而得到，最后根據等角對等邊即可證明出；（2）首先根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理得到，然后根據角平分線的概念得到，，最后根據三角形外角的性質求解即可．【詳解】（1）∵是的角平分線，∴∵∴∴∴；（2）∵，∴∴∵是的角平分線，是的角平分線，∴，∴．【點睛】此題考查了角平分線的概念，平行線的性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理等知識解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．2．（2023春·陜西榆林·七年級統考期末）如圖，在中，，平分交于點，過點作交的延長線于點．

(1)若，求的度數；(2)若是上的一點，且，判斷與的數量關系，并說明理由．【答案】(1)(2)，見解析【分析】（1）根據等腰三角形兩底角相等，已知頂角，可以求出底角，再根據角平分線的定義求出，最后根據兩直線平行，內錯角相等求出；（2）先證明，再得出，，根據證明，根據全等三角形的對應邊相等得出結論．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵∴；（2）解：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，平行線的性質，角平分線的定義，三角形全等，考核學生的推理能力，證明三角形全等是解題的關鍵．3．（2023春·江蘇南通·七年級統考期末）如圖，已知平分且點M是射線上一動點，交射線于點N．

(1)當時，求的度數；(2)當時，求證：；(3)試探究線段之間的數量關系．【答案】(1)；(2)見解析；(3)．【分析】（1）根據平行線的性質求出角度之間的關系，利用角平分線求出相等的角，最后推出答案.（2）延長交于E，根據平行線的性質和角平分線的定義可得是等腰三角形，由“等腰三角形三線合一”的性質可得，再根據ASA證明，由此可證.（3）延長交于F，根據平行線的性質和角平分線的定義可得是等腰三角形，由“等腰三角形三線合一”的性質可得，再根據ASA證明由此可證最后可證得.【詳解】（1）∵平分，．（2）如圖，延長交于E，

∵平分為等腰三角形，

在和中，，（3）如圖，延長交于點F，

∵平分為等腰三角形，，

在和中，，

【點睛】本題主要考查了平行線的性質、全等三角形的判定和性質以及等腰三角形的判定和性質，綜合性較強，正確的作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵.4．（2023春·江西吉安·八年級統考期末）類比、轉化等數學思想方法，在數學學習和研究中經常用到，如下是一個案例，請補充完整．已知△ABC．(1)觀察發現如圖①，若點D是和的角平分線的交點，過點D作分別交，于E，F．填空：與的數量關系是______．請說明理由(2)猜想論證如圖②，若點D是外角和的角平分線的交點，其他條件不變，填：與的數量關系是______．請說明理由(3)類比探究如圖③，若點D是和外角的角平分線的交點．其他條件不變，則（1）中的關系成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請寫出關系式，再證明．【答案】(1)(2)，理由見詳解(3)不成立，理由見詳解【分析】（1）根據角平分線的定義得到，根據，得到，根據等腰三角形的判定定理得到，同理得到，結合圖形證明即可；（2）仿照（1）的證明方法，先利用平行線的性質和角平分線的性質，得到角的關系，再利用等角對等邊，得到邊與邊的關系，解答即可；（3）根據平行線的性質、角平分線的定義得到，得到，結合圖形解答即可．【詳解】（1）解：平分，，，，，，同理，，故答案為：；（2）解：平分，，，同理，，故答案為：；（3）解：不成立．．理由如下：，．平分，，，，同理：，．【點睛】本題考查的是角平分線的定義、平行線的性質、等腰三角形的判定，掌握平行線的性質定理、等腰三角形的判定定理是解題的關鍵．5．（2022春·黑龍江牡丹江·八年級統考期中）在中，點，點在直線上，，過點作，交射線于點，過點作，交直線于點．(1)當是的角平分線，點在邊延長線上時，如圖①，求證：；（提示：延長，相交于點．）(2)當是的角平分線，點在邊上時，如圖②；當是外角的角平分線，點在邊延長線上時，如圖③，請直接寫出線段，，之間的數量關系，不需要證明；(3)在（1）、（2）的條件下，若，則_____________．【答案】(1)見解析(2)圖②，；圖③，；(3)2或14【分析】（1）延長、相交與點G，先證明，再證明，得到，即可得到結論；（2）如圖②，設與相交于于點P，先證，再證，得到，即可得到結論；如圖③，延長交于點H，先證明，再證，，即可得到結論；（3）根據（1）（2）中的結論，結合圖形，分三種情況討論求解即可．【詳解】（1）證明：如圖①，延長、相交與點G，∵是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，即；（2）如圖②，設與相交于于點P，∵是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，即；如圖③，延長交于點H，∵是外角的角平分線，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，即；（3）如圖①，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴,∴，∴；如圖2，∵不成立，此種情況不存在；如圖③，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：2或14【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，添加輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．【類型二過腰或底作平行線構造新等腰(邊)三角形】例題：（2022春·湖北武漢·八年級校考階段練習）已知：等邊中．(1)如圖1，點M是BC的中點，點N在AB邊上，滿足，求的值；(2)如圖2，點M在AB邊上（M為非中點，不與A，B重合），點N在CB的延長線上且，求證：．(3)如圖3，點P為AC邊的中點，點E在AB的延長線上，點F在BC的延長線上，滿足，求的值．【答案】(1)3(2)見解析(3)【分析】（1）由等邊三角形的性質及直角三角形的性質可得出，設,則,可求出答案；（2）如圖2，過點M作交AC于點G，根據可證明，得出，則結論得證；（3）如圖3，過點P作交于點M，根據可證明，得出，得出，則答案可求出．【詳解】（1）∵為等邊三角形，∴，，∵點M是BC的中點，∴，，∵，∴，∴，，設，則，，∴，∴．（2）如圖2，過點M作交AC于點G，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵為等邊三角形，∴，∴．（3）如圖3，過點P作交AB于點M，∴為等邊三角形，∴，，∵P為AC的中點，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，又∵P為AC的中點，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質、等邊三角形的性質與判定、含30度角直角三角形的性質、平行線的性質等知識，解題的關鍵是學會添加輔助線構造全等三角形．【變式訓練】1．（2023春·廣東·八年級統考期末）已知，在等邊三角形中，點E在上，點D在的延長線上，且．(1)【特殊情況，探索結論】如圖1，當點E為的中點時，確定線段與的大小關系，請你直接寫出結論：（填“＞”、“＜”或“＝”）．(2)【特例啟發，解答題目】如圖2，當點E為邊上任意一點時，確定線段與的大小關系，請你寫出結論，并說明理由．（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，過點E作，交于點F．（請你完成以下解答過程）．(3)【拓展結論，設計新題】在等邊三角形中，點E在直線上，點D在線段的延長線上，且，若的邊長為1，，求的長（直接寫出結果）．【答案】(1)(2)，見解析(3)3【分析】（1）由等腰三角形的性質得到，再由等邊三角形的性質得到，然后證，得出即可得出結論；（2）過點E作，交于點F，證出為等邊三角形，得出，再證，得出，即可得出結論；（3）點E在延長線上時，作，同（2）得出為等邊三角形，，則，，即可得出答案．【詳解】（1），理由如下：，，三角形為等邊三角形，，點E為的中點，，，，，，，，；（2），理由如下：過點E作，交于點F，則，，，為等邊三角形，，，，為等邊三角形，，，，，，在和中，，，，；（3）點E在延長線上時，作，同（2）可得則為等邊三角形，如圖所示，同理可得，∵，，∴，，∵，則．【點睛】本題是三角形綜合題目，考查等邊三角形判定與性質、全等三角形的判定與性質、平行線的性質等，熟練掌握等邊三角形的判定與性質，證明三角形全等是解題的關鍵．2．（2022春·遼寧大連·八年級期末）是等邊三角形，點是上一點，點在的延長線上，且．(1)如圖1，當點是的中點時，求證：；(2)如圖2，當點是上任意一點時，取的中點，連接．求的度數【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據等邊三角形的性質得出，再由“三線合一”的性質及角平分線得出，再由等角對等邊即可證明；（2）延長至，使，連，根據全等三角形的判定得出，，再由其性質結合圖形找出各角之間的關系即可得出結果．【詳解】（1）證明：在等邊中，，∴，∵是的中點，∴，平分，∵，∴，∴，，∴，∴．（2）如圖所示，延長至，使，連，∵為的中點，∴，在和中，，∴，∴，，∴．∴，，，∴又∵，∴在和中，，∴，∴，∴．【點睛】題目主要考查等邊三角形的性質、等腰三角形的判定與性質及全等三角形的判定和性質，理解題意，結合圖形，找準各角之間的關系是解題關鍵．3．（2022春·吉林長春·八年級統考期末）在等邊中，是的中點，，的兩邊分別交直線、于、．(1)問題：如圖1，當、分別在邊、上，，時，直接寫出線段與的數量關系；(2)探究：如圖2，當落在邊上，落在射線上時，（1）中的結論是否仍然成立？寫出理由；(3)應用：如圖3，當落在射線上，F落在射線上時，，，則___________．【答案】(1)；理由見解析(2)；理由見解析(3)【分析】（1）根據證明，可得結論；（2）如圖1，分別過點作于點，于點，由（1）同理得出．證明，則可得出結論；（3）如圖2，過點作，由等邊三角形的性質和判定證明，從而得的長．【詳解】（1）解：，理由如下：是等邊三角形，，是的中點，，，，，，；故答案為：；（2）解：結論成立．．理由：如圖1，過點分別作于點，于點，由（1）可得：，，，，，．在和中，，，；（3）解：如圖2中，過作交于點，，同理可證，，．，，，，，，，，，．故答案為：6【點睛】本題是三角形綜合題，考查了垂直的定義，全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質等知識，解題的關鍵是正確作輔助線，熟練掌握全等三角形的判定與性質．【類型三利用倍角關系構造新等腰三角形】例題：（2022秋·黑龍江大慶·八年級大慶市第六十九中學校考期中）如圖，在中，，的平分線交于點D．求證：．

【答案】證明見解析【分析】方法一：（截長）在上截取，連接．結合角平分線的定義，證明，得到，，再利用三角形外角的性質，得到，進而得到，即可證明結論；方法二：（補短）延長到點使得，連接．結合角平分線的定義，證明，得到，再利用三角形外角的性質，得到，進而得到，即可證明結論；方法三：（補短）延長到點使得，連接．根據等腰三角形的性質，得到，，再結合三角形角平分線的定義和外角的性質，得到，即可證明結論．【詳解】證明：方法一：（截長）在上截取，連接．

在和中，，，，，，，，；方法二：（補短）延長到點使得，連接．

在和中，，，，，，，；方法三：（補短）延長到點使得，連接，

，，，，，，，．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，三角形角平分線的定義，外角的性質，利用“截長補短”模型添加輔助線構造全等三角形是解題關鍵．【變式訓練】1．（2022春·浙江·八年級專題練習）在中，，(1)如圖①，當，為的角平分線時，在上截取，連接，易證．請證明；(2)①如圖②，當，為的角平分線時，線段又有怎樣的數量關系？請直接寫出你的結論，不要求證明；②如圖③，當，為的外角平分線時，線段又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想并證明．【答案】(1)證明見解析(2)①；②，證明見解析【分析】（1）先證明，然后證明，進而推導可得結論；（2）①首先在上截取，連接，易證，則可得，又由，，所以，即，易證，則可求得；②首先在的延長線上截取，連接，易證，可得，又由，易證，則可求得．【詳解】（1）∵為的角平分線，∴，在和中，∵∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）①猜想：．證明：如圖，在上截取，連接，∵為的角平分線時，∴，∵，∴，∴，，∵，∴．∵，∴，∴，∴．②猜想：．證明：在的延長線上截取，連接．∵平分，∴．在與中，，，，∴．∴，．∴．又，，．∴．∴．∴．【點睛】此題考查三角形綜合題、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定、角平分線的定義等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．3．（2022春·江蘇揚州·八年級統考期中）【問題背景】小明遇到這樣一個問題：如圖1，在中，，平分，試判斷和之間的數量關系．【初步探索】小明發現，將沿