第二章流體靜力學

流體靜力學是研究流體處于靜止〔包括相對靜止〕狀態(tài)下的力學平衡規(guī)律，主要研究靜止流體處于力學平衡的一般條件和流體中的壓強分布規(guī)律。靜止狀態(tài)是指流體質(zhì)點之間不存在相對運動，因而流體的粘性不顯示出來。流體質(zhì)點間或質(zhì)點與邊界之間的相互作用，只能以壓應(yīng)力的形式來表達。這個壓應(yīng)力發(fā)生在靜止流體中，所以稱流體靜壓強。第一節(jié)流體靜壓強特性

〔1〕流體靜壓強是一個壓應(yīng)力，它的方向必然總是沿著作用面的內(nèi)法線方向，即垂直于作用面，并指向作用面。〔2〕靜止流體中任一點上流體靜壓強的大小與其作用面的方位無關(guān)，即同一點上各方向的靜壓強大小均相等。(證明)流體靜壓強具有兩個特性。第一節(jié)流體靜壓強特性

設(shè)在靜止流體中任取一點M，取一包括點M在內(nèi)的微小四面體ABCM。〔微元體分析法〕作用于四面體上的外表力，只有垂直于各個外表上的壓力。從函數(shù)的連續(xù)性可知，在無限小的面積范圍內(nèi)，各點壓強的差異也是無限小的。因此，都將認為同一微小面積的壓強是均勻分布的。作用于四面體上的外表力dAn為斜面ABC的面積作用于四面體的質(zhì)量力設(shè)四面體所受的單位質(zhì)量力為f總質(zhì)量力在各坐標軸方向的分量分別為根據(jù)平衡條件，四面體處于靜止狀態(tài)下，各坐標軸方向的作用力之和均分別為零。一、歐拉平衡微分方程：微元分析法第二節(jié)流體的平衡微分方程—歐拉平衡微分方程由于壓強是坐標的連續(xù)函數(shù)，當坐標有微小變化時，壓強也發(fā)生變化，并可用泰勒級數(shù)表示為。以x軸為例，忽略二階以上的各項，總壓力即外表力為作用在六面體上的外表力只有周圍流體對它的壓力作用于微小六面體上的質(zhì)量力沿x軸方向的質(zhì)量力為因為微小六面體處于平衡狀態(tài)，所以作用力在x軸方向的分量之和應(yīng)等于零，即將上式各項都除以矢量形式為上式即為流體的平衡微分方程式，是歐拉在1775年提出的，所以又稱歐拉平衡微分方程。它說明了處于平衡狀態(tài)的流體中壓強的變化率與單位質(zhì)量力之間的關(guān)系。二、流體平衡微分方程的積分將下面方程組中的各式依次乘以dx，dy，dz，并將它們相加得流體平衡微分方程的另一表達式〔綜合式〕左邊是一個坐標函數(shù)p的全微分，右邊也必須是某一個坐標函數(shù)W〔x,y,z〕的全微分得假設(shè)存在某一個坐標函數(shù)，它對各坐標的偏導數(shù)分別等于力場的力在對應(yīng)坐標軸的分量，那么這函數(shù)稱為力函數(shù)或勢函數(shù)，而這樣的力稱為有勢的力。函數(shù)W是勢函數(shù)，質(zhì)量力是有勢的力。可壓縮流體的平衡微分方程上式即為不可壓縮均質(zhì)流體平衡微分方程積分后的普遍關(guān)系式二、流體平衡微分方程的積分對于不可壓縮均質(zhì)流體來講，其密度為常數(shù)，積分上式得邊界點上的勢函數(shù)為W0和壓強為，那么三、等壓面帕斯卡定律等壓面等壓面方程等壓面：是指流體中壓強相等的各點所組成的面三、等壓面帕斯卡定律等壓面方程當流體質(zhì)點沿等壓面移動距離ds時，質(zhì)量力所作的微功為零。因為質(zhì)量力和位移ds都不為零，所以等壓面和質(zhì)量力正交。這是等壓面的一個重要特性。在平衡的不可壓縮均質(zhì)流體中，由于局部邊界面上的外力作用而產(chǎn)生的壓強將均勻地傳遞到該流體的各點上。這個關(guān)系稱帕斯卡定律。該定律在水壓機、水力起重機等水力機械中有廣泛的應(yīng)用。一、重力作用下的流體平衡方程在實際工程中，常遇到的靜止流體所受的質(zhì)量力只有重力。重力作用下，單位質(zhì)量流體的質(zhì)量力為代入流體平衡微分方程得第三節(jié)流體靜力學根本方程一、重力作用下的流體平衡方程不可壓縮均質(zhì)流體靜止流體中任意兩點上述兩式即為流體力學根本方程，在水力學中又稱水靜力學根本方程。或?qū)τ谝后w來講，因為自由外表上的靜壓強p0常為大氣壓強，是的，水靜力學根本方程一、重力作用下的流體平衡方程第三節(jié)流體靜力學根本方程靜止重力液體中的等壓面是水平面位于同一淹沒深度的各點靜壓強值是相等的，所以是一等壓面。因為自由外表是一水平面，所以靜止重力液體中的等壓面亦一定是水平面。靜止重力液體中的水平面是等壓面靜止的兩種互不混雜的重力液體的交界面是等壓面，因為交界面是水平面靜止非均質(zhì)流體，水平面是等壓面靜止非均質(zhì)流體，水平面是等密度面一、重力作用下的流體平衡方程第三節(jié)流體靜力學根本方程二、壓強的計量單位和表示方法〔1〕從壓強的根本定義出發(fā)，用單位面積上的力來表示，單位為Pa標準大氣壓〔760mm水銀柱〕工程大氣壓〔736mm水銀柱〕〔2〕用大氣壓的倍數(shù)來表示〔3〕用液柱高度來表示，常用水柱高度或水銀柱高度來表示。一個工程大氣壓相應(yīng)的水柱高度為10mH2o,736mmHg在工程技術(shù)中，計量壓強的大小，可以從不同的基準算起，因而有兩種不同的表示方法。以當?shù)卮髿鈮簭妏a作為零點起算的壓強值，稱為相對壓強，以表示。真空壓強真空度以絕對真空作為壓強的零點，稱為絕對壓強，以表示。二、壓強的計量單位和表示方法第三節(jié)流體靜力學根本方程三、流體靜力學根本方程的物理意義和幾何意義1.流體靜力學根本方程的物理意義Z：單位重量流體從某一基準面算起所具有的位能，因為是對單位重量而言，所以稱單位位能。：單位重量流體所具有的壓能，稱單位壓能。在靜止流體中任一點的單位位能與單位壓能之和，即單位勢能為常數(shù)。三、流體靜力學根本方程的物理意義和幾何意義2.流體靜力學根本方程的幾何意義在靜止流體中任一點的位置水頭與壓強水頭之和，亦即測壓管水頭Hp為常數(shù)。四、靜壓強分布圖流體靜力學根本方程可以用幾何圖形來表示，它可以清晰地表示出流體中各點靜壓強的大小和方向，即靜壓強的分布規(guī)律。表示各點靜壓強大小和方向的圖稱靜壓強分布圖第三節(jié)流體靜力學根本方程四、靜壓強分布圖五、測壓計1.U形管測壓計2.U形管壓差計：測量兩點間的壓強差當流體的密度、、時，由標尺量出h1，h2，h3值后，即可求得A、B兩點間的壓強差值如果有一容器，對地球來講作直線等加速或繞容器中心鉛錘軸作等角轉(zhuǎn)速度旋轉(zhuǎn)運動，而容器內(nèi)盛的液體與容器一起運動，液體質(zhì)點之間及質(zhì)點與器壁之間沒有相對運動，這樣，容器內(nèi)的液體相對于固定在運動容器上的動坐標系來講是靜止的，且處于平衡狀態(tài)。這種平衡狀態(tài)，稱液體的相對平衡。可以用流體靜力學的方法來處理這類流體動力學的問題。第四節(jié)液體的相對平衡靜止重力液體的平衡，是指流體相對于固定在地球上的不動坐標系來講是靜止的，質(zhì)量力僅是重力情況下的流體平衡。第四節(jié)液體的相對平衡1.圓筒以等加速度自由降落水體中各點的壓強都等于外表壓強2.圓筒繞其鉛錘中心軸以等角速度旋轉(zhuǎn)液體質(zhì)點A受到的慣性力為單位質(zhì)量力在各坐標軸的分量為2.圓筒繞其鉛錘中心軸以等角速度旋轉(zhuǎn)代入邊界條件相對壓強第四節(jié)液體的相對平衡等壓面方程自由外表方程2.圓筒繞其鉛錘中心軸以等角速度旋轉(zhuǎn)一、圖解法第五節(jié)作用在平面上的液體總壓力液體總壓力的方向垂直于矩形平面，并指向平面，液體總壓力的作用線通過靜壓強分布圖體積的重心。液體總壓力作用線與矩形平面相交的作用點D稱為壓力中心。二、解析法求解作用在任意平面上的液體總壓力二、解析法求解作用在任意平面上的液體總壓力作用在dA面積上的液體總壓力為作用在整個受壓平面面積為A上的液體總壓力為作用在任意形狀平面上的液體總壓力大小，等于該平面的淹沒面積與其形心處靜壓強的乘積，而形心處的靜壓強就是整個受壓平面上的平均壓強。總壓力的方向垂直于平面，并指向平面。壓力中心點D的位置，根據(jù)物理學中合力矩定理〔合力對任一軸的力矩等于各分力對該軸的力矩之代數(shù)和〕求出，即對x軸取力矩得受壓平面面積對Ox軸的慣性矩根據(jù)慣性矩的平行移軸定理第六節(jié)作用在曲面上的液體總壓力作用在微小面積上的液體總壓力第六節(jié)作用在曲面上的液體總壓力水平分力和鉛錘分力分別為水平總分力hc為曲面在鉛錘面上投影面積的形心的淹沒深度。作用在圓柱形曲面上液體總壓力的水平總分力的大小等于該淹沒曲面相應(yīng)的鉛錘投影面積上所承受的液體總壓力。鉛錘總分力

以曲面本身與其在自由外表〔或自由外表的延續(xù)面〕上的投影面積Az之間的鉛錘體幾何體的體積，這個幾何體稱壓力體。它的體積稱壓力體體積V,其重量稱壓力體的重量G。作用在圓柱形曲面上液體總壓力的鉛錘總分力的大小等于壓力體體積的液體重量，F(xiàn)pz的方向〔向上或向下〕取決于液體與曲面外表的相對位置。沒有液體存在的壓力體，稱虛構(gòu)壓力體，方向是向上的。壓力體被液體充滿，稱實在壓力體，