專題2.1簡單事件的概率【十二大題型】【浙教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1事件的分類】 1【題型2判斷事件發(fā)生的可能性的大小】 3【題型3根據(jù)概率公式計(jì)算概率】 5【題型4幾何概率】 7【題型5游戲的公平性】 11【題型6概率在比賽中的應(yīng)用】 14【題型7概率在電路問題中的應(yīng)用】 18【題型8概率在轉(zhuǎn)盤抽獎中的應(yīng)用】 22【題型9概率在摸球試驗(yàn)中的應(yīng)用】 26【題型10概率中的其他應(yīng)用】 30【題型11概率與統(tǒng)計(jì)的綜合】 33【題型12用頻率估計(jì)概率】 40【知識點(diǎn)1必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件】在一定條件下，有些事件必然會發(fā)生，這樣的事件稱為必然事件；相反地，有些事件必然不會發(fā)生，這樣的事件稱為不可能事件；在一定條件下，可能發(fā)生也可能不會發(fā)生的事件稱為隨機(jī)事件。必然事件與不可能事件就是否會發(fā)生，就是可以事先確定的，所以它們統(tǒng)稱為確定性事件。【題型1事件的分類】【例1】（2023春·江蘇連云港·九年級統(tǒng)考期末）數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，表示數(shù)b的點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)，下列事件是隨機(jī)事件的是（）A．a(chǎn)-b>0 B．a(chǎn)+b>0 C．a(chǎn)b<0 D．a(chǎn)【答案】B【分析】根據(jù)題意可得a<0，b>0，然后根據(jù)有理數(shù)的加法，減法，乘法，除法法則進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可．【詳解】解：∵數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，表示數(shù)b的點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)，∴a<0，b>0，∴a-b<0，a+b無法確定和的正負(fù)，ab<0，abA、a-b>0是不可能事件，故A不符合題意；B、a+b>0是隨機(jī)事件，故B符合題意；C、ab<0是必然事件，故C不符合題意；D、ab>0是不可能事件，故故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了隨機(jī)事件，數(shù)軸，有理數(shù)的加法，減法，乘法，除法，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023春·廣東梅州·九年級統(tǒng)考期末）下列成語，是必然事件的是（）A．畫餅充饑 B．不期而遇 C．水中撈月 D．旭日東升【答案】D【分析】根據(jù)必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念，即可區(qū)別各類事件．【詳解】解：A、畫餅充饑是不可能事件，不符合題意；B、不期而遇是隨機(jī)事件，不符合題意；C、水中撈月是不可能事件，不符合題意；D、旭日東升是必然事件，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了必然事件，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件；不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．【變式1-2】（2023春·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期末）下列事件：①擲一次骰子，向上一面的點(diǎn)數(shù)是3；②從一個(gè)只裝有黑色球的袋子摸出一個(gè)球，摸到的是白球；③14④射擊運(yùn)動員射擊一次命中靶心．其中是確定事件的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)事件分類的相關(guān)定義進(jìn)行解答即可．事件分為隨機(jī)事件、不可能事件、必然事件，其中不可能事件和必然事件統(tǒng)稱為確定事件．在一定條件下；可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機(jī)事件；必然發(fā)生的事件稱為必然事件，一定不會發(fā)生的事件是不可能事件．【詳解】解：①擲一次骰子，向上一面的點(diǎn)數(shù)是3，是隨機(jī)事件，不符合題意；②從一個(gè)只裝有黑色球的袋子摸出一個(gè)球，摸到的是白球，是不可能事件，屬于確定事件，符合題意；③14④射擊運(yùn)動員射擊一次命中靶心，是隨機(jī)事件，不符合題意；綜上分析可知，是確定事件的有2個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是事件的分類，掌握相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期末）“八月十五云遮月，正月十五雪打燈”是一句諺語，意思是說如果八月十五晚上陰天的話，正月十五晚上就下雪，你認(rèn)為農(nóng)諺說的是（填寫“必然事件”或“不可能事件”或“隨機(jī)事件”）．【答案】隨機(jī)事件【分析】根據(jù)確定事件和隨機(jī)事件的定義來區(qū)分判斷即可，必然事件和不可能事件統(tǒng)稱確定性事件；必然事件：在一定條件下，一定會發(fā)生的事件稱為必然事件；不可能事件：在一定條件下，一定不會發(fā)生的事件稱為不可能事件；隨機(jī)事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機(jī)事件．【詳解】“八月十五云遮月，正月十五雪打燈”是一句諺語，意思是說如果八月十五晚上陰天的話，正月十五晚上就下雪，說的是隨機(jī)事件．故答案為：隨機(jī)事件．【點(diǎn)睛】本題考查了確定事件和隨機(jī)事件的定義，熟悉定義是解題的關(guān)鍵．【知識點(diǎn)2事件發(fā)生的可能性的大小】必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有大有小。不同的隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小有可能不同。【題型2判斷事件發(fā)生的可能性的大小】【例2】（2023春·全國·九年級期末）在下列事件中，發(fā)生的可能性最小的是（

）A．在地面上拋一顆骰子，骰子終將落下B．射擊運(yùn)動員射擊一次，命中10環(huán)C．杭州五一節(jié)當(dāng)天的最高溫度為35℃D．用長為10cm，10cm，【答案】D【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應(yīng)事件類型，即可得到答案．【詳解】解：A、在地面上拋一顆骰子，骰子終將落下，是必然事件，不符合題意；B、射擊運(yùn)動員射擊一次，命中10環(huán)，是隨機(jī)事件，不符合題意；C、杭州五一節(jié)當(dāng)天的最高溫度為35℃，是隨機(jī)事件，不符合題意；D、用長為10cm，10cm，20故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了可能性大小的判斷，解決這類題目要注意具體情況具體對待，一般必然事件的可能性大小為1，不可能事件發(fā)生的可能性大小為0，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小在0~1之間．【變式2-1】（2023春·山東臨沂·九年級統(tǒng)考期末）小明連續(xù)拋一枚質(zhì)量均勻的硬幣5次，都是正面朝上，若他再拋一次，則朝上的一面（

）A．一定是正面 B．是正面的可能性較大C．一定是反面 D．是正面或反面的可能性一樣大【答案】D【分析】根據(jù)實(shí)際情況可知，硬幣有2面，正面和反面；投擲一次，正面與反面的可能性是一樣的，據(jù)此解答.【詳解】解：小明連續(xù)拋一枚硬幣，前5次都是正面朝上，拋第6次正面朝上和反面朝上的可能性一樣大．故選D.【點(diǎn)睛】本題考查的是可能性的運(yùn)用,較為簡單.【變式2-2】（2023春·江蘇揚(yáng)州·九年級統(tǒng)考期末）在質(zhì)地均勻的小立方體中，有一個(gè)面上標(biāo)有數(shù)字1，有兩個(gè)面上標(biāo)有數(shù)字2，有三個(gè)面上標(biāo)有數(shù)字3，拋擲這個(gè)小立方體，則向上一面的數(shù)字可能性最大的是．【答案】3【分析】根據(jù)概率公式即可得出答案．【詳解】解：∵小立方體的一個(gè)面上標(biāo)有數(shù)字1，兩個(gè)面上標(biāo)有數(shù)字2，三個(gè)面上標(biāo)有數(shù)字3，∴向上一面的數(shù)字可能性最大的是3；故答案為：3．【點(diǎn)睛】此題考查了基本概率的計(jì)算及比較可能性大小，用到的知識點(diǎn)為：可能性等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【變式2-3】（2023春·江蘇連云港·九年級統(tǒng)考期末）一個(gè)袋中裝有3個(gè)紅球，5個(gè)黃球，3個(gè)白球，每個(gè)球除顏色外都相同，任意摸出一球，摸到球的可能性最大．【答案】黃【分析】利用概率公式分別計(jì)算出摸到紅球、黃球、白球的概率，然后利用概率的大小判斷可能性的大小．【詳解】解：∵袋中裝有3個(gè)紅球，5個(gè)黃球，3個(gè)白球，∴總球數(shù)是：3+5+3=11個(gè)，∴摸到紅球的概率是311摸到黃球的概率是511摸到白球的概率是311∴摸出黃球的可能性最大．故答案為：黃．【點(diǎn)睛】本題主要考查了可能性的大小，解題的關(guān)鍵是計(jì)算每種顏色球摸到的概率．【知識點(diǎn)3概率】一般地，對于一個(gè)隨機(jī)事件A，我們把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機(jī)事件A發(fā)生的概率，記作P（A）。一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率P（A）=mn。由m與n的含義可知0≤m≤n，因此0≤mn≤1，因此0≤P（A）當(dāng)A為必然事件時(shí)，P（A）=1；當(dāng)A為不可能事件時(shí)，P（A）=0.【題型3根據(jù)概率公式計(jì)算概率】【例3】（2023春·四川廣元·九年級統(tǒng)考期末）在一個(gè)不透明的盒子中，裝有2個(gè)白球和1個(gè)紅球，這些球除顏色外其余都相同.攪勻后從中任意摸出一個(gè)球，要使摸出紅球的概率為12，應(yīng)在該盒子中再添加紅球（

A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．1個(gè)【答案】D【分析】首先設(shè)應(yīng)在該盒子中再添加紅球x個(gè)，根據(jù)題意得x+1【詳解】解：設(shè)應(yīng)在該盒子中再添加紅球x個(gè)，根據(jù)題意得：x+1解得：x=1經(jīng)檢驗(yàn)，x=1故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了概率公式的應(yīng)用．用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【變式3-1】（2023春·遼寧鐵嶺·九年級統(tǒng)考期末）四張完全相同的卡片上，分別畫有等邊三角形、平行四邊形、菱形、正五邊形，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一張，卡片上畫的恰好是軸對稱圖形的概率為（

）A．14 B．12 C．34【答案】C【分析】首先由等邊三角形、平行四邊形、菱形、正五邊形中是軸對稱圖形的有等邊三角形、菱形、正五邊形，再直接利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】解：∵等邊三角形、平行四邊形、、菱形、正五邊形中是軸對稱圖形的有等邊三角形、菱形、正五邊形，∴現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一張，卡片上畫的圖形恰好是軸對稱圖形的概率是：34故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了概率公式，軸對稱圖形的識別，解題的關(guān)鍵是掌握隨機(jī)事件A的概率P(A)=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．【變式3-2】（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期末）李明用6個(gè)球設(shè)計(jì)了一個(gè)摸球游戲，共有四種方案，肯定不能成功的是（

）A．摸到黃球、紅球的概率均為1B．摸到黃球的概率是23，摸到紅球、白球的概率均為C．摸到黃球、紅球、白球的概率分別為12、13D．摸到黃球、紅球、白球的概率都是1【答案】B【分析】分析各個(gè)選項(xiàng)中的概率之和即可選出不成功的選項(xiàng)．【詳解】A.P摸到黃球B.P摸到黃球C.P摸到黃球D.P摸到黃球故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查簡單事件的概率．一次試驗(yàn)中有n種等可能的結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的概率之和為1．【變式3-3】（2023春·四川瀘州·九年級統(tǒng)考期末）九年級學(xué)生李明每天騎自行車上學(xué)時(shí)都要經(jīng)過一個(gè)十字路口，設(shè)十字路口有紅、黃、綠三色交通信號燈，他在路口遇到紅燈的概率為13，遇到黃燈的概率為2A．19 B．29 C．49【答案】C【分析】利用十字路口有紅、黃、綠三色交通信號燈，遇到每種信號燈的概率之和為1，進(jìn)而求出即可．【詳解】解：∵十字路口有紅、黃、綠三色交通信號燈，他在路口遇到紅燈的概率為13，遇到黃燈的概率為2∴他遇到綠燈的概率為：1-1故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了概率公式，掌握遇到每種信號燈的概率之和為1是關(guān)鍵．【知識點(diǎn)4用列表法、樹狀圖法求概率】列表法：當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素并且可能出現(xiàn)得結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為不重不漏地列出所有可能得結(jié)果，通常用列表法。列表法就是用表格得形式反映事件發(fā)生得各種情況出現(xiàn)的次數(shù)與方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)與方式，并求出概率的方法。樹狀圖法：當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及3個(gè)或更多得因素時(shí)，列方形表就不方便了，為不重不漏地列出所有可能得結(jié)果，通常采用樹形圖。樹形圖就是反映事件發(fā)生得各種情況出現(xiàn)得次數(shù)與方式，并求出概率得方法。（1）樹形圖法同樣適用于各種情況出現(xiàn)得總次數(shù)不就是很大時(shí)求概率得方法。（2）在用列表法與樹形圖法求隨機(jī)事件得概率時(shí)，應(yīng)注意各種情況出現(xiàn)得可能性務(wù)必相同。【題型4幾何概率】【例4】（2023春·山東淄博·九年級統(tǒng)考期末）一只蜘蛛爬到如圖所示的一面墻上，停留位置是隨機(jī)的，則停留在陰影區(qū)域上的概率是（

）A．23 B．12 C．13【答案】C【分析】設(shè)每小格的面積為1，易得整個(gè)方磚的面積為9，陰影區(qū)域的面積3，然后根據(jù)概率的定義計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)每小格的面積為1，∴整個(gè)方磚的面積為9，陰影區(qū)域的面積為3，∴最終停在陰影區(qū)域上的概率為：39故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了求幾何概率的方法：先利用幾何性質(zhì)求出整個(gè)幾何圖形的面積n,再計(jì)算出其中某個(gè)區(qū)域的幾何圖形的面積m,然后根據(jù)概率的定義計(jì)算出落在這個(gè)幾何區(qū)域的事件的概率=mn【變式4-1】（2023·廣西河池·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，⊙O的直徑為2分米，若在這個(gè)圓面上隨意拋一粒豆子，則豆子落在正方形ABCD內(nèi)的概率是（）A．2π B．π2 C．12π【答案】A【分析】在這個(gè)圓面上隨意拋一粒豆子，落在圓內(nèi)每一個(gè)地方是均等的，因此計(jì)算出正方形和圓的面積，利用幾何概率的計(jì)算方法解答即可.【詳解】因?yàn)椤袿的直徑為2分米，則半徑為22分米，⊙O的面積為π正方形的邊長為222+因?yàn)槎棺勇湓趫A內(nèi)每一個(gè)地方是均等的，所以P（豆子落在正方形ABCD內(nèi)）=1故答案為A．【點(diǎn)睛】此題主要考查幾何概率的意義：一般地，如果試驗(yàn)的基本事件為m，隨機(jī)事件A所包含的基本事件數(shù)為n，我們就用來描述事件A出現(xiàn)的可能性大小，稱它為事件A的概率，記作P（A），即有P（A）=nm，熟【變式4-2】（2023春·河北唐山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AD為中線，點(diǎn)E，F(xiàn)，G為AD的四等分點(diǎn)，在△ABC內(nèi)任意拋一粒豆子，豆子落在陰影部分的概率為．【答案】3【分析】先求出陰影部分的面積與總面積的關(guān)系，再根據(jù)概率=相應(yīng)的面積與總面積之比即可求出答案．【詳解】解：∵在△ABC中，AD為中線，∴S△ADC∵點(diǎn)E、F、∴S△EDC=34S∴，S∴S陰影部分∴豆子落在陰影部分的概率為38故答案為：38【點(diǎn)睛】此題考查了幾何概率，關(guān)鍵是求出陰影部分的面積與總面積的關(guān)系，用到的知識點(diǎn)為：概率=相應(yīng)的面積與總面積之比．【變式4-3】（2023春·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期末）七巧板是我國古代勞動人民的發(fā)明之一，被譽(yù)為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的．如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，如果在此正方形中隨機(jī)取一點(diǎn)，那么此點(diǎn)取自黑色部分的概率是．【答案】3【分析】設(shè)正方形的邊長為4，將△BIC的面積和?GHEF的面積計(jì)算出來，再用陰影部分的面積除以正方形的面積即可求出此點(diǎn)取自黑色部分的概率.【詳解】設(shè)正方形ABDF的邊長為4，則S正方形ABDF=∵△BIC是等腰直角三角形∴∠IBC=45°∴IC=BCsin∴BI=∴∵Rt△CDE中，CD=2,∠ECD=45°∴CE=∴HE=OH=IC=∴S∴∴此點(diǎn)取自黑色部分的概率是S【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何概率的求法，解題的關(guān)鍵是正確計(jì)算出陰影部分的面積.【題型5游戲的公平性】【例5】（2023春·四川雅安·九年級統(tǒng)考期末）一個(gè)不透明的布袋里裝有20個(gè)除顏色外均相同的小球，其中白球有x個(gè)，紅球有2x個(gè)，其他均為黃球．現(xiàn)從布袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，若是紅球則甲同學(xué)獲勝，若為黃球，則乙同學(xué)獲勝．(1)當(dāng)x=5時(shí)，誰獲勝的可能性大？(2)要使游戲?qū)滓译p方是公平的，x應(yīng)取何值？【答案】(1)摸到紅球的可能性更大(2)x=4【分析】（1）根據(jù)x=5時(shí)，紅球的個(gè)數(shù)多于黃球的個(gè)數(shù)，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)概率相等時(shí)，游戲公平，列式求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)x=5時(shí)，則紅球有10個(gè)，黃球有5個(gè)，∵紅球的個(gè)數(shù)多于黃球的個(gè)數(shù)，∴摸到紅球的可能性更大，∴當(dāng)x=5時(shí)，甲同學(xué)獲勝可能性大；（2）要使游戲?qū)滓译p方公平，必須有：2x解得x=4；∴當(dāng)x=4時(shí)，游戲?qū)滓译p方是公平的．【點(diǎn)睛】本題考查利用概率解決游戲公平性．熟練掌握概率公式，是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023春·新疆·九年級新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）有3張背面相同的紙牌A，B，C，其正面分別畫有三個(gè)不同的圖形（如圖），將這3張紙牌洗勻后，背面朝上放在桌面上．(1)隨機(jī)地摸出一張，求摸出牌面圖形是軸對稱圖形的概率；(2)小華和小明玩游戲，規(guī)則是：隨機(jī)地摸出一張，放回洗勻后再摸一張．若摸出兩張牌面圖形都是軸對稱圖形的紙牌，則小華贏；否則，小明贏．你認(rèn)為該游戲公平嗎？請用畫樹狀圖或列表法說明理由．（紙牌可用A，B，C表示）【答案】(1)2(2)不公平，理由見解析【分析】（1）隨機(jī)地摸出一張共有3種等可能的結(jié)果，其中摸出牌面圖形是軸對稱圖形的結(jié)果有2種，再利用概率公式計(jì)算即可得；（2）先畫出樹狀圖，從而可得摸出兩張牌的所有等可能的結(jié)果，再找出摸出兩張牌面圖形都是軸對稱圖形的結(jié)果，然后利用概率公式求出摸出兩張牌面圖形都是軸對稱圖形、摸出兩張牌面圖形不都是軸對稱圖形的概率，由此即可得．【詳解】（1）解：由題意，隨機(jī)地摸出一張共有3種等可能的結(jié)果，其中摸出牌面圖形是軸對稱圖形的結(jié)果有紙牌A,B，共2種，則摸出牌面圖形是軸對稱圖形的概率為P=2（2）解：由題意，畫出樹狀圖如下：由圖可知，摸出兩張牌共有9種等可能的結(jié)果，其中摸出兩張牌面圖形都是軸對稱圖形的結(jié)果有4種、摸出兩張牌面圖形不都是軸對稱圖形的結(jié)果有5種，則摸出兩張牌面圖形都是軸對稱圖形的概率是49，摸出兩張牌面圖形不都是軸對稱圖形的概率是5因?yàn)?9所以這個(gè)游戲不公平．【點(diǎn)睛】本題考查了簡單的概率計(jì)算、利用列舉法求概率，正確畫出樹狀圖是解題關(guān)鍵．【變式5-2】（2023·北京海淀·九年級期末）在一只不透明的袋中，裝著標(biāo)有數(shù)字4，5，7，9的質(zhì)地、大小均相同的四個(gè)小球．小明和小東同時(shí)從袋中隨機(jī)各摸出1個(gè)球，并計(jì)算這兩球上的數(shù)字之和，當(dāng)和小于13時(shí)小明獲勝，反之小東獲勝．(1)請用列表的方法，求小明獲勝的概率；(2)這個(gè)游戲公平嗎？請說明理由．【答案】(1)12(2)游戲公平，理由如下．【分析】（1）根據(jù)題意以小明為橫排，小東為豎列，列出所有情況，找到和小于13時(shí)的情況及大于或等于13的情況，根據(jù)P(m)（2）比較小東、小明的概率即可得到公平性．【詳解】（1）解：由題意可得，以小明為橫排，小東為豎列，列表如下：根據(jù)表可知：總共有12種情況，小于13的有6種，大于或等于13的有6種，∴P(小明（2）解：這個(gè)游戲公平，理由如下，由（1）得，P(∴P∴這個(gè)游戲公平．【點(diǎn)睛】本題考查用列表法求概率及判斷游戲公平性，解題的關(guān)鍵是，列出表格，找到所有情況及小于13的情況．【變式5-3】（2023春·黑龍江黑河·九年級統(tǒng)考期末）淘淘和明明玩骰子游戲，每人將一個(gè)各面分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6的正方體骰子擲一次，把兩人擲得的點(diǎn)數(shù)相加，并約定：點(diǎn)數(shù)之和等于6，淘淘贏；點(diǎn)數(shù)之和等于7，明明贏；點(diǎn)數(shù)之和是其它數(shù)，兩人不分勝負(fù)．(1)請你用“畫樹狀圖”或“列表”的方法分析說明此游戲是否公平．(2)請你基于（1）問中得到的數(shù)據(jù)，設(shè)計(jì)出一種公平的游戲規(guī)則．(列出一種即可)【答案】(1)此游戲不公平，見解析(2)點(diǎn)數(shù)之和等于6，淘淘贏；點(diǎn)數(shù)之和等于8，明明贏【分析】（1）畫樹狀圖求出淘淘和明明獲勝的概率，再比較概率即可判定游戲是否公平；（2）設(shè)計(jì)一個(gè)兩人獲勝概率一樣的游戲規(guī)則即可．【詳解】（1）解：畫樹狀圖：由圖可知，點(diǎn)數(shù)之和共有36種可能的結(jié)果，其中6出現(xiàn)5次，7出現(xiàn)6次，故P(和為6)=536，P(和為7)P(和為6)<P(和為7)，∴明明獲勝的概率大，此游戲不公平；（2）解：如：“點(diǎn)數(shù)之和等于6，淘淘贏；點(diǎn)數(shù)之和等于8，明明贏；點(diǎn)數(shù)之和是其它數(shù)，兩人不分勝負(fù)．”（答案不唯一）由（1）樹狀圖可知：點(diǎn)數(shù)之和等于6出現(xiàn)5次，點(diǎn)數(shù)之和等于8也出現(xiàn)5次，∴P(和為6)=536，P(和為8)∴P(和為6)=P(和為8)，故游戲公平．【點(diǎn)睛】本題考查用列表法或畫樹狀圖法求概率，游戲公平性問題，熟練掌握用列表法或畫樹狀圖法求概率是解題的關(guān)鍵．【題型6概率在比賽中的應(yīng)用】【例6】（2023春·陜西榆林·九年級統(tǒng)考期中）某校將舉辦“齊學(xué)二十大，共筑中國夢”的主題演講比賽，九年級通過預(yù)賽確定出兩名男生和兩名女生，共4名同學(xué)作為推薦人選．(1)若從中隨機(jī)選一名同學(xué)參加學(xué)校比賽，則選中女生的概率為______；(2)若從中隨機(jī)選兩名同學(xué)組成一組選手參加比賽，請用樹狀圖（或列表法）求出恰好選中一名男生和一名女生的概率．【答案】(1)1(2)2【分析】（1）畫出樹狀圖，找出所有情況及可能情況，根據(jù)P(m)（2）畫出樹狀圖，找出所有情況及可能情況，根據(jù)P(m)【詳解】（1）解：由題意可得，樹狀圖如下所示，，共有4種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中選中女生的有2種，∴選中女生的概率為P=2（2）解：由題意可得，樹狀圖如下所示，

共有12種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中恰好選中一名男生和一名女生的有8種，∴恰好選中一名男生和一名女生的概率為P=8【點(diǎn)睛】本題考查樹狀圖法求概率，解題的關(guān)鍵是正確化出樹狀圖．【變式6-1】（2023春·陜西咸陽·九年級統(tǒng)考期中）為讓同學(xué)們進(jìn)一步了解中國科技的快速發(fā)展，某中學(xué)組織了一次黑板報(bào)比賽，每個(gè)班從A．“天宮空間站”；B．“5G時(shí)代”：C．“東風(fēng)快遞”；D．“智軌快運(yùn)”四個(gè)主題中任選一個(gè)主題，每一個(gè)主題被選擇的可能性相同，小明和小雨在不同的班級(1)小明所在的班級選擇“天宮空間站”的概率為___________；(2)請用列表法或畫樹狀圖法，求小明和小麗所在的班級選擇相同主題的概率【答案】(1)1(2)1【分析】（1）用概率公式即可計(jì)算出概率；（2）畫出樹狀圖，再用概率公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：一共有4種選擇，明所在的班級選擇“天宮空間站”的概率為14故答案為：14（2）畫樹狀圖如下：由樹狀圖知共有16種等可能結(jié)果，其中小明和小麗所在的班級選擇相同主題的有4種結(jié)果，所以小明和小麗所在的班級選擇相同主題的概率為416【點(diǎn)睛】本題主要考查了列表法或樹狀圖法求概率，列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適用于兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)還要注意是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn)．用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【變式6-2】（2023春·遼寧大連·九年級統(tǒng)考期中）為慶祝二十大勝利召開，中山區(qū)教育系統(tǒng)拔河比賽于2022年10月26日至11月2日在東港第一中學(xué)成功舉辦．本次比賽共進(jìn)行三場，分別為：A．10月26日初賽，B．10月28日半決賽，C．11月2日決賽．李老師和張老師都是裁判員，他們被隨機(jī)分配到這三場比賽中的任意一場進(jìn)行裁判的可能性相同．(1)求李老師被分配到C做裁判員的概率；(2)利用畫樹狀圖或列表的方法，求李老師和張老師同時(shí)被分配到同一場比賽做裁判員的概率．【答案】(1)李老師被分配到C做裁判員的概率是1(2)李老師和張老師同時(shí)被分配到同一場比賽作裁判的概率是1【分析】（1）這是求簡單事件的概率，求得所有可能的結(jié)果數(shù)及事件發(fā)生的結(jié)果數(shù)，再由概率計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）利用列表法，可得所有可能的結(jié)果數(shù)及事件發(fā)生的結(jié)果數(shù)，再由概率計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）李老師被分配到三場比賽作裁判員的可能性有三種，并且可能性相等．被分到C的可能性只有一種．∴P(C)=1（2）列表如下：李老師張老師ABCAA,AB,AC,ABA,BB,BC,BCA,CB,CC,C由表可以看出，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有9種，并且出現(xiàn)的可能性相等．兩人同時(shí)被分配到同一場比賽做裁判的可能性有3種，即A,A，B,B，C,C．∴李老師和張老師同時(shí)被分配到同一場比賽作裁判的概率P=3【點(diǎn)睛】本題考查了求簡單事件的概率及稍復(fù)雜事件的概率，對于稍復(fù)雜事件的概率，運(yùn)用列表法或樹狀圖解決，無論哪種求概率，都要求出所有可能的結(jié)果數(shù)及事件發(fā)生的結(jié)果數(shù)，再由概率計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算．【變式6-3】（2023春·陜西商洛·九年級校考期末）為慶祝黨的二十大勝利召開，某學(xué)校舉行作文比賽，題目有“偉大的中國共產(chǎn)黨”“科技托起中國夢”“家鄉(xiāng)的新變化”“時(shí)代賦予我們的使命”（分別用字母A，B，C，D依次表示這四個(gè)題目）．比賽時(shí)，將A，B，C，D這四個(gè)字母分別寫在4張無差別不透明的卡片的正面上，洗勻后正面向下放在桌面上，小青先從中隨機(jī)抽取一張卡片，放回后洗勻，再由小云從中隨機(jī)抽取一張卡片，進(jìn)行比賽．試用畫樹狀圖或列表的方法表示所有可能的結(jié)果，并求出小青和小云抽中不同題目的概率．【答案】3【分析】列表法求概率即可．【詳解】解：由題意，列表如下：ABCDAA，AA，BA，CA，DBB，AB，BB，CB，DCC，AC，BC，CC，DDD，AD，BD，CD，D共有16種等可能的結(jié)果，其中小青和小云抽中不同題目的結(jié)果有12種，∴P=12【點(diǎn)睛】本題考查列表法求概率．熟練掌握列表法求概率，是解題的關(guān)鍵．【題型7概率在電路問題中的應(yīng)用】【例7】（2023·陜西榆林·統(tǒng)考三模）如圖，某同學(xué)學(xué)習(xí)物理《電流和電路》后設(shè)計(jì)了如圖所示的電路圖，其中S?、S?、S?、S?分別表示四個(gè)可開閉的開關(guān)，“?”表示小燈泡，

(1)當(dāng)開關(guān)S?閉合時(shí)，再隨機(jī)閉合開關(guān)S?或S?或S?其中一個(gè)，小燈泡發(fā)光的概率為；(2)當(dāng)隨機(jī)閉合開關(guān)S?、【答案】(1)1(2)1【分析】（1）據(jù)概率公式直接填空即可；（2）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果，再找出小燈泡發(fā)光的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【詳解】（1）解：當(dāng)開關(guān)S?閉合時(shí)，再隨機(jī)閉合開關(guān)S?或S?或S?其中一個(gè)，三種情況中小燈泡會發(fā)光的只有閉合開關(guān)S?一種情況，故小燈泡發(fā)光的概率為13故答案為：13（2）解：畫樹狀圖如下：

由圖可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中小燈泡發(fā)光的結(jié)果有6種，∴小燈泡發(fā)光的概率為6【點(diǎn)睛】題主要考查概率的求法．是跨學(xué)科綜合題，綜合物理學(xué)中電學(xué)知識，結(jié)合電路圖，正確判斷出燈泡發(fā)光的條件，掌握根據(jù)題意正確畫出樹狀圖或列表法以及概率的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023春·廣東惠州·九年級校考階段練習(xí)）如圖所示的電路中，當(dāng)隨機(jī)閉合開關(guān)S1，S2，S3【答案】1【分析】根據(jù)概率計(jì)算方法解答即可；【詳解】當(dāng)閉合開關(guān)S1，S2時(shí)，燈泡發(fā)光；當(dāng)閉合開關(guān)S1，S3時(shí)，燈泡發(fā)光；當(dāng)閉合開關(guān)S2故答案為1【點(diǎn)睛】該題考查了概率的計(jì)算，能夠正確的寫出所有的可能情況，清楚概率的計(jì)算方法是解答該題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）如圖，電路上有編號①②③④共4個(gè)開關(guān)和1個(gè)小燈泡，任意閉合電路上其中的兩個(gè)開關(guān)，小燈泡發(fā)光的概率為．【答案】1【分析】用列表法或樹狀圖法列舉出所有等可能出現(xiàn)的情況，從中找出能夠“點(diǎn)亮燈泡”的情況數(shù)，進(jìn)而求出概率．【詳解】解：列表如下：①②③④①(((②(((③(((④(((∴一共有12種情況，能使小燈泡發(fā)光的有4種情況，∴小燈泡發(fā)光的的概率為：412故答案為：13【點(diǎn)睛】考查列表法或樹狀圖法求等可能事件發(fā)生的概率，使用此方法一定注意每一種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是均等的，即為等可能事件．【變式7-3】（2023·安徽安慶·安慶市第四中學(xué)校考二模）在物理課上，同學(xué)們學(xué)習(xí)了“電學(xué)”知識之后，便可以設(shè)計(jì)一些簡單的電路圖．

(1)如圖1所示的電路圖中，三個(gè)開關(guān)并聯(lián)成一個(gè)開關(guān)組A，閉合其中任何一個(gè)開關(guān)，可以使燈泡發(fā)亮的概率是________；(2)如圖2，在圖1的電路圖中，新增一個(gè)開關(guān)組B，在A、(3)小明同學(xué)觀察圖2后提出：“若將開關(guān)S5或S6去掉，則在A、【答案】(1)1(2)1(3)小明同學(xué)的說法正確，理由見解析【分析】（1）根據(jù)概率計(jì)算公式求解即可；（2）先列出表格得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到能使小燈泡發(fā)亮的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計(jì)算公式求解即可；（3）先列出表格得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到能使小燈泡發(fā)亮的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計(jì)算公式求解即可．【詳解】（1）解：由并聯(lián)電路的特點(diǎn)可知，閉合三個(gè)開關(guān)中的任何一個(gè)開關(guān)都能使燈泡發(fā)亮，∴閉合其中任何一個(gè)開關(guān)，可以使燈泡發(fā)亮的概率是1，故答案為：1；（2）解：設(shè)用A，B，C表示S1，S2，S3，用D列表如下：ABCDEFA（A，D）（A，E）（A，F(xiàn)）B（B，D）（B，E）（B，F(xiàn)）C（C，D）（C，E）（C，F(xiàn)）D（D，A）（D，B）（D，C）E（E，A）（E，B）（E，C）F（F，A）（F，B）（F，C）由表格可知一共有18種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中能使小燈泡發(fā)亮（AD、BD、∴能使小燈泡發(fā)亮的概率為618（3）解：小明同學(xué)的說法正確，理由如下：列表如下：設(shè)用A，B，C表示S1，S2，ABCDA（A，D）B（B，D）C（C，D）D（A，D）（B，D）（C，D）由表格可知一共有6種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中能使小燈泡發(fā)亮（AD、BD、∴能使小燈泡發(fā)亮的概率為66∴若將開關(guān)S5或S6去掉，則在∴小明同學(xué)的說法正確．【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡單的概率計(jì)算，樹狀圖法或列表法求解概率，正確理解題意列出表格或畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵．【題型8概率在轉(zhuǎn)盤抽獎中的應(yīng)用】【例8】（2023·福建福州·福建省福州第十九中學(xué)校考模擬預(yù)測）福州第十九中學(xué)每年的校園科學(xué)文化藝術(shù)節(jié)中的“愛心義賣會”活動，是學(xué)校同學(xué)們表現(xiàn)愛心的重要活動，在2021年的義賣會上，九年某班的同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)“愛心盲盒大抽獎”的活動，其規(guī)則如下：通過購買愛心小盲盒，每個(gè)愛心小盲盒3元，根據(jù)小盲盒內(nèi)事先藏好的數(shù)字，可以進(jìn)行兌獎，而每一位參與活動的同學(xué)都有4個(gè)小盲盒可以選擇，其中一個(gè)小盲盒藏有數(shù)字4，可以兌換4元，有一個(gè)小盲盒藏有數(shù)字2，可以兌換2元，剩余的兩個(gè)小盲盒藏有數(shù)字1，可以兌換1元，每位同學(xué)最多只能買2個(gè)小盲盒．(1)張同學(xué)購買了兩個(gè)小盲盒，用列表法或樹狀圖的方法求出求他購買的第1個(gè)小盲盒里藏有數(shù)字4的概率：______；(2)李同學(xué)手上有7元，請用概率統(tǒng)計(jì)的知識說明，從李同學(xué)最終在手上的錢的平均值為依據(jù)，她是買一個(gè)小盲盒好，還是兩個(gè)小盲盒好．【答案】(1)1(2)李同學(xué)應(yīng)該買一個(gè)小盲盒好，理由見解析【分析】（1）用列表法展示12種等可能的結(jié)果數(shù)，找出張同學(xué)購買的第1個(gè)小盲盒里藏有數(shù)字4的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解；（2）先分別計(jì)算出李同學(xué)購買一個(gè)小盲盒和兩個(gè)小盲盒后最終在手上的錢的平均值，然后再比較即可判斷．【詳解】（1）解：列表得：42114/4,24,14,122,4/2,12,111,41,2/1,111,41,21,1/共有12種等可能情況，記購買的第1個(gè)小盲盒里藏有數(shù)字4為事件A，共3種情況，∴PA故答案為：14（2）若李同學(xué)購買1個(gè)小盲盒，花去3元，還有4元，則可兌換4元的概率為14，兌換2元的概率為14，兌換1元的概率為因此此時(shí)李同學(xué)最終在手上的錢的平均值為：4+4×1若李同學(xué)購買2個(gè)小盲盒，花去6元，還有1元，由（1）可知，可兌換6元的概率為212可兌換5元的概率為412可兌換3元的概率為412可兌換2元的概率為212因此此時(shí)李同學(xué)最終在手上的錢的平均值為：1+6×1∵6>5，∴李同學(xué)應(yīng)該買一個(gè)小盲盒好．【點(diǎn)睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率和概率的應(yīng)用．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．理解和掌握概率公式的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2023春·湖南長沙·九年級統(tǒng)考期中）某商場為了吸引顧客，設(shè)立了一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，如圖所示，并規(guī)定：顧客消費(fèi)200元（含200元）以上，就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機(jī)會，如果轉(zhuǎn)盤停止后，指針正好對準(zhǔn)九折、八折、七折區(qū)域，顧客就可以獲得此項(xiàng)優(yōu)惠，如果指針恰好在分割線上時(shí)，則需重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤．（1）某顧客正好消費(fèi)220元，他轉(zhuǎn)一次轉(zhuǎn)盤，他獲得九折、八折、七折優(yōu)惠的概率分別是多少？（2）某顧客消費(fèi)中獲得了轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤的機(jī)會，實(shí)際付費(fèi)168元，請問他消費(fèi)所購物品的原價(jià)應(yīng)為多少元．【答案】（1）12，13，16；（2）210【分析】（1）由圓盤可知，七折圓心角為30°，八折圓心角為60°，九折圓心角為90°，利用它們所占圓的百分比即可算出概率；（2）對于實(shí)際花費(fèi)的168元進(jìn)行三種情況的計(jì)算，即可得到答案．【詳解】（1）獲得九折的概率為90°×2360°獲得八折的概率為60°×2360°獲得七折的概率為30°×2360°（2）∵200×0.9=180>168∴他沒有獲得九折優(yōu)惠．∵200×0.8=160<168∴168÷0.8=210，∵200×0.7=140<168∴168÷0.7=240答：他消費(fèi)所購物品的原價(jià)應(yīng)為210元或240元．【點(diǎn)睛】本題考查了用扇形統(tǒng)計(jì)圖計(jì)算概率，解題的關(guān)鍵是掌握概率的計(jì)算，以及實(shí)際問題的應(yīng)用情況．【變式8-2】（2023春·遼寧丹東·九年級校考期中）九（1）班組織班級聯(lián)歡會，最后進(jìn)入抽獎環(huán)節(jié)，每名同學(xué)都有一次抽獎機(jī)會，抽獎方案如下：將一副撲克牌中點(diǎn)數(shù)為“2”，“3”，“3”，“5”，“6”的五張牌背面朝上洗勻，先從中抽出1張牌，再從余下的4張牌中抽出1張牌，記錄兩張牌點(diǎn)數(shù)后放回，完成一次抽獎，記每次抽出兩張牌點(diǎn)數(shù)之差為x，按表格要求確定獎項(xiàng)．（1）用列表或畫樹狀圖的方法求出甲同學(xué)獲得一等獎的概率；（2）是否每次抽獎都會獲獎，為什么？【答案】（1）110（2【分析】（1）畫出樹狀圖，找出符合條件的情況，求出其概率即可．（2）根據(jù)題意分析不滿足條件的情況并找出即可求是否存在不中獎的情況．【詳解】解：（1）畫樹狀圖得：∵共有20種等可能的結(jié)果，甲同學(xué)獲得一等獎的有2種情況，∴甲同學(xué)獲得一等獎的概率為：220（2）不是，當(dāng)兩張牌都是3時(shí)，|x|=0，不會有獎．【變式8-3】（2023春·河南三門峽·九年級統(tǒng)考期末）某商場開展購物抽獎活動，抽獎箱中有4個(gè)標(biāo)號分別為1，2，3，4的質(zhì)地、大小相同的小球，顧客任意摸取一個(gè)小球，然后放回，再摸取一個(gè)小球，若兩次摸出的數(shù)字之和為“8”是一等獎，數(shù)字之和為“6”是二等獎，數(shù)字之和為其他數(shù)字則是三等獎，請用列舉法分別求出顧客抽中一、二、三等獎的概率．【答案】P（一等獎）=116P（二等獎）=316P（三等獎）【詳解】試題分析：列舉出符合題意的各種情況的個(gè)數(shù)，再根據(jù)概率公式解答即可．試題解析：列表：所以一等獎的概率為116；二等獎的概率為316；三等獎的概率為考點(diǎn)：列表法與樹狀圖法．【題型9概率在摸球試驗(yàn)中的應(yīng)用】【例9】（2023春·湖北襄陽·九年級統(tǒng)考期末）閱讀材料，回答問題：材料題1：經(jīng)過某十字路口的汽車，可能直行，也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn)．如果這三種可能性的大小相同，求三輛汽車經(jīng)過這個(gè)十字路口時(shí)，至少要兩輛車向左轉(zhuǎn)的概率題2：有兩把不同的鎖和三把鑰匙，其中兩把鑰匙分別能打開這兩把鎖（一把鑰匙只能開一把鎖），第三把鑰匙不能打開這兩把鎖．隨機(jī)取出一把鑰匙開任意一把鎖，一次打開鎖的概率是多少？我們可以用“袋中摸球”的試驗(yàn)來模擬題1：在口袋中放三個(gè)不同顏色的小球，紅球表示直行，綠球表示向左轉(zhuǎn)，黑球表示向右轉(zhuǎn)，三輛汽車經(jīng)過路口，相當(dāng)于從三個(gè)這樣的口袋中各隨機(jī)摸出一球.問題：（1）事件“至少有兩輛車向左轉(zhuǎn)”相當(dāng)于“袋中摸球”的試驗(yàn)中的什么事件？（2）設(shè)計(jì)一個(gè)“袋中摸球”的試驗(yàn)?zāi)M題2，請簡要說明你的方案（3）請直接寫出題2的結(jié)果．【答案】題1.727；題2.(1)至少摸出兩個(gè)綠球；(2)方案詳見解析；(3)1【詳解】試題分析：題1：因?yàn)榇祟}需要三步完成，所以畫出樹狀圖求解即可，注意要做到不重不漏；題2：根據(jù)題意列出表格，得出所有等可能的情況數(shù)，找出隨機(jī)取出一把鑰匙開任意一把鎖，一次打開鎖的情況數(shù)，即可求出所求的概率；問題：（1）綠球代表左轉(zhuǎn)，所以為：至少摸出兩個(gè)綠球；（2）寫出方案；（3）直接寫結(jié)果即可．試題解析：題1：畫樹狀圖得：∴一共有27種等可能的情況；至少有兩輛車向左轉(zhuǎn)的有7種：直左左，右左左，左直左，左右左，左左直，左左右，左左左，則至少有兩輛車向左轉(zhuǎn)的概率為：727題2：列表得：鎖1鎖2鑰匙1（鎖1，鑰匙1）（鎖2，鑰匙1）鑰匙2（鎖1，鑰匙2）（鎖2，鑰匙2）鑰匙3（鎖1，鑰匙3）（鎖2，鑰匙3）所有等可能的情況有6種，其中隨機(jī)取出一把鑰匙開任意一把鎖，一次打開鎖的2種，則P=26=1問題：（1）至少摸出兩個(gè)綠球；（2）一口袋中放紅色和黑色的小球各一個(gè)，分別表示不同的鎖；另一口袋中放紅色、黑色和綠色的小球各一個(gè)，分別表示不同的鑰匙；其中同顏色的球表示一套鎖和鑰匙．“隨機(jī)取出一把鑰匙開任意一把鎖，一次打開鎖的概率”，相當(dāng)于，“從兩個(gè)口袋中各隨機(jī)摸出一個(gè)球，兩球顏色一樣的概率”；（3）13考點(diǎn)：隨機(jī)事件．【變式9-1】（2023春·遼寧錦州·九年級校考期末）在用摸球試驗(yàn)來模擬6人中有2人生肖相同的概率的過程中，有如下不同的觀點(diǎn)，其中正確的是（

）A．摸出的球不能放回 B．摸出的球一定要放回C．可放回，可不放回 D．不能用摸球試驗(yàn)來模擬此事件【答案】B【分析】一年有365天，6個(gè)人中有兩個(gè)人生肖相同即從365天中任意取出6個(gè)數(shù)，其中有相同的概率，可以結(jié)合摸球?qū)嶒?yàn)來進(jìn)行設(shè)計(jì)．【詳解】解：方案：有從1到365共365個(gè)球，這些球除數(shù)字不同外，其它都相同，從中任摸一球，放回，然后混合均勻以后再任意摸出一個(gè)，如此循環(huán)6次，則6次摸到的球有兩個(gè)的數(shù)字相同的概率．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了模擬實(shí)驗(yàn)求概率，通過模擬實(shí)驗(yàn)可以便于實(shí)驗(yàn)，容易實(shí)驗(yàn)．【變式9-2】（2023春·四川達(dá)州·九年級校考期末）一不透明的布袋里，裝有紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球（除顏色外其余都相同），其中有紅球2個(gè)，籃球1個(gè)，黃球若干個(gè)，現(xiàn)從中任意摸出一個(gè)球是紅球的概率為12（1）求口袋中黃球的個(gè)數(shù)；（2）甲同學(xué)先隨機(jī)摸出一個(gè)小球（不放回），再隨機(jī)摸出一個(gè)小球，請用“樹狀圖法”或“列表法”，求兩次摸出都是紅球的概率；（3）現(xiàn)規(guī)定：摸到紅球得5分，摸到黃球得3分（每次摸后放回），乙同學(xué)在一次摸球游戲中，第一次隨機(jī)摸到一個(gè)紅球第二次又隨機(jī)摸到一個(gè)藍(lán)球，若隨機(jī)，再摸一次，求乙同學(xué)三次摸球所得分?jǐn)?shù)之和不低于10分的概率．【答案】(1)黃球有1個(gè)；(2)16；(3)3【分析】（1）首先設(shè)口袋中黃球的個(gè)數(shù)為x個(gè)，根據(jù)題意得：22+1+（2）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與兩次摸出都是紅球的情況，再利用概率公式即可求得答案．（3）由若隨機(jī)，再摸一次，求乙同學(xué)三次摸球所得分?jǐn)?shù)之和不低于10分的有3種情況，且共有4種等可能的結(jié)果；直接利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】解：（1）設(shè)口袋中黃球的個(gè)數(shù)為x個(gè)，根據(jù)題意得：22+1+x=經(jīng)檢驗(yàn)：x=1是原分式方程的解．∴口袋中黃球的個(gè)數(shù)為1個(gè)．（2）畫樹狀圖得：∵共有12種等可能的結(jié)果，兩次摸出都是紅球的有2種情況，∴兩次摸出都是紅球的概率為：212（3）∵摸到紅球得5分，摸到黃球得3分，而乙同學(xué)在一次摸球游戲中，第一次隨機(jī)摸到一個(gè)紅球第二次又隨機(jī)摸到一個(gè)藍(lán)球，∴乙同學(xué)已經(jīng)得了7分．∴若隨機(jī)，再摸一次，求乙同學(xué)三次摸球所得分?jǐn)?shù)之和不低于10分的有3種情況，且共有4種等可能的結(jié)果；∴若隨機(jī)，再摸一次，求乙同學(xué)三次摸球所得分?jǐn)?shù)之和不低于10分的概率為：34【變式9-3】（2023春·福建福州·九年級福建省福州屏東中學(xué)校考期中）某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎．抽獎規(guī)則如下：1．抽獎方案有以下兩種：方案A，從裝有1個(gè)紅球、2個(gè)白球（僅顏色不同）的甲袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球，若是紅球，則獲得獎金15元，否則，沒有獎金，兌獎后將摸出的球放回甲袋中；方案B，從裝有2個(gè)紅、1個(gè)白球（僅顏色不同）的乙袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球，若是紅球則獲得獎金10元，否則，沒有獎金，兌獎后將摸出的球放回乙袋中．2．抽獎條件是：顧客購買商品的金額每滿100元，可根據(jù)方案A抽獎一次：每滿足150元，可根據(jù)方案B抽獎一次（例如某顧客購買商品的金額為310元，則該顧客采用的抽獎方式可以有以下三種，根據(jù)方案A抽獎三次或方案B抽獎兩次或方案A，B各抽獎一次）．已知某顧客在該商場購買商品的金額為250元．(1)若該顧客只選擇根據(jù)方案A進(jìn)行抽獎，求其所獲獎金為15元的概率；(2)以顧客所獲得的獎金的平均值為依據(jù)，應(yīng)采用哪種方式抽獎更合算？并說明理由．【答案】(1)49(2)選擇方案A、方案B各抽1次的方案，更為合算．理由見解析【分析】（1）利用列表法表示獲得獎金15元所有可能出現(xiàn)結(jié)果情況，進(jìn)而求出相應(yīng)的概率即可；（2）由種抽獎方案，即：2次都選擇方案A，1次方案A1次方案B，1次方案B，分別求出各種情況下獲得獎金的平均值即可．【詳解】（1）解：由于某顧客在該商場購買商品的金額為250元，只選擇方案進(jìn)行抽獎，因此可以抽2次，由抽獎規(guī)則可知，兩次抽出的結(jié)果為一紅一白的可獲得獎金15元，從1個(gè)紅球，2個(gè)白球中有放回抽2次，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果情況如下：共有9種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中一紅一白，即可獲獎金15元的有4種，所以該顧客只選擇根據(jù)方案A進(jìn)行抽獎，獲獎金為15元的概率為49（2）解：①由（1）可得，只選擇方案A，抽獎2次，獲得15元的概率為49，獲得30元（2次都是紅球）的概率為19，兩次都不獲獎的概率為所以只選擇方案A獲得獎金的平均值為：15×49+30×19②只選擇方案B，則只能摸獎1次，摸到紅球的概率為23，因此獲得獎金的平均值為：10×23③選擇方案A1次，方案B1次，所獲獎金的平均值為：15×13+10×23因此選擇方案A、方案B各抽1次的方案，更為合算．【點(diǎn)睛】本題考查列表法或樹狀圖法求隨機(jī)事件發(fā)生的概率，列舉出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果情況是正確解答的前提．【題型10概率中的其他應(yīng)用】【例10】（2023春·陜西渭南·九年級統(tǒng)考期中）琳琳有4盒外包裝完全相同的糖果，其中有2盒巧克力味的，1盒牛奶味的，1盒水果味的，她準(zhǔn)備和好朋友分享糖果．(1)若琳琳隨機(jī)打開1盒糖果，恰巧是牛奶味的概率是______；(2)若琳琳從這4盒中隨機(jī)挑選兩盒打開，請用列表或畫樹狀圖法打開的兩盒都是巧克力味的概率．【答案】(1)1(2)1【分析】（1）4盒外包裝完全相同的糖果中有1盒牛奶味的，隨機(jī)打開1盒糖果恰巧是牛奶味的概率，用1除以4，即得；（2）從4盒外包裝完全相同的糖果中隨機(jī)挑選兩盒打開，列表寫出共12種等可能結(jié)果，其中兩盒都是巧克力味的結(jié)果有2種，隨機(jī)挑選兩盒糖果都是巧克力味的概率，用2除以12，即得．【詳解】（1）P(故答案為：14（2）用Q1、Q2表示巧克力味的，N表示牛奶味的，S表示水果味的，列表如下：糖果味道Q1Q2NSQ1——————Q1Q2Q1NQ1SQ2Q2Q1——————Q2NQ2SNNQ1NQ2——————NSSSQ1SQ2SN——————共12種等可能結(jié)果，其中兩盒都是巧克力味的結(jié)果有2種，隨機(jī)挑選兩盒都是巧克力味的概率為：P(【點(diǎn)睛】本題主要考查了求概率，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握概率的定義，簡單概率的計(jì)算，用列表法或樹狀圖法求概率．【變式10-1】（2023春·湖南長沙·九年級長沙市湘郡培粹實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）籠子里關(guān)著一只小松鼠（如圖），籠子的主人決定把小松鼠放歸大自然，將籠子所有的門都打開，松鼠要先經(jīng)過第一道門（A，B，或C），再經(jīng)過第二道門（D或E）才能出去．問松鼠走出籠子的路線（經(jīng)過的兩道門）有（

）種不同的可能？A．12 B．6 C．5 D．2【答案】B【分析】解決本題的關(guān)鍵是分析兩道門各自的可能性情況，然后再進(jìn)行組合得到打開兩道門的方法，這類題要讀懂題意，從中找出組合的規(guī)律進(jìn)行求解，本題不同的是首先分析每道門的情況數(shù)，然后整體進(jìn)行組合即可得解．【詳解】解：因?yàn)榈谝坏篱T有A、B、C三個(gè)出口，所以出第一道門有三種選擇；又因第二道門有兩個(gè)出口，故出第二道門有D、E兩種選擇，因此小松鼠走出籠子的路線有6種選擇，分別為AD、AE、BD、BE、CD、CE．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了概率、所有可能性統(tǒng)計(jì)，通過列舉法可以舉出所有可能性的路徑．【變式10-2】（2023春·浙江·九年級專題練習(xí)）疫情防控期間，任何人進(jìn)入校園都必須測量體溫，體溫正常方可進(jìn)校．現(xiàn)在學(xué)校需在東門、南門和西門分別增加一人測溫，甲、乙、丙三人被隨機(jī)增派到三個(gè)校門測溫．小明每天走東門進(jìn)校，小麗每天走西門進(jìn)校．請用所學(xué)概率知識解決下列問題：（1）寫出甲、乙、丙被分配到三個(gè)校門測溫的所有可能結(jié)果；（2）小明、小麗兩人中，進(jìn)校時(shí)誰遇到甲的可能性大？請說明理由．【答案】（1）有6種，見解析；（2）一樣大，見解析．【分析】（1）畫樹狀圖，計(jì)算判斷；（2）計(jì)算各自的概率，比較大小判斷即可．【詳解】解：（1）畫樹狀圖如圖：共有6個(gè)等可能的結(jié)果；（2）小明、小麗兩人中，進(jìn)校時(shí)遇到甲的可能性一樣大，理由如下：由（1）可知，共有6個(gè)等可能的結(jié)果，其中甲分配在東門的結(jié)果有2個(gè)，甲分配在西門的結(jié)果有2個(gè)，∴小明進(jìn)校時(shí)誰遇到甲的概率為26小麗進(jìn)校時(shí)誰遇到甲的概率為26∴小明、小麗兩人中，進(jìn)校時(shí)遇到甲的可能性一樣大．【點(diǎn)睛】本題考查了畫樹狀圖確定等可能性，判斷游戲的公平性，準(zhǔn)確畫樹狀圖，并用概率公式計(jì)算事件的概率是解題的關(guān)鍵．【變式10-3】（2023春·廣西南寧·九年級廣西大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）“垃圾分類，從我做起”，為改善群眾生活環(huán)境，提升全民文明素養(yǎng)，垃圾分類已經(jīng)在武威市普及開來．垃圾一般可分為可回收垃圾（A），廚余垃圾（B），有害垃圾（C），其它垃圾（D）四類．市民甲拿了一袋有害垃圾，乙拿了一袋廚余垃圾，隨機(jī)扔進(jìn)并排的4個(gè)垃圾桶A，B，C，D．(1)甲扔對垃圾的概率為_________；(2)用列表法或樹狀圖求出甲、乙兩人同時(shí)扔對垃圾的概率．【答案】(1)1(2)樹狀圖見解析，1【分析】（1）根據(jù)一步概率的求解公式P(A)=事件（2）采用樹狀圖或列表求解兩步概率問題，畫出樹狀圖即可求解．【詳解】（1）解：甲扔對垃圾的概率為14（2）解：畫樹狀圖為：由樹狀圖可知共有16種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩個(gè)人同時(shí)扔對垃圾的結(jié)果為CB．所以甲，乙兩人同時(shí)扔對垃圾的概率=1【點(diǎn)睛】本題考查了概率求解，對于一步概率問題，直接利用公式求解；兩步概率問題列表法或樹狀圖法求解，對于利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率．【題型11概率與統(tǒng)計(jì)的綜合】【例11】（2023春·湖南長沙·九年級校聯(lián)考期中）“茶顏悅色”是長沙的地標(biāo)美食名片之一，某“茶顏悅色”分店為了了解該地青年朋友對去年銷量較好的“三季蟲”（A）、“人間煙火”（B）、“聲聲烏龍”（C）、“幽蘭拿鐵”（D）四種不同口味的喜愛情況，對該地青年進(jìn)行了抽樣調(diào)查，并將調(diào)查情況繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請回答下列問題．(1)a=______，b=______；(2)請將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整，并計(jì)算表示C等次的扇形所對的圓心角的度數(shù)為______；(3)某“茶顏悅色”分店決定從A、B、【答案】(1)2，45(2)圖見解析，72°(3)1【分析】（1）根據(jù)條形圖形中A的數(shù)量，扇形圖中A的百分比可求出樣本容量，再根據(jù)B,D的信息即可求出a,b的值；（2）根據(jù)樣本容量和圓心角的計(jì)算公式即可求解；（3）畫樹狀圖表示所有可能的結(jié)果，再根據(jù)概率公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，A的人數(shù)是12人，A的百分比是30%∴抽取的總?cè)藬?shù)為12÷30%∵D的百分比為5%∴D的人數(shù)是40×5%∴a=2，∵B的人數(shù)為40-12-8-2=18（人），∴B的百分比為1840∴b=45，故答案為：2,45．（2）解：由（2）可知，B的人數(shù)為40-12-8-2=18（人），∴補(bǔ)全條形圖如下，∵C的人數(shù)是8人，∴C的圓心角為840（3）解：樹狀圖如下，共有12種等可能的結(jié)果，其中A、B兩種口味同時(shí)被選中的結(jié)果數(shù)為∴A、B兩種口味同時(shí)被選中的概率為【點(diǎn)睛】本題主要考查調(diào)查與統(tǒng)計(jì)的相關(guān)概念，畫樹狀圖求概率，掌握樣本容量的計(jì)算方法，圓心角的計(jì)算方法，列表或畫樹狀圖求隨機(jī)事件的概率是解題的關(guān)鍵．【變式11-1】（2023春·江蘇蘇州·九年級統(tǒng)考期末）某校為了解學(xué)生“自主學(xué)習(xí)、合作交流”的情況，對某班部分同學(xué)進(jìn)行了一段時(shí)間的跟蹤調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果(A:特別好;B:好;C:一般;D:較差)繪制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：(1)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中，D類所占圓心角為;(3)學(xué)校想從被調(diào)查的A類(1名男生、2名女生)和D類(男、女生各占一半)中分別選取一位同學(xué)進(jìn)行“一幫一”互助學(xué)習(xí)，請用畫樹狀圖或列表的方法求所選的兩位同學(xué)恰好是一男一女的概率.【答案】(1)補(bǔ)圖見解析；(2)36°；(3)12【分析】（1）由條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖，可求得C，D的人數(shù)，繼而補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖；（2）可求出D所占百分比，進(jìn)而求得扇形統(tǒng)計(jì)圖中，D類所占圓心角；（3）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與所選的兩位同學(xué)恰好是男一女的情況再利用概率公式即可求得答.【詳解】解：(1)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖:(2)36°;(3)樹狀圖如下：所選的兩位同學(xué)恰好是一男一女的概率為12【變式11-2】（2023春·山東濟(jì)南·九年級統(tǒng)考期中）我市為加快推進(jìn)生活垃圾分類工作，對分類垃圾桶實(shí)行統(tǒng)一的外型、型號、顏色等，其中，可回收物用藍(lán)色收集桶，有害垃圾用紅色收集桶，廚余垃圾用綠色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．為了解學(xué)生對垃圾分類知識的掌握情況，某校宣傳小組就“用過的餐巾紙應(yīng)投放到哪種顏色的收集桶”在全校隨機(jī)采訪了部分學(xué)生，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)圖中信息，解答下列問題：

(1)此次調(diào)查一共隨機(jī)采訪了_____名學(xué)生，在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“灰”所在扇形的圓心角的度數(shù)為____度；(2)若該校有3600名學(xué)生，估計(jì)該校學(xué)生將用過的餐巾紙投放到紅色收集桶的人數(shù)；(3)李老師計(jì)劃從A，B，C，D四位學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人參加學(xué)校的垃圾分類知識搶答賽，請用樹狀圖法或列表法求出恰好抽中A，B兩人的概率．【答案】(1)200，198(2)估計(jì)該校學(xué)生將用過的餐巾紙投放到紅色收集桶的人數(shù)為288人(3)1【分析】（1）利用選擇藍(lán)色的學(xué)生人數(shù)除以所占的百分比，求出總?cè)藬?shù)，利用360°×“灰”所占的比例，進(jìn)行求解即可；（2）用全校的人數(shù)乘以樣本中“紅”所占的比例，進(jìn)行求解即可；（3）列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到恰好抽中A，B兩人的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】（1）解：此次調(diào)查一共隨機(jī)采訪學(xué)生44÷22%在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“灰”所在扇形的圓心角的度數(shù)為360°×110故答案為：200；198；（2）3600×16估計(jì)該校學(xué)生將用過的餐巾紙投放到紅色收集桶的人數(shù)為288人；（3）列表如下：ABCDA(B,A)(C,A)(D,A)B(A,B)(C,B)(D,B)C(A,C)(B,C)(D,C)D(A,D)(B,D)(C,D)由表格知，共有12種等可能結(jié)果，其中恰好抽中A，B兩人的結(jié)果有2種，∴恰好抽中A，B兩人的概率為212【點(diǎn)睛】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率以及條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖．用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．【變式11-3】（2023春·廣東東莞·九年級虎門五中校考期中）我校計(jì)劃成立學(xué)生體育社團(tuán)，為了解學(xué)生對不同體育項(xiàng)目的喜愛情況，學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行“我最喜愛的一個(gè)體育項(xiàng)目”問卷調(diào)查，規(guī)定每人必須并且只能在“籃球”“足球”“乒乓球”“健美操”“跑步”五個(gè)項(xiàng)目中選擇一項(xiàng)，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請解答下列問題：(1)在這次調(diào)查中，該校一共抽樣調(diào)查了______名學(xué)生，扇形統(tǒng)計(jì)圖中“跑步”項(xiàng)目所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)是______°；請補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；(2)若該校共有1200名學(xué)生，試估計(jì)該校學(xué)生中最喜愛“籃球”項(xiàng)目的人數(shù)；(3)若隨機(jī)從“籃球、足球、乒乓球”三項(xiàng)中抽取兩個(gè)項(xiàng)目成立球類體育社團(tuán)，其中“籃球”被選中的概率是多少？(請用畫樹狀圖或列表等方法說明理由)【答案】(1)200，72°，補(bǔ)圖見解析(2)180(3)畫樹狀見解析，23【分析】（1）用選擇乒乓球的人數(shù)除以它所占的百分比得到調(diào)查的總?cè)藬?shù)，再用360°乘以選擇跑步的人數(shù)所占的百分比得到扇形統(tǒng)計(jì)圖中“跑步”項(xiàng)目所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)，然后計(jì)算出選擇足球的人數(shù)后補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（2）用1200乘以樣本中選擇籃球的人數(shù)所占的百分比即可；（3）畫樹狀圖展示所有種等可能的結(jié)果，再找出抽取兩個(gè)項(xiàng)目中至少一項(xiàng)是“籃球”的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【詳解】（1）解：調(diào)查的總?cè)藬?shù)為60÷30%=200（扇形統(tǒng)計(jì)圖中“跑步”項(xiàng)目所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為360°×40選擇“足球”的人數(shù)為200-30-60-20-40=50（名）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖為：故答案為：200，72；（2）解：1200×30所以估計(jì)該校學(xué)生中最喜愛“籃球”項(xiàng)目的人數(shù)為180名；（3）解：畫樹狀圖為：共有6種等可能的結(jié)果，其中抽取兩個(gè)項(xiàng)目中至少一項(xiàng)是“籃球”的結(jié)果數(shù)為4，所以抽取兩個(gè)項(xiàng)目中至少一項(xiàng)是“籃球”的概率為：46【點(diǎn)睛】本題考查了用樣本估計(jì)總體、求扇形統(tǒng)計(jì)圖的圓心角、概率公式、列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖展示所有可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率.也考查了統(tǒng)計(jì)圖．【題型12用頻率估計(jì)概率】【例12】（2023春·河南平頂山·九年級統(tǒng)考期末）（1）【綜合實(shí)踐】在學(xué)習(xí)“用頻率估計(jì)概率”的數(shù)學(xué)活動課上，學(xué)習(xí)小組做投擲骰子（質(zhì)地均勻的正方體）試驗(yàn)，他們共做了150次試驗(yàn)，試驗(yàn)的結(jié)果如下：向上點(diǎn)數(shù)123456出現(xiàn)次數(shù)1928273221x表格中的數(shù)據(jù)x=______；（2）【數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)】學(xué)習(xí)小