專題2.1整式加減（全章知識梳理與考點分類講解）【知識點1】整式的相關概念1．單項式：由數或字母的積組成的代數式叫做單項式，單獨的一個數或一個字母也是單項式．特別說明：（1）單項式的系數是指單項式中的數字因數．（2）單項式的次數是指單項式中所有字母的指數和．2．多項式：幾個單項式的和叫做多項式．在多項式中，每個單項式叫做多項式的項．特別說明：（1）在多項式中，不含字母的項叫做常數項．（2）多項式中次數最高的項的次數，就是這個多項式的次數．（3）多項式的次數是n次，有m個單項式，我們就把這個多項式稱為n次m項式．3.多項式的降冪與升冪排列：

把一個多項式按某一個字母的指數從大到小的順序排列起來，叫做把這個多項式按這個字母降冪排列．另外，把一個多項式按某一個字母的指數從小到大的順序排列起來，叫做把這個多項式按這個字母升冪排列．特別說明：（1）利用加法交換律重新排列時，各項應連同它的符號一起移動位置；

（2）含有多個字母時，只按給定的字母進行降冪或升冪排列．整式：單項式和多項式統稱為整式．【知識點2】要點二、整式的加減1．同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項叫做同類項．所有的常數項都是同類項．特別說明：辨別同類項要把準“兩相同，兩無關”：（1）“兩相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指數相同；（2）“兩無關”是指：①與系數無關；②與字母的排列順序無關．2．合并同類項：把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項．特別說明：合并同類項時，只是系數相加減，所得結果作為系數，字母及字母的指數保持不變．3．去括號法則：括號前面是“+”，把括號和它前面的“+”去掉后，原括號里各項的符號都不改變；括號前面是“-”，把括號和它前面的“-”號去掉后，原括號里各項的符號都要改變．4．添括號法則：添括號后，括號前面是“+”，括號內各項的符號都不改變；添括號后，括號前面是“-”，括號內各項的符號都要改變．5．整式的加減運算法則：幾個整式相加減，通常用括號把每一個整式括起來，再用加、減號連接，然后去括號，合并同類項．【考點一】整式及相關概念①單項式及其系數和次數【例1】找出下列各代數式中的單項式，并寫出各單項式的系數和次數．，，，，，，，．【分析】由數或字母的積組成的代數式叫做單項式，單獨的一個字母或一個數也是單項式，所有字母次數的和是單項式的次數．解：以上代數式是單項式的有：，，，，，．的系數為，次數為3；的系數為，次數為1；，系數為，次數為7；，系數為，次數為6；2，系數為2，次數為0；，系數，次數為1．【點撥】本題主要考查單項式的相關概念，屬于基礎題目．【舉一反三】【變式1】的系數與次數分別是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據單項式系數、次數的定義求解即可．解：單項式的系數與次數分別為，故選：A．【點撥】本題考查了單項式，熟練掌握單項式的系數、次數的定義是解題的關鍵．【變式2】觀察下列單項式特點：，，，，…，第n個單項式為（n為正整數）．【答案】【分析】根據已知的4個單項式找出規律即可求解．解：當n是奇數時，第n個單項式是正數，n是偶數時，則第n個單項式是負數．當時，系數的絕對值為，x的次數為2，a的次數為2；當時，系數的絕對值為，x的次數2，a的次數為3；當時，系數的絕對值為，x次數為2，a的次數為4…以此類推，則可以判斷當第n個單項式時，其表達式為．故答案為：．【點撥】本題主要考查學生結合整式知識點探究歸納規律，解題的關鍵是根據已知的單項式，總結出一般規律．②多項式的項和次數【例2】已知是六次四項式，且的次數與它相同．(1)求、的值；(2)請寫出多項式的各項，并求出各項的系數和．【答案】(1)，(2)多項式的各項為：，，，；各項的系數和為【分析】（1）用多項式的次數，單項式的次數分別列方程求解即可；（2）由（1）得到的值，代入計算得到該多項式的各項及各項系數，再把系數求和即可．解：是六次四項式，，解得，的次數也是六次，，，，；（2）解：該多項式為，多項式的各項為：，，，，各項的系數和為：．【點撥】本題考查了多項式的次數和系數的概念，單項式的次數的概念，一元一次方程的應用，理解基礎概念是解題關鍵．【舉一反三】【變式1】若關于，的多項式與的差不含三次項，則數的值為（）A． B． C． D．9【答案】D【分析】計算兩個多項式的差并合并同類項，根據兩個多項式的差不含三次項可得，即可求解出的值．解：∵這兩個多項式的差不含三次項∴解得故答案為：D．【點撥】本題考查了多項式的加減運算，掌握多項式的性質以及加減運算法則是解題的關鍵．【變式2】關于x、y的多項式是四次二項式，則．【答案】2或【分析】直接利用多項式的次數與系數確定方法分析得出答案．解：∵關于x、y的多項式是四次二項式，∴當，|m+1|=3時，∴m=2；當m+3=0時，m=-3，原多項式為，綜上所述，m的值為2或．故答案為：2或．【點撥】本題主要考查了多項式，正確分類討論得出m的值是解題關鍵．【考點二】同類項及合并同類項【例3】已知單項式與是同類項，多項式是五次三項式，求的值．【答案】【分析】根據同類項的定義和多項式的次數和項的定義列式計算即可．解：∵單項式與是同類項，∴．∵多項式是五次三項式，∴，∴，∴．【點撥】本題考查了同類項即含有字母相同且相同字母的指數也相同，多項式的次數即多項式中次數最高的項的次數，熟練掌握定義是解題的關鍵．【舉一反三】【變式1】下列判斷正確的是（

）A．與不是同類項 B．不是整式C．單項式的系數是 D．是二次三項式【答案】C【分析】根據同類項的定義（所含字母相同，并且相同字母的指數也分別相同的項叫做同類項）、整式的定義（整式包括單項式和多項式）、單項式的系數（只含有數與字母的積的式子叫做單項式）、多項式的項與次數的定義（多項式中每一個單項式稱為該多項式的項；次數最高的項的次數即為該多項式的次數）即可得．解：A、與是同類項，則此項錯誤，不符合題意；B、是整式，則此項錯誤，不符合題意；C、單項式的系數是，則此項正確，符合題意；D、是三次三項式，則此項錯誤，不符合題意；故選：C．【點撥】本題考查了同類項、整式、單項式的系數、多項式，熟練掌握相關概念是解題關鍵．【變式2】若，則．【答案】5【分析】由題意，得：為同類項，利用同類項的定義，字母和字母的指數都相同，求出，再代值計算即可．解：，∴為同類項，∴，∴；故答案為：．【點撥】本題考查代數式求值．熟練掌握同類項的定義，是解題的關鍵．【考點三】去（添）括號【例4】以下是馬小虎同學化簡代數式的過程．…………第一步，…………第二步，…………第三步，馬小虎同學解答過程在第___________步開始出錯，出錯原因是___________．馬小虎同學在解答的過程用到了去括號法則，去括號的依據是___________．請你幫助馬小虎同學寫出正確的解答過程．【答案】(1)一，去掉括號時，沒有變號；(2)乘法分配律；(3)見分析【分析】（1）根據去括號法則得出答案即可；（2）根據去括號法則得出答案即可；（3）先根據去括號法則去括號，再合并同類項即可；解：（1）馬小虎同學解答過程在第一步開始出錯，出錯原因是去掉括號時，沒有變號；（2）乘法分配律（3）【點撥】本題考查了整式加減和去括號法則能正確根據知識點進行計算是解此題的關鍵．【舉一反三】【變式1】下列去括號或添括號正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據去括號法則或添括號法則計算判斷即可．解：A．，故本選項錯誤；B．，故本選項錯誤；C．，故本選項正確；D．，故本選項錯誤．故選：C．【點撥】本題考查了去括號法則，添括號法則，熟練掌握法則是解題的關鍵．【變式2】已知有理數a、b、c在數軸上對應的點如圖，化簡的結果是．【答案】a【分析】據數軸上點的位置判斷出絕對值里邊式子的正負，利用絕對值的代數意義化簡，去括號合并即可得到結果．解：由圖可知：，∴，，，∴，故答案為：a．【點撥】此題考查了數軸，整式的加減以及化簡絕對值，根據題意得出絕對值里邊式子的正負是解本題的關鍵．【例5】若，求的值．【答案】10【分析】先把原代數式化為：，再整體代入求值即可.解：原式＝【點撥】本題考查的是求解代數式的值，添括號的應用，掌握“整體代入法求解代數式的值”是解本題的關鍵.【舉一反三】【變式1】若時，式子的值為10，則當時，式子的值為（

）A．12 B．10 C．7 D．4【答案】D【分析】先根據時，式子的值為10，可得，再把代入，再整體代入求值即可．解：∵時，式子的值為10，∴，∴，當時，∴．故選D．【點撥】本題考查的是求解代數式的值，掌握“整體代入法求解代數式的值”是解本題的關鍵．【變式2】已知，則．【答案】3【分析】將整體代入即可求解．解：∵，∴，故答案為：．【點撥】本題考查了已知式子的值求解代數式的值的知識，注重整體代入的思想是解題的關鍵．【考點四】整式的加減【例6】計算： (2)【答案】(1)；(2)【分析】（1）直接合并同類項即可得出結果；（2）先去括號，再合并同類項即可．（1）解：（2）解：；．【點撥】本題考查整式加減，熟練掌握去括號法則和合并同類項法則是解題的關鍵．【舉一反三】【變式1】在計算：時，嘉琪同學將括號前面的“”號抄成了“+”號，得到的運算結果是，你認為多項式M是（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】根據題意列出算式，去括號后求出即可．解：根據題意得：，故選：A．【點撥】本題考查了整式的加減，能根據題意列出算式是解此題的關鍵．【變式2】已知，，則．【答案】4【分析】由變形為，然后再整體代入計算求解即可．解：∵，，∴=====4，故答案為：4．【點撥】本題主要考查了整式的加減，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．【考點五】化簡求值【例7】已知，求的值．【答案】【分析】先去括號，然后合并同類項把所求的式子化簡，再根據非負數的性質求出a、b的值，最后代值計算即可．解：，∵，，∴，，，原式．【點撥】本題主要考查了整式的化簡求值，非負數的性質，熟知整式的加減計算法則是解題的關鍵．【舉一反三】【變式1】（1）若，化簡并求代數式值．（2）已知，，當時，求的值．【答案】（1）；；（2）【分析】（1）先去括號，合并同類項進行化簡，再根據非負數的性質求出a、b的值，代入化簡后的式子進行計算即可得；（2）根據題意先化簡，然后再將數值代入進行計算即可解：（1）原式＝，∵，∴，∴原式；（2）∵，∴，當時，原式＝．【點撥】本題考查整式的加減混合運算，屬于常考題，其中去括號時每一項的符號是易錯點，熟練掌握合并同類項是解題的關鍵．【變式2】閱讀材料：我們把看成一個整體，則．嘗試應用：(1)把看成一個整體，則將合并的結果為________；(2)如果，求的值；(3)拓廣探索：已知，求的值．【答案】(1)；(2)0；(3)【分析】（1）根據合并同類項的計算法則求解即可；（2）將所求式子變形為，然后根據已知條件進行求解即可；（3）先把所求式子化簡，然后根據進行求解即可．解：，故答案為：；（2）解：∵，∴；（3）解：，∵，∴，∴原式．【點撥】本題主要考查了整式的化簡求值，熟知整式的相關計算法則是解題的關鍵．【考點六】整式加減中的無關型問題【例8】學習了整式的加減運算后，老師給同學們性了一個任務：已知，自行給b取一個喜歡的數．先化簡下列式子，再代入求值．．小杜、小康、小磊三人經過化簡計算，后來交流結果時發現，雖然三人給b取的值都不同，但計算結果卻完全一樣．請解釋出現這種情況的原因，并求這個計算結果．【答案】理由見分析，29．【分析】對代數式運用整式的加減運算法則化簡，發現結果與b無關即可說明原因；然后再將代入計算即可．解：原式．因為化簡結果中不含字母b，這說明代數式的值與b的取值無關，所以三位同學雖然給b取的值都不同，但計算結果卻完全一樣．，計算結果為29．【點撥】本題主要考查了整式的加減運算法則、無關性問題、代數式求值等知識點，靈活運用整式加減混合運算法則成為解答本題的關鍵．【舉一反三】【變式1】小明在計算代數式的值時，發現當和時，他們的值是相等的．小明的發現正確嗎？說明你的理由．【答案】小明的發現是正確的，理由見分析【分析】根據去括號、合并同類項的法則將代數式化簡后可知答案．解：小明的發現是正確的．理由：，由計算可知：結果與x的取值無關，所以小明的發現是正確的．【點撥】本題考查了去括號、合并同類項，運用這些法則對代數式進行化簡是解題的關鍵．【變式2】已知代數式．（1）當時，求的值；（2）若的值與y的取值無關，求x的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）先把A、B的代數式代入化簡，再把代入化簡后的式子計算即可；（2）先把A、B的代數式代入化簡，結合的值與y的取值無關可得關于x的方程，解方程即可．解：（1）；當時，原式；（2）；∵的值與y的取值無關，∴，解得：．【點撥】本題考查了整式的加減，正確理解題意、熟練掌握整式加減運算的法則是解題的關鍵．【考點七】整式加減中的應用【例9】疫情肆虐，為了滿足市場上對口罩的需求，某廠家決定生產、兩種款式的口罩，每天兩種口罩的生產量共個，兩種口罩的成本和售價如下表：成本（元/個）售價（元/個）A0.51B2.54設每天生產種口罩個．①每天生產種口罩__________________個；②用含的代數式表示該工廠每天的生產成本，并進行化簡；(2)用含的代數式表示該工廠每天獲得的利潤（利潤=售價-成本），并將所列代數式進行化簡；(3)當時，求每天獲得的利潤．【答案】(1)①②元；(2)（元；(3)55000元【分析】（1）①根據每天兩種口罩的生產量共50000個，即可得出答案；②由題意A種口罩成本為0.5元/個，B種口罩的成本為2.5元/個，列代數式即可得出答案；（2）由題意A種口罩利潤為0.5元/個，B種口罩的利潤為1.5元/個，列代數式即可得出答案；（3）根據（2）所得結果即可得出答案．解：（1）①若設每天生產A種口罩x個，則每天生產B種口罩個．故答案為：．②根據題意可得，該工廠每天的生產成本為：（元）；（2）根據題意可得，該工廠每天獲得的利潤為：（元）；（3）當時，（元）．所以當時，每天獲得的利潤為55000元．【點撥】本題主要考查了列代數式及代數式求值，根據題意列出代數式是解決本題的關鍵．【舉一反三】【變式】某商場銷售一款運動鞋和運動襪，運動鞋每雙定價200元，運動襪每雙定價40元．商場決定開展促銷活動，活動期間向客戶提供兩種優惠方案，方案一：買一雙運動鞋送一雙運動襪；方案二：運動鞋和運動襪都按定價的90%付款，現某客戶要到該商場購買運動鞋10雙和運動襪x雙（）．若該客戶按方案一購買，需付款________元；（需化簡）若該客戶按方案二購買，需付款________元．（需化簡）按方案一購買比按方案二購買省多少錢？當時，通過計算說明上面的兩種購買方案哪種省錢？【答案】(1)，；(2)元；(3)方案一更省錢，理由見分析【分析】（1）方案一：買完10雙鞋子后送10雙襪子，即襪子只需要買雙，據此列式計算即可，方案二：根據運動鞋和運動襪都按定價的付款列式計算即可；（2）根據（1），用方案二的付款減去方案一的付款即可；（2）將x分別代入代入（1）中的兩個式子中計算，然后再比較即可．（1）解：按方案一購買：需付款元；按方案二購買：需付款元．故答案為：，．（2）解：，∴方案一購買比按方案二購買省（）元．答：方案一購買比按方案二購買省元．（3）解：當時，方案一：元，方案二：元，∵，∴方案一更省錢．【點撥】本題主要考查了列代數式、代數式求值、整式的加減運算等知識點，根據題意正確列出方案一與方案二的付款數是解題的關鍵．【考點七】整式中的規律問題【例10】每年春節前夕，某古鎮老街居民都將在千米長街上大擺百家宴，吸引眾多游客慕名前來，共享團圓宴．百家宴用的桌子都是一樣的，一張桌子可坐6人，有如圖所示兩種擺放方式：

(1)若有8張這樣的桌子按第一種擺放方式能坐___________人；(2)若有n張這樣的桌子按第二種擺放方式能坐___________人；(3)有若干名游客預約了今年除夕的午餐，由于人數較多，古鎮老街決定分批接待這些游客，現已備好480張這樣的餐桌按第一種或第二種擺放方式擺放，若想要同時接待2000位游客共同就餐，古鎮老街備好的這些餐桌夠用嗎？如果夠用，請說明理由；如果不夠用，請計算說明至少還需要準備多少張這樣的餐桌？【答案】(1)34；(2)；(3)不夠用，20張【分析】（1）旁邊2人除外，每張桌可以坐4人，由此即可解決問題；（2）旁邊4人除外，每張桌可以坐2人，由此即可解決問題；（3）分別求出兩種情形坐的人數，即可判斷.解：（1）第一種擺放方式可坐人數為：（人）;解：（2）第二種擺放方式可坐人數為：（人）;解：（3）當時，第一種擺放方式可坐人數為：（人），當時，第二種擺放方式可坐人數為：（人），∵，∴無論選用哪一種擺放方式，餐桌都不夠用，，答：至少還需要準備這樣的餐桌20張.【點撥】本題考查規律型-數字問題，解題的關鍵是學會探究規律，利用規律解決問題，屬于中考常考題型.【舉一反三】【變式1】探索規律是深入認識事物的一種方法，通過觀察、歸納、猜想、驗證等思維方式，歷經從具體到抽象的過程來揭示一般規律．問題情景：如圖1所示，把火柴棒搭成正方形．

問題提出：①按圖1的方式，搭4個正方形需要根火柴棒；②學生A是按照圖2思考的，根據他思考的方法求出搭x個正方形所需火柴棒根數的代數式；(2)問題解決：你還有其他的思考方法也能得到正方形的個數x與火柴棒的根數之間的關系嗎？說明思考方法，畫出對應圖形，求出代數式；(3)問題運用：改變火柴棒的擺放方法搭成別的圖形，畫出圖形，求出圖形個數x與火柴棒根數之間關系的代數式．【答案】(1)①13；②根；(2)畫圖見分析，根；(3)畫圖見分析，根；【分析】（1）①根據圖形中火材棒的數量計數即可；②先探究搭1個正方形，2個正方形，3個正方形需要的火材棒數量，再總結規律即可；（2）由每增加1個正方形，少