概率統計

第二十二講假設檢驗

假設檢驗1檢驗的基本原理2顯著性水平檢驗法與正態總體的假設檢驗第一節假設檢驗的基本原理

一、檢驗問題的提法引例1:某種電子元件壽命服從參數為的指數分布，隨機取n件，測得壽命的數據，問題（1）這批元件的平均壽命？（2）按規定該型號的元件壽命不小于5000h為合格，問該批元件是否合格？問題（1）回答是對總體參數的估計，回答的“u是多少”，定量的。問題（2）則是對“這批元件合格”作出接受還是拒絕的回答，是定性的。一般而言，估計問題是回答總體分布的未知參數“是多少”或“范圍多大？”；而假設檢驗問題回答的是“觀測到的數據差異是機會差異，還是了總體的真實差異？”因此兩者對問題的提法有本質的不同。二、原假設和備擇假設引例2：某藥按規定酒精含量為5%，今從已出廠的一批藥中隨機抽出10瓶，測其酒精含量的百分數為：5.01，4.87，5.11，5.21，5.03，4.96，4.78，4.98，4.88，5.06，如果酒精含量服從N(,0.00016),問該批藥品的酒精含量是否合格？原假設H0表明含量符合規定，5（%）也稱為期望數，盡管這10個數據都與之有出入，這只是隨機抽樣所致；備擇假設H1表明總體均值已偏離期望數5（%）。三、檢驗統計量在提出原假設和備擇假設后，構造一個適當的統計量，該統計量能度量觀察數與原假設下的期望數之間的差異程度，該統計量稱之為檢驗統計量。四、否定論證及實際推斷原理否定論證是假設檢驗的重要推理方法.其要旨為：先假定原假設H0成立，如果從試驗觀察數據及此假定將導致一個矛盾結果，則否定原假設。從試驗數據判斷是否導致一個矛盾結果，重要的依據就是小概率事件的實際推斷原理。一、假設檢驗中的基本概念（1）假設：關于總體分布的某個命題（2）原假設：把需要檢驗的假設稱為原假設，記為H0（3）備擇假設：在拒絕原假設后，可供選擇的一個命題稱為備擇假設，它可以是原假設對立面的全體，或其中的一部分，記為H1第二節顯著水平檢驗法與正態總體檢驗（4）檢驗統計量：用于判斷原假設成立與否的統計量稱為檢驗統計量。（5）拒絕域（R）：使原假設H0被拒絕的樣本觀測值所組成的區域稱為檢驗的拒絕域

接受域：保留原假設H0的樣本觀測值所組成的區域稱為檢驗的接受域（6）顯著性水平：控制P(拒絕H0|H0為真

)

或P（樣本落入R|H0)

中的

稱為檢驗的顯著性水平通常取

=0.05或0.01檢驗的兩類錯誤

稱

H0真而被拒絕的錯誤為第一類錯誤或棄真錯誤；稱

H0假而被接受的錯誤為第二類錯誤或采偽錯誤。記p(I)=p{拒絕H0|

H0真};P(II)=p{接受H0|

H0假}對于給定的一對H0和H1,總可找出許多拒絕域,人們自然希望找到這種拒絕域R,使得犯兩類錯誤的概率都很小。奈曼—皮爾遜(Neyman—Pearson)提出了一個原則：“在控制犯第一類錯誤的概率不超過指定值

的條件下,盡量使犯第二類錯誤

小”按這種法則做出的檢驗稱為“顯著性檢驗”,

稱為顯著性水平或檢驗水平。例：p136例3顯著性檢驗的思想和步驟：(1)根據實際問題作出假設H0與H1；(2)構造統計量,在H0真時其分布已知；(3)給定顯著性水平的值,參考H1,令

P{拒絕H0|H0真}=,求出拒絕域R；(4)計算統計量的值,若統計量R,則拒絕

H0,否則接受H0單正態總體的假設檢驗一、單正態總體均值的假設檢驗1、

2已知的情形---U檢驗

對于假設H0：

=

0；H1：

0,構造查表,計算,比較大小,得出結論說明：(1)H0：

=

0；H1：

m0稱為雙邊HT問題；而H0：

=

0；H1：

>

0(或

<

0),則稱為單邊問題；

(2)

H0：

0；H1：

>

0

或H0：

0；H1：u<u0

也稱為單邊HT問題,不過這是一個完備的HT問題。

(3)可證:完備的HT問題與不完備的HT問題有相同的拒絕域,從而檢驗法一致。·先考慮不完備的右邊HT問題的解H0：

=

0；H1：

>0,現考慮完備的右邊HT問題H0：

0；H1：

>0,若取拒絕域為則犯第一類錯誤的概率為于是故是H0：

0；H1：

>0,的水平為的拒絕域

例1：設某廠生產一種燈管,其壽命X~N(

,2002),由以往經驗知平均壽命

=1500小時,現采用新工藝后,在所生產的燈管中抽取25只,測得平均壽命1675小時,問采用新工藝后,燈管壽命是否有顯著提高。(=0.05)解:這里拒絕H0·左邊HT問題H0：

=

0；H1：

<0,或H0：

0；H1：

<0,可得顯著性水平為的拒絕域為例2

已知某煉鐵廠的鐵水含碳量在正常情況下服從正態分布N(4.55,0.112).某日測得5爐鐵水含碳量如下:4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.如果標準差不變,該日鐵水的平均含碳量是否顯著偏低?(取

=0.05)解:得水平為的拒絕域為這里拒絕H0注:上題中,用雙邊檢驗或右邊檢驗都是錯誤的.若用雙邊檢驗,H0：

=4.55；H1：

4.55,則拒絕域為由|U|=3.78>1.96,故拒絕H0,說明可以認為該日鐵水的平均含碳量顯著異于4.55.但無法說明是顯著高于還是低于4.55.不合題意若用右邊檢驗,H0：

4.55；H1：

>4.55,則拒絕域為由U=-3.78<-1.96,故接受H0,說明不能認為該日鐵水的平均含碳量顯著高于4.55.但無法區分是等于還是低于4.55.不合題意.2、

2未知的情形·雙邊檢驗:對于假設H0：

=

0；H1：

0由p{|T|t/2(n1)}=,得水平為的拒絕域為|T|t/2(n1),例3

用熱敏電阻測溫儀間接溫量地熱勘探井底溫度,重復測量7次，測得溫度(℃):112.0113.4111.2112.0114.5112.9113.6而用某種精確辦法測得溫度為112.6(可看作真值),試問用熱敏電阻測溫儀間接測溫有無系統偏差(設溫度測量值X服從正態分布,取

=0.05)?解:H0：

=112.6；H1：

112.6由p{|T|t0.025(n1)}=0.05,得水平為

=0.05的拒絕域為|T|t0.025(6)=2.4469這里接受H0·右邊HT問題H0：

=

0

；H1：

>

0,或H0：

0

；H1：

>

0,由p{Tt

(n1)}=,得水平為的拒絕域為Tt

(n1),例4

某廠生產鎳合金線，其抗拉強度的均值為10620(kg/mm2)今改進工藝后生產一批鎳合金線，抽取10根,測得抗拉強度(kg/mm2)為:10512,10623,10668,10554,10776,10707,10557,10581,10666,10670.認為抗拉強度服從正態分布,取

=0.05,問新生產的鎳合金線的抗拉強度是否比過去生產的合金線抗拉強度要高?解:H0：

=10620；H1：

>10620由p{Tt0.05(9)}=0.05,得拒絕域為Tt0.05(9)=1.8331這里接受H0·左邊HT問題H0：

=

0

；H1：

<

0,或H0：

0

；H1：

<

0,由p{T-t

(n1)}=,得水平為的拒絕域為T-t

(n1)EX設正品鎳合金線的抗拉強度服從均值不低于10620(kg/mm2)