第8講整式的除法（4大考點）考點考向考點考向一：同底數冪的除法1、同底數冪相除：同底數的冪相除，底數不變，指數相減．用式子表示為：（，，都是正整數）．2、規定；（，是正整數）．二：單項式除以單項式1、單項式除以單項式：兩個單項式相除，把系數、同底數冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式．三：多項式除以單項式1、多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以單項式，再把所得的商相加．（1）多項式除以單項式，商式與被除式的項數相同，不可丟項，如（2）中容易丟掉最后一項．（2）要求學生說出式子每步變形的依據．（3）讓學生養成檢驗的習慣，利用乘除逆運算，檢驗除的對不對．考點精講考點精講一．同底數冪的除法（共4小題）1．（2022春?金山區月考）計算：x7÷x2＝x5．【分析】根據同底數冪的除法法則進行解答即可．【解答】解：x7÷x2＝x7﹣2＝x5，故答案為：x5．【點評】此題考查了同底數冪的除法，熟練掌握同底數冪相除，底數不變指數相減是解題的關鍵．2．（2022春?普陀區校級期中）計算：（y3）2÷y5＝y．【分析】根據冪的乘方，底數不變指數相乘；同底數冪相除，底數不變指數相減的運算性質計算即可．【解答】解：（y3）2÷y5，＝y6÷y5，＝y．【點評】本題主要考查冪的乘方，同底數冪的除法的性質，熟練掌握運算性質是解題的關鍵．3．（2022春?浦東新區期中）計算：（﹣a6）÷（﹣a）2＝﹣a4．【分析】根據同底數冪相除的法則：底數不變，指數相減即可得出答案．【解答】解：（﹣a6）÷（﹣a）2＝﹣（a6÷a2）＝﹣a4．故答案為：﹣a4．【點評】本題考查了同底數冪的除法，同底數冪相除的法則：底數不變，指數相減．4．（2021秋?普陀區期末）已知3m＝4，3n＝5，分別求3m+n與32m﹣n的值．【分析】利用同底數冪的乘法的法則，同底數冪的除法的法則，冪的乘方的法則對所求的式子進行整理，再代入運算即可．【解答】解：當3m＝4，3n＝5時，3m+n＝3m×3n＝4×5＝20；32m﹣n＝32m÷3n＝（3m）2÷3n＝42÷5＝16÷5＝．【點評】本題主要考查同底數冪的除法，同底數冪的乘法，冪的乘方，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．二．整式的除法（共6小題）5．（2022春?金山區校級月考）計算：4a3÷2a＝2a2．【分析】直接利用整式的除法運算法則計算得出答案．【解答】解：4a3÷2a＝2a2．故答案為：2a2．【點評】此題主要考查了整式的除法運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．6．（2021秋?普陀區期末）計算：（9a6﹣12a3）÷3a3＝3a3﹣4．【分析】直接利用整式的除法運算法則計算得出答案．【解答】解：（9a6﹣12a3）÷3a3＝9a6÷3a3﹣12a3÷3a3＝3a3﹣4．故答案為：3a3﹣4．【點評】此題主要考查了整式的除法運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．7．（2022春?松江區校級期中）計算：x÷（x2﹣x）＝．【分析】先把除法運算寫成分式的形式，再根據分式的基本性質進行化簡即可．【解答】解：原式＝＝＝．故答案為：．【點評】本題考查了利用分式的基本性質進行化簡，對于分子或分母是多項式時，要先進行因式分解再約分．8．（2021秋?靜安區期末）計算x÷2x2的結果是（）A． B． C． D．2x【分析】根據整式的除法法則計算即可得出答案．【解答】解：原式＝（1÷2）（x÷x2）＝?＝，故選：B．【點評】本題考查了整式的除法，掌握單項式除以單項式，把系數，同底數冪分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數一起作為商的一個因式是解題的關鍵．9．（2021秋?浦東新區期末）計算：（18x3y2﹣12x2y3+x2y2）÷（﹣6x2y2）＝．【分析】用多項式的每一項與單項式相除，然后相加即可得出答案．【解答】解：（18x3y2﹣12x2y3+x2y2）÷（﹣6x2y2）＝﹣3x+2y﹣；故答案為：﹣3x+2y﹣．【點評】此題考查了整式的除法，熟練掌握整式的除法法則是解題的關鍵，是一道基礎題．10．（2021秋?寶山區期末）小明在進行兩個多項式的乘法運算時，不小心把乘（x﹣2y）錯抄成除以（x﹣2y），結果得到3x，如果小明沒有錯抄題目，并且計算依然正確，那么得到的結果應該是什么？【分析】根據小明的做法求出第一個多項式，根據多項式乘多項式的法則即可得出答案．【解答】解：3x（x﹣2y）＝3x2﹣6xy，（3x2﹣6xy）（x﹣2y）＝3x3﹣6x2y﹣6x2y+12xy2＝3x3﹣12x2y+12xy2．答：得到的結果應該是3x3﹣12x2y+12xy2．【點評】本題考查了多項式乘多項式，掌握多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另外一個多項式的每一項，再把所得的積相加是解題的關鍵．三．整式的混合運算（共5小題）11．（2022春?寶山區校級月考）如圖所示的正方形和長方形卡片若干張，拼成一個長為（2a+b），寬為（a+b）的矩形，需要B類卡片3張．【分析】先求出長為2a+b，寬為a+b的矩形面積，然后對照A、B、C三種卡片的面積，進行組合．【解答】解：長為2a+b，寬為a+b的矩形面積為（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，A圖形面積為a2，B圖形面積為ab，C圖形面積為b2，則可知需要A類卡片2張，B類卡片3張，C類卡片1張．【點評】本題主要考查多項式的乘法運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．12．（2022春?崇明區校級期中）計算（1﹣）（）﹣（1﹣﹣）（）的結果是．【分析】設a＝1﹣﹣﹣﹣，b＝+++，然后根據整式的乘法與加減混合運算進行計算即可得解．【解答】解：設a＝1﹣﹣﹣﹣，b＝+++，則原式＝a（b+）﹣（a﹣）?b＝ab+a﹣ab+b＝（a+b），∵a+b＝1﹣﹣﹣﹣++++＝1，∴原式＝．故答案為：．【點評】本題考查了整式的混合運算，利用換元法可以使書寫更簡便且形象直觀．13．（2022春?寶山區校級月考）將4個數a，b，c，d排成2行、2列，兩邊各加一條豎直線記成，定義＝ad﹣bc，上述記號就叫做2階行列式．若，則x＝2．【分析】根據題中的新定義將所求的方程化為普通方程，整理后即可求出方程的解，即為x的值．【解答】解：根據題意化簡＝8，得：（x+1）2﹣（1﹣x）2＝8，整理得：x2+2x+1﹣（1﹣2x+x2）﹣8＝0，即4x＝8，解得：x＝2．故答案為：2【點評】此題考查了整式的混合運算，屬于新定義的題型，涉及的知識有：完全平方公式，去括號、合并同類項法則，根據題意將所求的方程化為普通方程是解本題的關鍵．14．（2022?閔行區校級開學）0.125（x﹣y）3?（y﹣x）4﹣0.875（y﹣x）?（y﹣x）6+（x﹣y）2?（y﹣x）5+0.5（y﹣x）7．【分析】根據同底數冪的乘法法則化簡后，再合并同類項即可．【解答】解：0.125（x﹣y）3?（y﹣x）4﹣0.875（y﹣x）?（y﹣x）6+（x﹣y）2?（y﹣x）5+0.5（y﹣x）7＝0.125（x﹣y）7+0.875（x﹣y）7﹣（x﹣y）7﹣0.5（x﹣y）7＝（0.125+0.875）（x﹣y）7+（﹣﹣0.5）（x﹣y）7＝（x﹣y）7﹣2（y﹣x）7＝﹣（y﹣x）7．【點評】本題考查了整式的混合運算，掌握同底數冪的乘法法則是解答本題的關鍵．15．解關于x的方程：（k+1）（k﹣1）x﹣2（k+1）（k+2）＝0．【分析】將k看作已知數，按一元一次方程的解法步驟求解即可．【解答】解：移項，（k+1）（k﹣1）x＝2（k+1）（k+2），當k+1≠0，且k﹣1≠0，即當k≠±1時，系數化為1，得x＝，化簡，得x＝．【點評】此題考查了解決含字母參數的一元一次方程問題的能力，關鍵是能將字母參數看作已知數進行求解，并討論字母參數符號的條件．四．整式的混合運算—化簡求值（共1小題）16．（2022春?寶山區校級月考）先化簡，再求值：（1）2（x2）3﹣x（2x5﹣x），其中x＝3；（2）[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）]÷（2x），其中x＝1，y＝﹣2．【分析】（1）先用冪的乘方、乘法分配律計算，再合并同類項，化簡后將x＝3代入即可；（2）先用完全平方、平方差公式，將括號內合并后再算除法，化簡后將x＝1，y＝﹣2代入即可．【解答】解：（1）原式＝2x6﹣2x6+x2＝x2，把x＝3代入得：原式＝32＝9；（2）原式＝（x2﹣4xy+4y2+x2﹣4y2）÷（2x）＝（2x2﹣4xy）÷（2x）＝x﹣2y，把x＝1，y＝﹣2代入得：原式＝1﹣2×（﹣2）＝1+4＝5．【點評】本題考查整式化簡求值，解題的關鍵是掌握整式運算的相關法則、公式，將整式化簡．鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2022·上海·七年級期中）計算（﹣6xy2）2÷（﹣3xy）的結果為（）A．﹣12xy3 B．2y3 C．12xy D．2xy3【答案】A【分析】先算積的乘方，再進行除法計算【詳解】原式＝36x2y4÷（﹣3xy）＝﹣12xy3，故選：A．【點睛】本題考查了積的乘方，單項式的除法，掌握計算方法和計算順序是解題關鍵．2．（2022·上海·七年級期中）已知，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據冪的公式逆運算即可求解.【詳解】∵，∴=()2÷()3=32÷23=故選B【點睛】此題主要考查冪的運算，解題的關鍵是熟知冪的運算公式.二、填空題3．（2022·上海·七年級期末）計算__________．【答案】【分析】根據單項式除以單項式運算法則，本題只需要把系數、同底數冪分別相除作為商的因式，計算得出答案即可．【詳解】解：原式．【點睛】本題考查了單項式除以單項式，掌握單項式除以單項式的運算法則是解題關鍵．4．（2022·上海·七年級期末）如果，，那么________________．【答案】【分析】根據同底數冪除法的逆用和冪的乘方的逆用變形，然后利用整體代入法求值即可．【詳解】解：∵，，∴=====故答案為：．【點睛】此題考查的是冪的運算性質的應用，掌握同底數冪除法的逆用和冪的乘方的逆用是解題關鍵．5．（2022·上海市徐匯中學七年級期中）已知＝2，＝9，則＝_______【答案】【分析】根據同底數冪除法的逆用、冪的乘方的逆用進行計算即可得．【詳解】解：因為，，所以，故答案為：．【點睛】本題考查了同底數冪除法的逆用、冪的乘方的逆用，熟練掌握各運算法則是解題關鍵．6．（2022·上海普陀·七年級期末）計算：（9a6﹣12a3）÷3a3＝_____．【答案】【分析】直接利用整式的除法運算法則計算得出答案．【詳解】解：，，．故答案為：．【點睛】本題主要考查了整式的除法運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．7．（2022·上海·新中初級中學七年級期末）______．【答案】【分析】根據整式乘除運算中，多項式除以單項式的運算法則：多項式除以單項式等于多項式中的每一項分別除以單項式，即可求出結果．【詳解】解：原式=

=故答案為：．【點睛】此題主要考察的是整式的除法，正確掌握相關運算是解題的關鍵．8．（2022·上海浦東新·七年級期末）計算：___________.【答案】【分析】根據多項式除以單項式的運算法則即可求解.【詳解】故填：.【點睛】此題主要考查整式的除法，解題的關鍵是熟知整式的乘除運算法則.9．（2022·上海·七年級專題練習）________；___________．【答案】

【分析】利用同底數冪的乘法、除法、冪的乘方化簡，先算乘方，再算乘除．【詳解】解：===，====．故答案為：，．【點睛】此題考查了同底數冪的乘法、除法、冪的乘方運算，解題的關鍵是掌握同底數冪的乘法、除法、冪的乘方的運算法則．10．（2022·上海·七年級期末）計算：（-x2y）2÷y=___．【答案】3x2y【分析】根據單項式除以單項式的法則計算即可.【詳解】原式=3x2y，故答案為3x2y．【點睛】本題考查整式的運算有關知識，根據整式的運算法則即可求出答案.11．（2022·上海·七年級期末）計算：（4x2y﹣2xy2）÷2xy＝_____．【答案】2x-y【分析】原式利用多項式除以單項式法則計算即可得到結果．【詳解】解：故答案為2x-y．【點睛】此題考查了整式的除法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．12．（2022·上海·七年級期末）計算：____________.【答案】【分析】根據多項式除以單項式的運算法則計算即可.【詳解】；故答案為.【點睛】本題考查了整式的除法，解題的關鍵是熟練掌握多項式除以單項式的運算法則.13．（2022·上海·七年級期末）我們定義一種新運算：記，如果設為代數式，若，則______（用含，的代數式表示）.【答案】【分析】先對新定義規定的運算運用平方差公式化簡，根據新定義規定的運算轉化為方程求的值．【詳解】即：即：故答案是：【點睛】本題考查了代數式的運算．關鍵是根據新定義規定的運算，準確代值計算．三、解答題14．（2022·上海·七年級開學考試）【答案】2x【分析】原式被除數利用積的乘方與冪的乘方運算法則計算，再利用單項式除以單項式法則計算即可得到結果．【詳解】解：原式．故答案為2x．【點睛】本題考查整式的除法，負整數指數冪，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．15．（2022·上海·七年級期末）【答案】-3a【分析】先計算乘方，再計算除法，最后相減即可．【詳解】==-3a．【點睛】考查了多項式除以單項式和單項式除以單項式，解題關鍵是熟記其計算法則和運算順序．16．（2022·上海·七年級期末）計算：[(xy2)(xy2)2(xy2)](xy)【答案】【分析】原式被除數括號中第一項利用平方差公式化簡,合并后利用多項式除以單項式法則計算,得到化簡結果即可.【詳解】解：；故答案為：.【點睛】本題考查了整式的混合運算,涉及的知識有:平方差公式,多項式除以單項式法則,去括號法則,以及合并同類項法則,熟練掌握法則是解本題的關鍵.17．（2022·上海普陀·七年級期末）已知3m＝4，3n＝5，分別求3m+n與32m﹣n的值．【答案】20，【分析】利用同底數冪的乘法的逆用法則，同底數冪的除法的逆用法則，冪的乘方的逆用法則對所求的式子進行整理，再代入運算即可．【詳解】解：；．【點睛】本題考查同底數冪的乘法的逆用，同底數冪的除法的逆用，冪的乘方的逆用．掌握各運算法則是解題關鍵．18．（2022·上海·新中初級中學七年級期末）計算：32（x3y2z）3÷（-8x5y4z2）．【答案】-4x4y2z【分析】根據單項式除以單項式進行計算即可求解．【詳解】原式=32×（x9y6z3）÷（-8x5y4z2）=-4x4y2z．【點睛】本題考查了單項式除以單項式，正確的計算是解題的關鍵．19．（2022·上海宋慶齡學校七年級階段練習）3.456×2.456×5.456﹣﹣．【答案】2.912【分析】可設3.456＝a，則2.456＝a﹣1，5.456＝a+2，1.456＝a－2，將原式變形化簡為2a﹣4，再代入計算即可求解．【詳解】解：設3.456＝a，則2.456＝a﹣1，5.456＝a＋2，1.456＝a－2，可得3.456×2.456×5.456﹣﹣＝a（a﹣1）（a＋2）﹣a3﹣（a﹣2）2＝a3＋a2﹣2a﹣a3﹣a2＋4a﹣4＝2a﹣4＝2×3.456﹣4＝6.912﹣4＝2.912【點睛】本題主要考查了整式的混合運算及化簡求值，熟練掌握整式的混合運算法則是解題的關鍵．20．（2022·上海宋慶齡學校七年級階段練習）解方程．【答案】【分析】依據去括號、移項、合并同類項、系數化為，解答即可．【詳解】解：去括號，得：，移項，得：，合并同類項，得：，系數化為，得：．【點睛】本題考查解一元一次方程，整式的混合運算，解一元一次方程的基本步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為．掌握解一元一次方程的基本步驟是解題的關鍵．21．（2022·上海普陀·七年級期末）計算：．【答案】【分析】根據完全平方公式和平方差公式化簡即可．【詳解】解：原式．【點睛】本題考查整式的混合運算．掌握完全平方公式和平方差公式是解題關鍵．22．（2022·上海·七年級期末）計算：【答案】【分析】根據多項式除以單項式法則和合并同類項法則計算即可．【詳解】解：==．【點睛】此題考查的是整式的混合運算，掌握多項式除以單項式法則和合并同類項法則是解題關鍵．23．（2022·上海·七年級專題練習）已知：，求的值．【答案】或【分析】利用冪的乘方及積的乘方運算法則求出a與b的值，原式第一項利用平方差公式化簡，第二項利用完全平方公式展開，去括號合并得到最簡結果，將a與b的值，代入計算即可求出值．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，原式＝＝＝；當，時，原式＝＝，當，時，原式＝＝．【點睛】此題考查了整式的混合運算-化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．24．（2022·上海·七年級專題練習）如圖，數軸上從左到右依次有A，B，C，D四個點，它們對應的實數分別為a，b，c，d，如果存在實數λ，滿足：對線段AB和CD上的任意一點，其對應的數為x，實數對應的點N仍然在線段AB或CD上，則稱（a，b，c，d，λ）為“完美數組”．例如：（1，2，3，6，6）就是一組“完美數組”，已知|AB|＝1，|BC|＝5，|CD|＝4，求此時所有的“完美數組”，寫出你的結論和推算過程．【答案】（2，3，8，12，24）或（﹣2，﹣1，4，8，﹣8）或（﹣4，﹣3，2，6，12）【分析】認真閱讀題干，理解“完美數組”的定義即可解答；【詳解】解：設A表示的數是x，則B表示x+1，C表示x+6，D表示x+10，由“完美數組”的定義，可知有如下情況：①x（x+10）＝（x+1）（x+6）；∴x＝2，∴“完美數組”是（2，3，8，12，24）；②x（x+6）＝（x+1）（x+10）；∴x＝﹣2∴“完美數組”是（﹣2，﹣1，4，8，﹣8）；③x（x+1）＝（x+6）（x+10）；∴x＝﹣4，∴“完美數組”是（﹣4，﹣3，2，6，12）；【點睛】本題考查新定義，數軸與整式的運算；熟練掌握多項式乘多項式，單項式與多項式的運算法則，能夠通過題意將點與“完美數組”的關系轉化為整式的運算是解題的關鍵．25．（2022·上海·新中初級中學七年級期末）計算：(1)；(2)．【答案】(1)a4(2)b4－9a2【分析】（1）根據冪的乘方、同底數冪的除法、同底數冪的乘法求解即可；（2）根據平方差公式求解即可；（1）解：原式==（2）解：原式===【點睛】本題主要考查整式的混合運算，掌握運算的相關法則是解題的關鍵．26．（2022·上海·七年級期末）計算：．【答案】【分析】先計算多項式除以單項式，再合并同類項即可．【詳解】解：原式．【點睛】本題考查整式的混合運算．本題中主要涉及多項式除以單項式，多項式除以單項式就是用這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得結果相加．27．（2022·上海·七年級期末）計算：．【答案】【分析】利用乘法分配律去括號，再合并同類項．【詳解】原式==．【點睛】此題考查整式的混合運算，掌握單項式乘以多項式法則，去括號法則是解題的關鍵．28．（2022·上海·七年級期末）已知：，，，求的值．【答案】【分析】依據(ac+bd)2+(ad﹣bc)2=(a2+b2)(c2+d2)，即可得到ad﹣bc的值．【詳解】∵(ac+bd)2+(ad﹣bc)2=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2﹣2abcd+b2c2=a2c2+b2d2+a2d2+