試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁天津市西青區2023-2024學年九年級上學期期中數學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．“垃圾分類，利國利民”，在2019年7月1日起上海開始正式實施垃圾分類，到2020年底先行先試的46個重點城市，要基本建成垃圾分類處理系統．以下四類垃圾分類標志的圖形，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（

）A．可回收物 B．有害垃圾 C．廚余垃圾 D．其他垃圾2．方程的根的情況是（

）A．有兩個不相等的實數根 B．無實數根C．有兩個相等的實數根 D．無法判定3．如圖，將直角三角板繞頂點A順時針旋轉到，點恰好落在的延長線上，，則為（

）A． B． C． D．4．將方程配方后，原方程可變形為（

）A． B． C． D．5．拋物線的頂點坐標是（

）A． B． C． D．6．如圖所示，陽光中學教學樓前噴水池噴出的拋物線形水柱，其解析式為y＝﹣（x﹣2）2+6，則水柱的最大高度是（）A．2 B．4 C．6 D．2+7．設A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是拋物線y＝x2﹣2x+c上的三點，y1，y2，y3的大小關系為（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y28．如圖，已知菱形的頂點，若菱形繞點O順時針旋轉得到菱形，則點的坐標是（

）A． B． C． D．9．如圖，學校課外生物小組試驗園地的形狀是長40米、寬34米的矩形，為便于管理，要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為960平方米．則小道的寬為多少米？若設小道的寬為x米，則根據題意，列方程為（

）A． B．C． D．10．二次函數的圖象如圖所示，則一次函數的圖象大致是(

)．A． B．C． D．11．關于二次函數，下列說法正確的是（

）A．圖像與軸的交點坐標為 B．圖像的對稱軸在軸的右側C．當時，的值隨值的增大而減小 D．的最小值為-312．如圖，拋物線的對稱軸為直線，與軸交于點，點在拋物線上，有下列結論：①；②一元二次方程的正實數根在2和3之間；③；④點，在拋物線上，當實數時，．其中，正確結論的個數是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題13．若方程是關于的一元二次方程，則滿足的條件是．14．若是關于x的方程的一根則k的值為．15．已知拋物線的頂點在坐標軸上，則b的值為．16．若二次函數的圖象經過原點，則m＝．17．如圖，將繞點O逆時針旋轉得到，若點B在上，則．18．已知實數，滿足等式，，則的值是．三、解答題19．解方程：(1)；(2)．20．在平面直角坐標系中，的A點坐標為，請你寫出B，C點的坐標．畫出關于原點O成中心對稱的．并寫出，，點的坐標．21．已知關于x的一元二次方程有兩個不等實數根，．(1)求k的取值范圍；(2)若，求k的值．22．某商品現在的售價是每件60元，每周可賣出300件．市場調查反映：若調整價格，每漲價1元，每周可少賣出10件．已知該商品的進價是每件40元．設該商品每件漲價x元（0≤x≤30）．(1)根據題意填寫表：售價（元/件）每件利潤（元）每周銷量（件）每周利潤（元）現在602030020×300＝6000漲價后60+x20+x(2)若計劃每周的利潤為6160元，該商品每件應漲價多少？23．已知二次函數的圖象為拋物線C．(1)寫出拋物線C的開口方向、對稱軸和頂點坐標；(2)當時，求該二次函數的函數值y的取值范圍；(3)將拋物線C先向左平移2個單位長度、再向上平移1個單位長度后，所得拋物線為．請直接寫出拋物線的函數解析式．24．在中，，將繞點C順時針旋轉，得，D，E分別是點B，A的對應點．記旋轉角為．（1）如圖①，連接AD，若，，，求AD的長；（2）如圖②，連接BD，若，求證：．25．如圖，關于x的二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且過點．(1)求b的值及該二次函數圖象的對稱軸；(2)連接，求的面積；(3)在上方拋物線上有一動點M，請直接寫出的面積取到最大值時，點M的坐標．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．B【分析】由題意根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義對各選項進行判斷，即可得出答案．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；B、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項符合題意；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；D、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；故選：B.【點睛】本題考查中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，注意掌握判斷軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合；判斷中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合．2．C【分析】把，，代入判別式進行計算，然后根據計算結果判斷方程根的情況．【詳解】解：∵一元二次方程，∴，，，∴，∴方程有兩個相等的實數根．故選：C．【點睛】本題考查了根的判別式，熟練掌握判別式與根的關系是解題的關鍵．當判別式時，一元二次方程有兩個不相等的實數根；當判別式時，一元二次方程有兩個相等的實數根；當判別式時，一元二次方程沒有實數根．3．B【分析】根據直角三角形兩銳角互余，求出的度數，由旋轉可知，在根據平角的定義求出的度數即可．【詳解】∵，∴，∵由旋轉可知，∴，故答案選：B．【點睛】本題考查直角三角形的性質以及圖形的旋轉的性質，找出旋轉前后的對應角是解答本題的關鍵．4．A【分析】將常數項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【詳解】解：．故選A．【點睛】本題考查利用配方法解一元二次方程．掌握配方法解一元二次方程的步驟是解答本題的關鍵．5．A【分析】根據二次函數y=a(x-h)2+k的性質解答即可．【詳解】解：拋物線的頂點坐標是，故選A．【點睛】本題考查了二次函數y=a(x-h)2+k(a，h，k為常數，a≠0)的性質，熟練掌握二次函數y=a(x-h)2+k的性質是解答本題的關鍵．y=a(x-h)2+k是拋物線的頂點式，a決定拋物線的形狀和開口方向，其頂點是(h，k)，對稱軸是x=h．6．C【分析】根據二次函數的性質，在頂點處取最值即可．【詳解】解：∵拋物線形水柱，其解析式為y＝﹣（x﹣2）2+6，∵a=-1＜0∴當x=2時，水柱的最大高度是：6．故選C．【點睛】本題考查二次函數的實際應用—噴水問題．根據二次函數的解析式得到拋物線頂點坐標是解決此類問題的關鍵．7．B【分析】由二次函數解析式可得拋物線開口方向及對稱軸，根據各點到對稱軸的距離的大小關系求解．【詳解】解：∵y＝x2﹣2x+c，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝1，∵1﹣（﹣2）＞2﹣1＞1﹣1，∴y1＞y3＞y2．故選：B．【點睛】本題考查二次函數的函數值與對稱軸之間的關聯，了解知識點并知道如何利用二次函數的對稱性比較函數值大小是解題關鍵．8．D【分析】過作軸于D，根據菱形與旋轉的性質，得出長和的度數，然后利用直角三角形性質與勾股定理求解即可．【詳解】解：過作軸于D，如圖所示，，菱形的頂點，菱形繞點O順時針旋轉得到菱形，，，，，，故點的坐標為；故選：D．【點睛】此題考查了菱形的性質、圖形旋轉的性質、含的直角三角形的性質與勾股定理等知識，熟練掌握相關的性質是解答此題的關鍵．9．A【分析】把三條小道平移到邊上，可以得到一個完整的種植區域，然后根據已知條件，列出方程即可．【詳解】如圖，把三條小路平移到邊上，構造完整的種植區域是矩形，由題干可知，大的矩形長40米、寬34米，小路寬為米，所以種植區域的長為（）米，寬為（）米，根據矩形面積公式可得，（40﹣2x）（34﹣x）＝960．故選：A．【點睛】本題考查列一元二次方程解決問題，關鍵是把握平移的性質，構造完整的矩形，方便列出方程．10．C【分析】觀察二次函數的圖象得：，可得，，從而得到一次函數的圖象經過第一、三、四象限，即可求解．【詳解】解：觀察二次函數的圖象得：，∴，，∴一次函數的圖象經過第一、三、四象限．故選：C【點睛】本題主要考查了一次函數和二次函數的圖象和性質，熟練掌握一次函數和二次函數的圖象和性質是解題的關鍵．11．D【詳解】∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，∴當x=0時，y=-1，故選項A錯誤，該函數的對稱軸是直線x=-1，故選項B錯誤，當x＜-1時，y隨x的增大而減小，故選項C錯誤，當x=-1時，y取得最小值，此時y=-3，故選項D正確，故選：D．【點睛】本題考查二次函數的性質、二次函數的最值，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質解答．12．B【分析】由拋物線開口方向得到a＞0，利用拋物線的對稱軸方程得到b＝?2a＜0，即可判斷①；利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點坐標在（2，0）與（3，0）之間，則根據拋物線與x軸的交點問題可對②進行判斷；把B（0，?2），A（?1，m）和b＝?2a代入拋物解析式可對③選項進行判斷；利用二次函數的增減性對④進行判斷．【詳解】解：∵拋物線開口向上，∴a＞0，∵拋物線的對稱軸為直線x＝＝1，∴b＝-2a＜0，∴ab＜0，故①正確；∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，拋物線與x軸的一個交點坐標在（0，0）與（﹣1，0）之間，∴拋物線與x軸的另一個交點坐標在（2，0）與（3，0）之間，∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的正實數根在2和3之間，故②正確；把B（0，﹣2），A（﹣1，m）代入拋物線得c＝﹣2，a﹣b+c＝m，而b＝﹣2a，∴a+2a﹣2＝m，∴a＝，故③正確；∵點P1（t，y1），P2（t+1，y2）在拋物線上，∴當點P1、P2都在直線x＝1的右側時，y1＜y2，此時t≥1；當點P1在直線x＝1的左側，點P2在直線x＝1的右側時，y1＜y2，此時0＜t＜1且t+1﹣1＞1﹣t，即＜t＜1，∴當＜t＜1或t≥1時，y1＜y2，故④錯誤；故選B．【點睛】本題考查了圖象法求一元二次方程的近似根：利用二次函數圖象的對稱性確定拋物線與x軸的交點坐標，從而得到一元二次方程的根．也考查了二次函數的性質，熟練掌握二次函數的相關知識是解題的關鍵．13．【分析】根據定義二次項系數不為0解題即可．【詳解】解：關于的方程是一元二次方程，，解得．故答案是：．【點睛】本題主要考查一元二次方程的定義，能夠熟記定義并列式是解題關鍵．14．5【分析】根據方程的解滿足方程直接代入求解即可得到答案．【詳解】解：∵是關于x的方程的一根，∴，解得，故答案為5．【點睛】本題考查方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數的值．15．或或【分析】將拋物線化成頂點式，求出頂點坐標，再根據頂點在坐標軸上，分在軸上或者軸上兩種情況求解即可得到結論．【詳解】解：拋物線，頂點坐標，拋物線的頂點在坐標軸上，當頂點在軸上時，，解得；當頂點在軸上時，，解得；綜上所述，b的值為或或，故答案為：-2或0或2．【點睛】本題考查二次函數的圖象與性質，掌握一般式化為頂點式，會求頂點坐標，并理解坐標軸上點的坐標特征是解決問題的關鍵．16．2【分析】根據二次函數圖象過原點，把代入解析式，求出m的值，還需要考慮二次項系數不能為零．【詳解】解：根據二次函數圖象過原點，把代入解析式，得，整理得，解得，∵，∴，∴．故答案為：2．【點睛】本題考查二次函數圖象的性質，需要注意解出的解要滿足二次項系數不能為零的隱藏條件．17．/80【分析】由旋轉的性質得，，，即可得．【詳解】解：∵繞點O逆時針旋轉得到，∴，，，∴∴，故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉的性質，解題的關鍵掌握旋轉的性質．18．【分析】根據已知判斷出m，n是方程的兩實數根，然后利用根與系數關系即可求解．【詳解】解：∵實數，滿足等式，，∴m，n是方程的兩實數根，∴，，∴，故答案為：【點睛】本題考查了方程的解以及一元二次方程的根與系數關系，能熟練利用方程解的定義得到m，n是方程的兩實數根是解題的關鍵．19．(1)，；(2)，．【分析】本題考查的是一元二次方程的解法；掌握公式法與因式分解的方法解方程是關鍵．（1）先計算，再利用求根公式解方程即可；（2）先把方程移項，再分解因式為，再化為兩個一次方程，再解一次方程即可．【詳解】（1）解：，∴，∴，解得：，；（2），∴，∴，∴或，解得：，．20．畫圖見解析，，，，，．【分析】本題考查的是坐標與圖形，畫關于原點對稱的三角形，先確定A，B，C關于原點的對稱點，，，再順次連接即可，再根據點的位置可得其坐標，熟記中心對稱的性質并進行畫圖是解本題的關鍵．【詳解】解：如圖，即為所畫的三角形，，，，，．21．(1)(2)2【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式大于0建立不等式，解不等式即可得；（2）先利用一元二次方程的根與系數的關系可得，再結合（1）的結論即可得．【詳解】（1）解：關于的一元二次方程有兩個不等實數根，此方程根的判別式，解得．（2）解：由題意得：，解得或，由（1）已得：，則的值為2．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式、以及根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程的相關知識是解題關鍵．22．(1)；(2)該商品每件應漲價2元或8元【分析】（1）根據題意列出代數式即可求解；（2）根據（1）的結論，結合題意，列出一元二次方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：依題意得：該商品每件漲價x元時，每件利潤為元，每周銷量為件，每周利潤為元．故答案為：；．（2）依題意得：＝6160，整理得：，解得：．答：該商品每件應漲價2元或8元．【點睛】本題考查了列代數式，一元二次方程的應用，根據題意列出代數式以及方程是解題的關鍵．23．(1)拋物線C的開口向下，對稱軸為直線，頂點坐標為；(2)y的取值范圍為；(3)【分析】（1）把拋物線解析式化為頂點式可求得拋物線C的開口方向、對稱軸和頂點坐標；（2）根據二次函數的性質可得出答案；（3）根據平移規律：上加下減，左加右減，直接寫出平移后的解析式．【詳解】（1）解：∵，∴拋物線C的開口向下，對稱軸為直線，頂點坐標為；（2）解：∵，∴當時，y隨x的增大而減小，當時，y隨x的增大而增大，當時，；當時，；∴當時，二次函數的函數值y的取值范圍為；（3）解：∵拋物線C：向左平移2