§2.3初等函數1

對于復數，稱為指數函數。對于任意的實數y有,即，歐拉(Euler)公式。指數函數

在全平面上有定義。定義等價于：指數函數

在全平面上解析，且

。復變量的指數函數是實變量指數函數在復平面上的解析拓廣。當y=0時，有?！?.3.1指數函數2指數函數的性質

指數函數的非零性，即總有由于，所以，總有。加法定理：

由定義有即設[證]3從歐拉公式可知，對于任意整數k有再由指數運算法則得到復變量指數函數當趨向時沒有極限。因為，當z沿實軸正向趨向于

時,有而當z沿實軸負向趨向于

時，有周期性：指數函數是以2kπi為周期的周期函數.因此，z趨向∞時的極限不存在。[證]4【例2.15】計算和的值。解:根據指數定義5【例2.16】利用復數的指數表示計算。解因為故所求之值有3個，即，及,也就是6§2.3.2對數函數復變量的對數函數也是定義為指數函數的反函數。定義

滿足方程的函數，稱為對數函數。記作。令，，則所以即由于，而

是z的輻角，故恰有，故有7其中：是通常正數的自然對數。

對數函數為多值函數。并且每兩個值相差

的整數倍。

如果規定取主值，就得的一個單值

“分支”，記作，把它稱為的主值。

故因此，可表示為對于每一個固定的k,上式為一單值函數,稱為

的一個分支。

當時的主值，這就是實變數對數函數。

8【例2.17】求

,

及它們相對應的主值。解:1)因為【例2.18】求。解:因為所以主值為：

2)（k=0,±1,±2,…）

主值為：

，故(k=0,±1,±2,…)(k=0,±1,±2,…)9【例2.19】計算及解根據定義，10遇到的三種對數函數:1)實變量的對數函數。它對一切正數x有定義，且是單值的；2)復變量的對數函數

Lnz

。它對于一切不為0的復數z有定義，且每個z對應無窮多值；

3)復變量對數函數的主值

。它對于一切不為0的復數z有定義，且為單值，即取Lnz

無窮多值中的一個，其虛部等于z的主輻角。特別，當z為正實數時，主值lnz恰與實數的對數相一致。

利用輻角的相應性質，容易驗證，對數函數具有下列性質。11對數函數的性質：(1)運算性質注意：其中n為大于1的整數。不成立（×）

（×）

12【例如】可見，的值比2Lnz的值多。另外，在實數范圍內，的自變量z可取負實數，而2Lnz

的自變量z只能取正實數，所以不正確。

同樣有：，因為13(2)解析性主值w=lnz，在除去原點及負實軸的復平面上是解析的，且

因為其中，除原點外在其他點都是連續的，而argz在原點與負實軸上都不連續。在除去原點和負實軸的復平面內處處連續。

在區域內的反函數w=lnz是單值的。由反函數的求導法則可知

因此，lnz在除去原點及負實軸的平面內解析。14

又由于（k為整數），因此:

Lnz的各分支在除去原點及負實軸的平面內也解析，并且有相同的導數值。

今后，我們應用對數函數時，都是指它在除去原點及負實軸的平面內的某一單值分支。15【例2.20】求下列函數在復平面上的可導和解析點集.解：由對數函數的解析特征可得，除滿足以下方程的點集外，

f(z)在復平面上的其它區域解析，

and

即

and

可得：

and

因此，f(z)在復平面上除去的其它區域內解析。16§2.2.3冪函數定義

函數規定為（a為復常數，），稱為復變量的冪函數。還規定：當a為正實數且z=0時，。（由于是多值函數，所以一般也是多值函數。）冪函數的性質：1)

冪函數是多值函數。174)

當時，3)

當（n為正整數）時，是一個n值函數；2)

當a為正整數n時是一個單值函數；冪函數的性質：185)

當a為有理數（與為互質的整數，）時，，k為整數。由于p

與q互質，當k取0，1，…，q-1時，是q個不同的值。但若k再取其他整數的值時，將重復出現上述q個值之一，所以是q值函數，有q個不同的分支。冪函數的性質：196)當為無理數或復數（）時，是無窮多值函數。

例如：

由于Lnz的各個分支在除去原點和負實軸的復平面內是解析的，因而不難知道的相應分支在除去原點和負實軸的復平面內也是解析的。7)

解析性：的各個分支在除去原點和負實軸的復平面內是解析的。冪函數的性質：20【例2.21】求1),2)的值.解：根據冪函數定義計算1)2)21【例2.22】求的模和主輻角。解：22所以因此：的模為：主輻角為：23§2.3.4三角函數歐拉公式將三角函數與指數函數聯系起來，即可得

表明：正弦函數和余弦函數可以用指數函數來表示。若將這兩個等式右端的實數y改為復數z，它們仍有意義。因此就可以用它們來作為復變量的正弦和余弦函數的定義。24定義

函數與分別稱為復變量z的余弦函數與正弦函數。記作與，即25

性質（1）

及均為單值函數；

（2）

及均為以為周期的函數；

（3）

為偶函數，為奇函數；

（4）（5）（6）

解析性

在復平面上均為解析函數，且26注意：域內不再成立。例如，當時，隨而模也無限增大。1)

在實數域內成立的不等式及在復數2)

和都是無界的。3)

及不總是非負的，可能取任何復數值。

例如就是一個負數。

還可檢驗是一個虛數。27其他復變函數的三角函數的定義如下：28§2.3.5反三角函數反三角函數作為三角函數的反函數定義如下:定義

如果,則w叫做復變量z的反余弦函數,記為,即將兩端同乘以,得或于是有，再由對數函數的定義即得所以可見，反余弦函數是多值函數。29用同樣方法可定義反正弦函數及反正切函數，并且它們對應的函數有如下關系：它們均是多值的。30§2.3.6雙曲函數與反雙曲函數定義

分別稱作復變量z的雙曲正弦函數、雙曲余弦函數、雙曲正切函數以及雙曲余切函數。雙曲函數與三角函數之間有如下關系：31雙曲函數的特點：雙曲函數是單值函數；雙曲函數是以虛數為周期的周期函數；

為奇函數，為偶函數；雙曲函數均在復平面內解析，且32反雙曲正弦函數，反雙曲余弦函數，反雙曲正切函數，反雙曲余切函數。反雙曲函數分別為：反雙曲函數都是多值函數。雙曲函數的周值性決定了它們的反函數的多值性。33【例2.23】解方程sinz+i

cosz=4i

解