2021年湖南省長沙市岳麓區中考數學模擬試卷

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分）

1.若二次根式有意義，則X的取值范圍是（）

A.%<3B.xW3C.x<3D.x>3

3.下列計算正確的是（）

A.2a2+3a2=5a4B.（a+b）2=a2+ab+b2

C.（—2a2）3——8a6D.—2a2-3a2——6a2

4.圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有4000多年的歷史2017年5月，世

界圍棋冠軍柯潔與人工智能機器人A/p/mG。進行圍棋人機大戰.截取首局對戰棋譜

中的四個部分，由棋子擺成的圖案（不考慮顏色）是中心對稱的是（）

5.不等式組售:屋；_q的解集在數軸上表示為（）

6.下列說法正確的是（）

A.一個游戲的中獎概率是2則做10次這樣的游戲一定會中獎

B.為了解全國中學生的心理健康情況，應該采用普查的方式

C.一組數據8,8,7,10,6,8,9的眾數和中位數都是8

D.若甲組數據的方差S2=0.01,乙組數據的方差s2=0.1,則乙組數據比甲組數

據穩定

7.如圖，在AABC中，是48邊上的高，BE平分/ABC,交

CC于點E,BC=5,DE=2,則△BCE的的面積等于（）

A.4

B.5

C.7

D.10

8.隨著全球能源危機的逐漸加重，太陽能發電行業發展迅速.全球太陽能光伏應用市

場持續穩步增長，2019年全球裝機總量約600GW,預計到2021年全球裝機總量達

至U864GIV.設全球新增裝機量的年平均增長率為x,則可列的方程為（）

A.600（1+2x）=864B.600+2x=864

C.（600+x）2=864D.600（1+x）2=864

9.如圖，線段A8是。。的直徑，CD是O。的弦，過點

C作。。的切線交AB的延長線于點E,NE=42。，/

貝此CDB等于（）k°//B

A.22°、~~p

B.24°

C.28°

D.48°

10.若點是拋物線y=-2/+2x+m上的點，且拋物線與x軸至多有一個交點,

則771-72的最小值（）

二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）

11.2021年2月24日，我國首次火星探測任務天問一號探測器成功實施第三次近火制

動，進入火星停泊軌道.此次天間一號探測器進入的火星停泊軌道是與火星的最遠

距離59000000米的橢圓形軌道.將59000000米用科學記數法表示為米.

第2頁，共23頁

12.如圖,已知a〃b,41=128°,則42=

時，函數y=%的圖象在第二、四象限內.

14.若圓錐的底面直徑為6。〃，母線長為10c”，則圓錐的側面積為cm2.

15.在一個不透明的布袋中裝有除顏色外其他都相同的黃、白兩種顏色的球共40個,

從中任意摸出一個球，若摸到黃球的概率為段,則布袋中黃球的個數為.

16.如圖，△ABC中，Z.BAC=90°,Z.ACB=30°,將△ABC繞

點A順時針旋轉得到△ABiG，點C的對應點恰好落在CB/\

的延長線上，連接CB】，則箸=,/\

三、解答題（本大題共9小題，共72.0分）

17.計算：G)T+2tan6(r-(2021+7r)0-VI.

18.先化簡，再求值：-----）,其中x=2+夜.

19.如圖，在5x7的正方形網格中，A、B、C都是格點，

AB為半圓的直徑，C在半圓上，請你僅用無刻度的

直尺完成以下作圖(保留作圖痕跡)：

(1)作點A關于直線BC的對稱點D；

(2)直接標出弦的中點及半圓的圓心0,并作BC

弧的中點E；

(3)在射線BC上作點F,使N4FB=/.BAC.

20.九(1)班針對“你最向往的研學目標”的問題對全班學生進行了調查(共提供48、

C、。四個研學目標，每名學生從中分別選一個目標)，并根據調查結果列出統計表

繪制扇形統計圖.

男、女生最向往的研學目標人數統計表

目標ABCD

男生(人數)7tn25

女生(人數)942n

根據以上信息解決下列問題：

(l)m=,n_；

(2)扇形統計圖中A所對應扇形的圓心角度數為；

(3)從最向往的研學目標為C的4名學生中隨機選取2名學生參加競標演說，求所

選取的2名學生中恰好有一名男生、一名女生的概率.

第4頁，共23頁

學生最向往的研學目標人數扇形統計圖

21.如圖，A。平分NB4C,AB=AC,且4B〃C。，點E在線段4D.上，BE的延長線交

CD于點F,連接CE.

⑴求證：^ACE^^ABE.

(2)當4c=4E,NC/W=38。時，求NDCE的度數.

B

22.為進一步提升摩托車、電動自行車騎乘人員和汽車駕乘人員安全防護水平，公安部

交通管理局部署在全國開展“一盔一帶”安全守護行動.某商店銷售兩種頭盔,

批發價和零售價格如表所示，請解答下列問題.

名稱A種頭盔B種頭盔

批發價(元/個)6040

零售價(元/個)8050

(1)第一次，該商店批發A,8兩種頭盔共120個，用去5600元錢，求A,B兩種頭

盔各批發了多少個？

(2)第二次，該商店用7200元錢仍然批發這兩種頭盔(批發價和零售價不變)，要想

將第二次批發的兩種頭盔全部售完后，所獲利潤率不低于30%,則該超市第二次至

少批發A種頭盔多少個？

23.如圖，在中，ZC=90°,平分工BAC交BC于點Q,。為AB上一點,

經過點4,。的。。分別交AB,AC于點E,F,連接。尸交AO于點G.

(1)求證：BC是。。的切線;

(2)求證：AD2=AB-AF-,

(3)若BE=12,tanB=求的長.

第6頁，共23頁

24.設點尸在矩形ABC。內部，當點P到矩形的一條邊的兩個端點距離相等時，稱點P

為該邊的“中軸點”.例如：若點尸在矩形4BCO內部，且PA=PD,則稱P為邊

AQ的“中軸點”.已知點尸是矩形ABCC邊A。的“中軸點”，且4B=10,BC=8,

如圖1.

(1)求證：尸是矩形ABC。邊BC的“中軸點”；

(2)如圖2,連接P4PB,若A/MB是直角三角形，求的值；

(3)如圖3,連接PA,PB,PD,求tanNPDC-tan"B4的最小值.

25.拋物線y=a/+c與x軸交于A,B兩點，頂點為C,點P為拋物線上，且位于x

軸下方.

(1)如圖1,若P(l,-3),B(4,0).

①求該拋物線的解析式；

②若。是拋物線上一點，滿足NDPO=NPOB,求點。的坐標；

(2)如圖2,已知直線PA,P8與y軸分別交于E、F兩點.當點尸運動時，安等是

否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由.

y

第8頁，共23頁

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查二次根式有意義的條件，解題的關鍵是熟練運用二次根式有意義的條件，本題

屬于基礎題型,根據二次根式有意義的條件即可求出答案.

【解答】

解：由題意可知：%-3>0,

x>3.

故選D

2.【答案】B

【解析】解：俯視圖從左到右分別是2,1,2個正方形，如圖所示:

故選：B.

俯視圖有3列，從左到右正方形個數分別是2,1,2.

本題考查了簡單組合體的三視圖，培養學生的思考能力和對幾何體三種視圖的空間想象

能力.

3.【答案】C

【解析】解：2a2+3a2=5a2,故選項4錯誤；

(a+b)2=a2+2ab+b2,故選項B錯誤；

(-2a2)3=-8a6,故選項C正確；

-2a2-3a2=-6a4,故選項。錯誤；

故選：C.

根據各個選項中的式子可以計算出正確的結果，從而可以解答本題.

本題考查整式的混合運算，解答本題的關鍵是明確整式混合運算的計算方法.

4.【答案】A

【解析】解：A、是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

8、不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

C、不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

。、不是中心對稱圖形，故本選項不合題意.

故選：A.

根據中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞某一點旋轉180。，如果旋轉后的圖形能夠與原

來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形可得答案.

本題考查了中心對稱圖形，熟記定義是解答本題的關鍵.

5.【答案】D

【解析】解：不等式組112①

(3(x-5)<-9(2)

由①得：x>1,

由②得：x<2,

不等式組的解集為1W%<2.

數軸上表示如圖：

故選：D.

首先解出不等式的解集，然后再根據不等式組解集的規律：大小小大中間找，確定不等

式組的解集，再在數軸上表示即可.

此題主要考查了解一元一次不等式組，以及在數軸上表示不等式的解集，關鍵是正確確

定不等式組的解集.

6.【答案】C

【解析】解：A、一個游戲的中獎概率是2，則做10次這樣的游戲可能中獎，故本選項

錯誤；

8、了解全國中學生的心理健康情況，范圍比較廣，應采用抽查的反思調查，故本選項

錯誤；

C、數據8,8,7,10,6,8,9中8出現的次數最多的為8,故眾數為8,排序后中位

數為8,故本選項正確；

。、根據方差越小越穩定可知乙組數據比甲組數據穩定，故本選項錯誤.

故選：C.

第10頁，共23頁

利用概率的意義、全面調查與抽樣調查、中位數、眾數及概率的意義逐項判斷即可得到

正確的答案.

本題考查了概率的意義、全面調查與抽樣調查、中位數、眾數及概率的意義，考查的知

識點比較多，但相對比較簡單.

7.【答案】B

【解析】解：過E作EF1BC于點F,

???CD是48邊上的高，BE平分乙4BC,

*EF=DE=2,

■-ShBCE=^BC-EF=^x5x2=5,BFC

故選：B.

過E作EF1BC于點F,由角平分線的性質可求得EF=DE,則可求得ABCE的面積.

本題主要考查角平分線的性質，掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解題的關鍵.

8.【答案】D

【解析】解：設全球新增裝機量的年平均增長率為x,

由題意得：600(1+x)2=864,

故選：D.

根據題意可得等量關系：2019年的裝機總量x(l+增長率尸=2021年的裝機總量，根

據等量關系列出方程即可.

此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，關鍵是掌握平均變化率的方法，若設

變化前的量為“，變化后的量為6,平均變化率為％則經過兩次變化后的數量關系為

a(l+x)2—b.

9.【答案】B

【解析】解：連接OC,

???CE是。。的切線，」Z7

：?Z-OCE=90°,

???乙E=42°,

,o

AzC0￡=90°-42=48°,

」CDB="COE=24。.

故選：B.

連接0C,根據切線的性質可知40CE=90。,再由直角三角形的性質得出乙COE的度數，

由圓周角定理即可得出結論.

本題考查的是切線的性質，熟知圓的切線垂直于經過切點的半徑是解答此題的關鍵.

10.【答案】B

【解析】解：?.?拋物線y=-2/+2無+m與無軸至多有一個交點，

.??△=4—4X(―2)m<0,

解得zu<—

??.點是拋物線y=-2x2+2%+7n上的點，

???n=—2m2+2m+m,

m—n=27n2-27n=2(m—1)2—1,

???mW/

.?.當巾=-［時，m-n有最小值，最小值為2x2一［=|,

故選：B.

根據題意求得m的取值，然后把點代入y=-2x2+2x+m,得到n=-2m2+

2m+m,進一步得到zn-n=2m?-2m=2(m-1)2一結合，〃的取值，根據二次

函數的性質即可求得結果.

本題考查了拋物線與無軸的交點，二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的最值，熟

練掌握二次函數的性質是解題的關鍵.

11.【答案】5.9x107

【解析】解：59000000米=5.9x107米.

故答案為：5.9x107.

用科學記數法表示較大的數時，一般形式為ax10n,其中1<|a|<10,〃為整數，且

〃比原來的整數位數少1,據此判斷即可.

此題主要考查了用科學記數法表示較大的數，一般形式為ax10n,其中1<|a|<10,

確定a與〃的值是解題的關鍵.

12.【答案】52°

第12頁，共23頁

【解析】解：如圖所示:

a//b,

???Z.3=Z.1=128°.

又：42+43=180°,

42=180°-Z.3=180°-128°=52°.

故答案為：52。.

由平行線的性質得出43=41=128。，再結合42,43互補，即可求出N2的度數.

本題考查了平行線的性質以及鄰補角，牢記“兩直線平行，同位角相等”是解題的關鍵.

13.【答案】<2

【解析】解：?.?函數y=詈的圖象在第二、四象限內.

m—2<0,

m<2.

由雙曲線在第二、四象限，可知k<0即可解答.

本題考查了反比例函數圖象與性質，熟記k<0,圖象位于第二、四象限是解題的關鍵.

14.【答案】307r

【解析】解：圓錐的側面積=：x6兀x10=30兀(cm?).

故答案為307r.

利用圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等

于圓錐的母線長和扇形的面積公式計算.

本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的

周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.

15.【答案】18

【解析】解：設袋子中黃球有x個，根據題意，得：

_X___9_

40-20,

解得：%=18,

即布袋中黃球可能有18個,

故答案為：18.

利用摸到黃球的概率為盤，然后根據概率公式計算即可.

此題考查了幾何概率，掌握概率公式的求法即概率=所求情況數與總情況數之比是解題

的關鍵，是一道常考題型.

16.【答案】亙

2

【解析】解：如圖，延長CA交81cl于H,

???Z.BAC=90°,Z.ACB=30°,

???CB=2AB=2x,AC=V3x,

???將△ABC繞點、A順時針旋轉得到^ABiG，

：?BC-B1C1,AC=AG，

??.乙ACB=心4C$=30°,

v/.ABC=Z-BAC1+乙AQB=60°,

:.4BAq=Z-AC1B1=30°,

???AB

???Z,CAB=乙CH￡=90°,

???^BrAH=30°,

???="Bi=I，AH=^x,

“3V3

*'?CH=—xf

2

BiC=[CH2+BW=-V7x,

B1G2

第14頁，共23頁

故答案為亞.

2

由直角三角形的性質可求CB=22B,由旋轉的性質可得BC=/G，AC=ACr,由等

腰三角形的判定和性質可得AB=BG，即可求解.

本題考查了旋轉的性質，直角三角形的性質，等腰三角形的性質，掌握旋轉的性質是本

題的關鍵.

17.【答案】解：原式=2+2b一1—1

=2V3.

【解析】直接利用特殊角的三角函數值以及負整數指數基的性質、零指數基的性質、算

術平方根分別化簡得出答案.

此題主要考查了實數運算，正確化簡各數是解題關鍵.

18.【答案】解：原式=空十^i

x-lx—1

x+2x—1

x-1(x+2)(x—2)

1

一X-2，

當x=2+四時，

【解析】先根據分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再將x的值代入計算即可.

本題主要考查分式的化簡求值，解題的關鍵是掌握分式的混合運算順序和運算法則.

19.【答案】解：(1)如圖，點。即為所求作.

(2)如圖，點。，點T,點E即為所求作.

(3)如圖，點尸即為所求作.

【解析】(1)根據軸對稱的性質解決問題即可.

(2)取AB,BC的中點O,T,作射線0T交。。于點E,點0,T,E即為所求作.

(3)取格點R,連接4R交直線BC于點凡點尸即為所求作.

本題考查作圖-軸對稱變換，線段的垂直平分線的性質，垂徑定理，圓周角定理等知識,

解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題.

20.【答案】83144°

【解析】解：(1)樣本容量=(2+2)+30%=40,

依據題意得：(4+m)=40x30%,

解得:m=8；

Ti=40—7—8—2—5—9—4—2=3；

故答案為：8、3；

(2)(7+9)+40x360°=144°；

故答案為：144°.

(3)列表得：

男1男2女1女2

男1—男2男1女1男1女2男1

男2男1男2—女1男2女2男2

女1男1女1男2女1—女2女1

女2男1女2男2女2女1女2—

由表格可知，共有12種等可能的結果數，其中恰好選中1男1女的結果數為8,

所以恰好選中1男1女的概率P=卷=|.

(1)先根據C組男女生人數及其所占百分比求出樣本容量，再根據B組對應百分比及女

生8組人數求解可得相的值，最后根據各組人數之和等于總人數求出〃的值；

(2)用360。乘以A組人數所占比例即可；

(3)應用列表法的方法，求出恰好選到1名男生和1名女生的概率是多少即可.

此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的

結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注

意此題是放回實驗還是不放回實驗.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之

比.

21.【答案】證明：平分ZB4C,

???Z-CAE=Z-BAEJ

第16頁，共23頁

在ZMCE和中，

AC=AB

Z-CAE=4BAE,

AE=AE

ACE三△ABE(SAS)；

(2)???/C=/E,Z-CAD=38°,

:.Z-ACE=乙AEC=71°,

又???乙CAD=Z.BAD=38°,

???乙CAB=乙CAD+BAD=38°+38°=76°,

-AB//CD,

???△DCA+4B4C=180。，

??.Z.DCE+Z,ACE+4BAD=180°,

???乙DCE=180°-71°-76°=33°.

【解析】(1)先由角平分線的性質可得NC4E=Z.BAE,再根據已知條件即可用SAS證明

方法進行證明即可得出答案；

(2)現根據等腰三角形的性質可得出乙4CE=乙4EC=71°,再根據平行線的性質，

Z.DCA+^BAC=180°,求解即可得出答案.

本題主要考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，熟練應用相關的性質進

行求解是解決本題的關鍵.

22.【答案】解：(1)設第一次A種頭盔批發了x個，B種頭盔批發了y個.

根據題意,得｛忠就上5600,

解得:諭，

答:第一次A種頭盔批發了40個，8種頭盔批發了80個.

(2)設第二次批發A種頭盔。個，則批發B種頭盔三泮個.

由題意，得(80-60)a+(50-40)x7-°~6—>7200x30%,

解得：a>72,

答：第二次該商店至少批發72個A種頭盔.

【解析】（1）設第一次A種頭盔批發了x個，B種頭盔批發了y個.根據題意列出二元一

次方程組，解方程組即可得出答案；

（2）設第二次批發A種頭盔a個，則批發B種頭盔要產個.根據題意列出一元一次不

等式，則可得解.

本題考查一元一次不等式組的應用、二元一次方程組的應用，解答本題的關鍵是明確題

意，利用方程組和不等式的知識解答.

23.【答案】解：（1）如圖1,

連接QD,則。4=。。,

???Z.ODA=Z.OAD，

???力0是4B4C的平分線，

???Z.OAD=Z.CAD,

???Z.ODA=Z.CAD,

???OD//AC,

:.Z.ODB=Z.C=90°,

???點。在。。上，

BC是。。的切線；

(2)如圖2,

連接0。DF,EF,

???4E是。。的直徑，

???AAFE=90°=ZC,

EF//BC,

???乙B=Z-AEF,

第18頁，共23頁

???Z.AEF=Z.ADF,

:.乙B=Z.ADF,

由(1)知，^BAD=Z.DAFf

ABD?△ADF

tAB_AD

"AD-AF9

2

AAD=AB-AF；

(3)如圖3,

連接EF

在RCZiB。。中，tanB

12BD

VOD2+BD2=OB2,設0。為5x,則8。為12x,

由勾股定理得B。=y/BD2+OD2=13x>

.r,OD5

AsinB=—=——，

OB13

設半徑為r,

則工=

r+213

得「若，

:.AE—15,AB=AE+BE=27,

???4E為直徑，

:.Z.AFE=ZC=90°,

??.EF//BC,

:.Z.AEF=乙B,

sin乙4EF=—=—,

AE13

15x-75

1313,

vAD2=ABAF,

???4。=廝"=》1=誓

【解析】(1)先判斷出。0〃4C,得出4。。8=90。，即可得出結論；

(2)先判斷出乙4EF=NB,再判斷出乙4EF=乙4。/，進而得出ZB=NADF,進而判斷

出△ABC?△4DF，即可得出結論；

(3)連接EF,在直角三角形80。中，根據勾股定理可得8。的長度用B。和。。表示，

進而得SMB=躇=2設圓的半徑為r,由sinB的值，利用銳角三角函數定義求出r

UD13

的值，由直徑所對的圓周角為直角，得至UE尸與8c平行得至iJsinN4EF=sin/B,進而求

出AF的長，再根據(2)的結論可求出AZ)的長.

此題是圓的綜合題，主要考查了切線的判定，圓周角的性質，相似三角形的判定和性質，

銳角三角函數，求出圓的半徑是解本題的關鍵.

24.【答案】解：(1)連接P8、PC,如圖所示：

圖1

???點尸為該邊的“中軸點”，

???PA=PD,/.PDA=/.PAD,

又???4CDA=Z.DAB=90°,

???Z.CDP=Z.BAP,

在△COP和中，

PD=PA

Z.CDP=4BAP,

CD=BA

CDP^^BAP(SAS),

:?PC=PB,

??.P是矩形ABC。邊8。的“中軸點“；

(2)解：連接PQ,過點P作于點E,過點P作PF1AB于點F,

第20頁，共23頁

圖2

由(1)得PO=PA,故4PDA為等腰三角形，

DE—EA--AD—-BC=-x8=4,

222

???在四邊形PEAF中，Z.PEA=AEAF=乙4FP=90°,

四邊形PE”為矩形，

:.EA=PF=4,

又???△24B是直角三角形，2LPFA=PFB=90°,

/.PAF=90°-4PBA,乙FPB=90°-4PBF,

即NP4F=乙FPB,

???△凡4Ps△FPB,

...—AF=—PF,

PFBF

PF2=AF-BF,

即16=AF-BF,

設4F=x,則B尸=10-x,可得方程：

%(10—x')-16,

解得：X]=2,x2=8>

當4F=2時，P4=y/AF2+PF2=V22+42=2近，

當4F=8時，PA=>JAF2+PF2=V82+42=4①，

綜上，當APaB是直角三角形時，PA的值為2遍或4芯;

(3)過點P作PF'LAB于點F',如圖所示：

ppfPFt

1

Atan=Z-PDC—ImZ-PAF=—AFi,tanzPF/l=—BFr

：?tanzPDC-tanZ.PBA=--------,

AFf-BFi

設49'=久，則B〃=10—%,

16

???tanzPDC-tanZ-PBA='z■■■■,

x(10-x)

觀察易知，當x(10—x)取得最大值時，tan乙POC?tan4PB4取得最小值,

令y=x(10—%)=—x2+10x=—(%—5)2+25,

???-1<0,

???當％=5時，y取得最大值25,

：?16存在最小值:竺，

%(1