第10講難點探究專題：有理數中的新定義型與規律探究(4類熱點題型講練)目錄TOC\o"1-3"\h\u【類型一有理數中新定義型的有關運算】 1【類型二一列數中的規律探究問題】 5【類型三計算中的規律探究問題】 8【類型四數軸上的規律探究問題】 12【類型一有理數中新定義型的有關運算】例題：（2023秋·江蘇·七年級專題練習）定義運算，則．【答案】【分析】根據新定義得出，然后進行乘法計算即可求解．【詳解】解：∵∴，故答案為：．【點睛】本題考查了有理數的減法以及有理數的乘法運算，理解新定義是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·貴州畢節·七年級統考期末）設a，b為自然數，定義，則的值（

）A．34 B．58 C．74 D．98【答案】C【分析】由，可知，計算求解即可．【詳解】解：∵，∴，故選：C．【點睛】本題考查了有理數的混合運算．解題的關鍵在于理解題中新運算法則．2．（2023秋·浙江·七年級專題練習）用“*”定義一種新運算：對于任何有理數a和b，規定，如，則的值為（

）A． B．8 C． D．4【答案】C【分析】按照新定義進行代值，可得，進行計算即可求解．【詳解】解：；故選：C．【點睛】本題主要考查了在新定義下含有乘方的有理數的混合運算，理解新定義是解題的關鍵．3．（2023秋·湖南婁底·七年級校聯考期末）若定義一種新運算，規定，則．【答案】【分析】原式利用題中的新定義計算即可求出值．【詳解】解：∵，∴，故答案為：2．【點睛】此題考查了有理數的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．4．（2023秋·河北石家莊·七年級校考期末）在數軸上有A，B兩點，點A表示的數為，點B表示的數為b．對點A給出如下定義：當時，將點A向右移動2個單位長度，得到點P；當時，將點A向左移動個單位長度，得到點P．稱點P為點A關于點B的“聯動點”．當時，點A關于點B的“聯動點”P在數軸上表示的數為，當時，點A關于點B的“聯動點”P在數軸上表示的數為；【答案】1【分析】根據b值分別將將點A向右移動2個單位長度，將點A向左移動2個單位長度即可得到結果．【詳解】解：∵當時，將點A向右移動2個單位長度，得到點P；∴當時，P表示的數是；∵當時，將點A向左移動個單位長度，得到點P；∴當時，P表示的數是；故答案為：1；．【點睛】本題考查數軸上的點表示有理數，解題的關鍵是理解“聯動點”的意義．5．（2023·江蘇·七年級假期作業）定義一種新運算：觀察下列各式，并解決問題．，，，請你想一想：(1)；．(2)若，那么（填入“＝”或“≠”）．(3)計算：．【答案】(1)23，(2)≠(3)【分析】（1）根據題目所給新運算的運算順序和運算法則進行計算即可；（2）先根據題目所給新運算的運算順序和運算法則將和計算出來，再用作差法比較即可；（3）根據題目所給新運算的運算順序和運算法則進行計算即可．【詳解】（1）解：；；故答案為：23，．（2）∵，，∴，∵，∴∴．故答案為：≠．（3）．【點睛】本題主要考查了新定義下的有理數的混合運算，解題的關鍵是正確理解題意，明白題中所給新定義的運算順序和運算法則，熟練掌握有理數的混合運算順序和運算法則．6．（2023秋·貴州安順·七年級校聯考期末）若，是有理數，定義一種新運算．例如：．試計算：(1)：(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）將3看作a，將看作b，按照規定的運算法則進行計算即可.（2）把（1）的結果看作a，把看作b按照規定的運算法則進行計算即可.【詳解】（1）原式（2）原式【點睛】本題主要考查了定義新運算和有理數的混合運算，理解新運算規定的運算法則，對號入座是解題的關鍵.7．（2023秋·山西長治·七年級統考期末）閱讀材料：定義：數軸上的三點，如果其中一個點與近點距離是它與遠點距離的，則稱該點是其他兩個點的“倍分點”．例如，數軸上點A，B，C所表示的數分別為–1，0，2，且滿足，則點B是點A，C的“倍分點”．已知點A，B，C，M，N在數軸上所表示的數如圖所示．(1)基礎鞏固：在A，B，C三點中，點_____________是點M，N的“倍分點”．(2)嘗試應用：若數軸上點M是點A，D的“倍分點”，則點D在數軸上對應的數有_____________個．(3)靈活運用：若數軸上點N是點P，M的“倍分點”，且點Р在點N的右側，求此時點Р在數軸上表示的數．【答案】(1)B(2)4(3)①；②或24【分析】（1）利用“倍分點”的定義即可求得答案；（2）設D點坐標為x，利用“倍分點”的定義，分兩種情況討論即可求出答案；（3）利用“倍分點”的定義，結合點P在點N的右側，分兩種情況討論即可求出答案．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴點B是點M，N的“倍分點”．故答案為：B．（2）解：設點D在數軸上所表示的數為x．根據題意，得．①當時，．∴．解得或．②當時，．∴．解得或．綜上所述，點在數軸上對應的數有4個．故答案為：4．（3）解：根據題意，得，①當時，．∵點Р在點N的右側，∴此時點Р在數軸上表示的數為．②當時，．∵點Р在點N的右側，∵此時點Р在數軸上表示的數為24．綜上所述，點Р在數軸上表示的數為或24．【點睛】本題考查了數軸結合新定義“倍分點”，正確理解“倍分點”的含義是解決問題的關鍵．【類型二一列數中的規律探究問題】例題：（2023·全國·七年級假期作業）觀察下列各數：1，，，，…，按你發現的規律計算這列數的第5個數為．【答案】【分析】根據分子是序號數的平方，分母是2的序號次方減1，由此即可寫出第5個數．【詳解】第一個數：，第二個數：，第三個數：，第5個數：．故填：．【點睛】本題考查規律型：數字的變化類，解題的關鍵是掌握從一般到特殊的探究方法，找到規律，屬于中考常考題型．【變式訓練】1．（2023·全國·七年級假期作業）下列一組按規律排列的數：1，2，4，8，16，…第2021個數是（）A． B．C． D．以上答案都不對【答案】C【分析】通過計算得到，是第1個數；，是第2個數；，是第3個數；，是第4個數；，是第5個數，則數的序號比指數大1，于是得到第2021個數是．【詳解】解：∵一組按規律排列的數：1，2，4，8，16，…，∴這些數變為：，…，∴第2021個數是．故選：C．【點睛】本題考查了規律型—數字的變化類：通過從一些特殊的數字變化中發現不變的因素或按規律變化的因素，然后推廣到一般情況．2．（2021秋·廣東汕尾·七年級校考期中）觀察下面的一列數，按某種規律在橫線上填上適當的數：、、、，…，第6個數是，第100個數是．【答案】【分析】觀察數的規律可知，每一項都是分數，且分子為1，分母為該數的序號與比該數的序號多1的數的積，即第n個數為；利用計算即可．【詳解】解：第1個數：；第2個數：；第3個數：；…∴第6個數是∴第100個數：；故答案為：，．【點睛】本題考查了數字的變化規律及有理數的加法運算，解題的關鍵是學會從特殊到一般的探究方法，屬于中考常考題型．3．（2021秋·七年級課時練習）觀察下面的每列數，按某種規律在橫線上填上適當的數，并說明你的理由．（1），_______，_______；（2），_______，________；（3），_______，________；（4），_______，________；【答案】（1）；（2）；（3）32，；（4）0，4．【分析】（1）觀察可看出后一個數比前一個大5，以此推斷即可；（2）觀察可看出分母擴大2倍，分子加1，并且正負相間，以此推斷即可；（3）觀察可看出第1個數的絕對值是，第2個數的絕對值是，第3個數的絕對值是，第4個數的絕對值是，并且正負相間，以此推斷即可；（4）觀察可看出第1個數減2得到第2個數，第2個數加4得到第3個數，再減2得到第4個數，加4得到第5個數，以此推斷即可．【詳解】（1）后一個數比前一個大5，后面兩個數為；（2）分母擴大2倍，分子加1，并且正負相間，后面兩個數為；（3）第1個數的絕對值是，第2個數的絕對值是，第3個數的絕對值是，第4個數的絕對值是，并且正負相間，后面兩個數為32，；（4）第1個數減2得到第2個數，第2個數加4得到第3個數，再減2得到第4個數，加4得到第5個數，后面兩個數為0，4．【點睛】本題考查了有理數的數字規律，大膽嘗試，小心求證是解決本題的關鍵．4．（2022秋·全國·七年級專題練習）觀察下面三行數：2，，8，，32，，……；

①0，，6，，30，，……；

②，2，，8，，32，……；

③觀察發現：每一行的數都是按一定的規律排列的．通過你發現的規律，解決下列問題．（1）第①行的第8個數是________，第個數是________；（2）第②行的第個數是________，第③行的第個數是________；（3）取每行數的第10個數，計算這三個數的和．【答案】（1）；；（2），或；（3）【分析】（1）第①行有理數是按照排列的；（2）第②行為第①行的數減2；第③行為第①行的數的一半的相反數，分別寫出第n個數的表達式即可；（3）根據各行的表達式求出第10個數，然后相加即可得解．【詳解】解：（1）第①行的有理數分別是﹣1×2，﹣1×22，23，﹣1×24，…，故第8個數是，第n個數為（﹣2）n（n是正整數）；故答案為：；；（2）第②行的數等于第①行相應的數減2，即第n的數為（n是正整數），第③行的數等于第①行相應的數的一半的相反數，即第n個數是或（n是正整數）；故答案為：，或；（3）∵第①行的第10個數為，第②行的第10個數為，第③的第10個數為，所以，這三個數的和為：【點睛】本題是對數字變化規律的考查，認真觀察、仔細思考，善用聯想是解決這類問題的方法，觀察出第②③行的數與第①行的數的聯系是解題的關鍵．【類型三計算中的規律探究問題】例題：（2023·全國·九年級專題練習）計算：，，，，，……歸納各計算結果中的個位數字規律，則的個位數字是（

）A．1 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據題目中的式子可以計算出前幾個數字，從而可以發現個位數字的變化規律，進而可以得到的個位數字．【詳解】解：由，，，，，……可知計算結果中的個位數字以為一個循環組依次循環，∵，∴的個位數字是3，故選：B．【點睛】本題考查數字的變化類、尾數特征，解答本題的關鍵是明確題意，發現個位數字的變化特點，求出所求式子的個位數字．【變式訓練】1．（2022秋·山東棗莊·七年級棗莊市第十五中學校考階段練習）觀察下列等式：，，，，…．通過觀察，用你發現的規律確定的個位數字是（

）A．2 B．4 C．8 D．6【答案】C【分析】由題意得，2為底的冪的個位數字是按2，4，8，6這一規律循環的，找到規律后即可求得結果．【詳解】解：繼續計算：，…，顯然個位數字是按2，4，8，6這一規律循環的，而，所以的個位數字是8；故選：C．【點睛】本題數字規律探索問題，考查了乘方的計算，關鍵是由特殊到一般找到規律．2．（2023秋·全國·七年級專題練習）觀察算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，…．通過觀察，用你所發現的規律確定32021的個位數字是（）A．3 B．9 C．7 D．1【答案】A【分析】從運算的結果可以看出尾數以3、9、7、1四個數字一循環，用2019除以4，余數是幾就和第幾個數字相同，由此解決問題即可．【詳解】解：已知31=3，末位數字為3，

32=9，末位數字為9，

33=27，末位數字為7，

34=81，末位數字為1，

35=243，末位數字為3，

36=729，末位數字為9，

37=2187，末位數字為7，

38=6561，末位數字為1，

…

由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次冪的末位數字以3、9、7、1四個數字為一循環，

又2021÷4=505…1，所以32019的末位數字與33的末位數字相同是3．

故選:A．【點睛】此題考查尾數特征及規律型：數字的變化類，通過觀察得出3的乘方的末位數字以3、9、7、1四個數字為一循環是解決問題的關鍵．3．（2021秋·全國·七年級專題練習）求出下列各組兩個算式的值，你能發現什么規律？(1)＝______，＝______；(2)＝______，＝______；(3)(－1)4×24＝______，(－1×2)4＝______；(4)(－5)2×42＝______，(－5×4)2＝______．試用你發現的規律計算×【答案】（1）1，1；（2），；（3）16，16；（4）400，400；規律：兩個數的相同次冪的積等于這兩個數乘積的相同次冪，．【分析】先分別求出各個式子，再根據結果即可總結出規律，然后根據規律即可得出答案．【詳解】解：(1)＝，＝；(2)＝，＝；(3)(－1)4×24＝，(－1×2)4＝；(4)(－5)2×42＝，(－5×4)2＝．規律：兩個數的相同次冪的積等于這兩個數乘積的相同次冪，即am·bm＝(ab)m(m為正整數)．×＝××4＝×4＝×4＝－1×4＝－4．【點睛】本題考查了有理數冪的計算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．4．（2022秋·福建泉州·七年級福建省惠安第一中學校聯考期中）觀察下列等式：第個等式：；第個等式：；第個等式：；第個等式：；請回答下列問題：（1）按以上規律列出第個等式：__________________；（2）用含的代數式表示第個等式：__________________為正整數；（3）求的值．（4）求的值【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）根據前面4個等式找到規律即可得出第5個等式；（2）由題意可知：分子為1，分母是兩個連續奇數的乘積，可以拆成分子是1，分母是以這兩個奇數為分母差的一半，由此得出答案即可；（3）依照上述規律，相加后，采用拆項相消法即可得出結果；（4）模仿上述規律，相加后，采用拆項相消法即可得出結果．【詳解】解：；；，，，；，，，，．【點睛】本題考查的是有理數運算中的規律探究，掌握“從具體到一般的探究方法，并運用運算規律解決問題”是解題的關鍵．5．（2023秋·全國·七年級專題練習）觀察下面算式的演算過程：

……（1）根據上面的規律，直接寫出下面結果：______________．

____________．_________________．（為正整數）（2）根據規律計算：．【答案】（1），，；（2）．【分析】（1）根據已知算式的演算過程即可得；（2）根據（1）的結論，先將各括號進行轉化，再計算有理數的乘法即可得．【詳解】（1），，，故答案為：，，；（2）原式，，，，．【點睛】本題考查了有理數乘方、乘法、加法的規律型問題，根據演算過程，正確發現規律是解題關鍵．【類型四數軸上的規律探究問題】例題：（2022秋·河北滄州·七年級統考期末）一電子跳蚤落在數軸上的某點k0處，第一步從k0向左跳一個單位到k1，第二步從k1向右跳2個單位到k2，第三步由k2處向左跳3個單位到k3，第四步由k3向右跳4個單位k4…按以上規律跳了100步后，電子跳蚤落在數軸上的數是0，則k0表示的數是（）A．0 B．100 C．50 D．﹣50【答案】D【分析】根據題意寫出數字并總結出變化規律，然后計算即可得到答案．【詳解】解：根據題意可知：……當n=100時，∴故選D．【點睛】本題考查了有理數的加法，掌握相關知識，找到數字的變化規律，同時注意解題中需注意的相關事項是本題的解題關鍵．【變式訓練】1．（2023春·江蘇·七年級專題練習）在數軸上，點表示1，現將點沿軸做如下移動：第一次點向左移動3個單位長度到達點，第二次將點向右移動6個單位長度到達點，第三次將點向左移動9個單位長度到達點，按照這種移動規律移動下去，第次移動到點，如果點與原點的距離不小于30，那么的最小值是（

）A．19 B．20 C．21 D．22【答案】B【分析】先根據數軸的定義求出的值，再歸納總結出一般規律，然后根據“點與原點的距離不小于30”列出不等式求解即可．【詳解】由題意得：表示的數為，點與原點的距離為表示的數為，點與原點的距離為表示的數為，點與原點的距離為表示的數為，點與原點的距離為表示的數為，點與原點的距離為歸納類推得：當移動次數為奇數時，點與原點的距離；當移動次數為偶數時，點與原點的距離為（其中，n表示移動次數，n為正整數）（1）當移動次數為奇數時由題意得：解得則此時n的最小值為（2）當移動次數為偶數時由題意得：解得則此時n的最小值為綜上，n的最小值為故選：B．【點睛】本題考查了數軸的應用、一元一次不等式的應用，掌握理解數軸的定義，并歸納類推出規律是解題關鍵．2．（2022秋·廣東佛山·七年級校考階段練習）點從原點向距離原點左側1個單位的點處跳動，第一次跳動到的中點處，第二次從點跳動到的中點處，第三次從點跳動到的中點處，如此不斷跳動下去，則第4次跳動后，P點（即表示的數）為．

【答案】【分析】解：根據題意可得第一次跳動到的中點處時，；第二次從點跳動到的中點處時，；第三次從點跳動到的中點處時，，第四次從點跳動到的中點處時，，最后結合線段的和差即可求得答案．【詳解】解：∵，∴第一次跳動到的中點處時，，第二次從點跳動到的中點處時，，第三次從點跳動到的中點處時，，第四次從點跳動到的中點處時，，∴第4次跳動后，，∴點表示的數為．故答案是：．【點睛】本題考查了數軸上的找規律問題，此類題目在中考中經常出現，對于找規律的題目首先應找出哪些部分發生了變化，是按照什么規律變化的是解決問題的關鍵．3．（2022秋·湖南長沙·