江蘇省南京市2023年高三《數學》上學期9月月考數學試題與參考答案一、選擇題本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應位置上．1.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【詳解】解：由，得，由，得，所以.故選：B.2.已知復數，其中為敘述單位，則的值為（）A. B. C.3 D.5【答案】D【詳解】解：因為復數，所以，則，故選：D3.已知隨機變量，則的值約為（）附：若，則，，A. B. C. D.【答案】A【詳解】由題意知隨機變量，故，故，故選：A4.若直線與曲線相切，則實數的值為（）A.0 B. C. D.【答案】C【詳解】解：設直線與曲線的切點，由于直線斜率為，則，又，所以，得，所以則切點為，切線方程為，所以.故選：C.5.阻尼器是一種以提供阻力達到減震效果的專業工程裝置．我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“鎮樓神器”，如圖1由物理學知識可知，某阻尼器的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移y(m)和時間t(s)的函數關系為，如圖2，若該阻尼器在擺動過程中連續三次到達同一位置的時間分別為，且，，則在一個周期內阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時間為（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】因為，，所以，又，所以，所以，由可得，所以，，，所以在一個周期內阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時間為.故選：D.6.已知橢圓的左右焦點分別，左頂點為A，上頂點為B，點P為橢圓上一點，且，若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【詳解】由題知：，因為，所以，整理得，所以，得，.故選：A7.已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，P為上底面圓的圓心，AB為下底面圓的直徑，E為下底面圓周上一點，則三棱錐P-ABE外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【詳解】由題，由圓的性質，為直角三角形，，如圖所示，設外接球半徑為R，底面圓心為Q，外接球球心為O，由外接球的定義，，易得O在線段PQ上，又圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，所以底面圓半徑，∵，則，解得，∴外接球表面積為，故選：B．8.已知函數，任意，滿足，且，則的值為（）A. B.0 C.2 D.4【答案】C【詳解】令，，則，所以；令，，則，所以；令，則，所以，.令，，則①，令，，則②，令，，則③，假設，那么由③可知，將，代入②式發現與矛盾，所以不成立，.同理可得當x為偶數時，.所以原式=.故選：C.二、選擇題本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，請把答案填涂在答題卡相應位置上全部選對得5分，部分選對得2分，不選或有錯選的得0分．9.已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列選項中，的充分條件有（）A. B.C. D.【答案】BC【詳解】解：A選項不是的一個充分條件，兩個平面垂直，兩條直線分別平行和垂直于平面，直線可能垂直，可能平行或異面，故A錯誤；B選項因為，且，所以，又因為，所以，故B正確；C選項因為，，又因為，所以，故C正確；D選項不是的一個充分條件，兩個平面垂直，兩條直線分別平行于平面，直線可能垂直，可能平行或異面，故D錯誤；故選：BC．10.已知，則（）A. B.C. D.【答案】AC【詳解】對A，，A正確；對B，，∵，∴，不等式不一定成立，B錯誤；對C，，∵，∴，不等式成立，C正確；對D，，所以，不等式不成立，D錯誤；故選：AC．11.已知直線，點，圓心為的動圓經過點，且與直線相切，則（）A.點的軌跡為拋物線B.圓面積最小值為C.當圓被軸截得的弦長為時，圓的半徑為D.存在點，使得，其中為坐標原點【答案】ACD【詳解】對于A，由題意知：點到點與到定直線的距離相等，且點不在直線上，符合拋物線定義，點的軌跡為拋物線，A正確；對于B，由A知，點的軌跡為拋物線，則當為坐標原點時，點到直線距離最小，即此時圓的半徑最小，即，圓面積的最小值為，B錯誤；對于C，由A得：點的軌跡方程為，設，則圓的半徑，點到軸的距離，，解得：，圓的半徑，C正確；對于D，假設存在點，使得，設，則，整理可得：，解得：，，或，D正確故選：ACD.12.已知函數，則（）A.在上單調遞增 B.存在，使得函數為奇函數C.函數有且僅有2個零點 D.任意，【答案】ABD【詳解】A：因為，所以，，因此，故，所以在上單調遞增，故A正確；B：令，則，令，定義域為，關于原點對稱，且，故為奇函數，B正確C：時，，時，，時，，所以只有1個零點，C錯誤；D：時，；時，；時，；D正確；故選：ABD三、填空題本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把答案填寫在答題卡相應位置上．13.展開式中的系數為__________．【答案】14.【詳解】，在中，的項系數為，對的項系數為，∴的系數為．14.雙曲線右焦點為F，點P，Q在雙曲線上，且關于原點對稱．若，則的面積為______________．【答案】4【詳解】因為雙曲線的方程為，所以，，，設其左焦點為，右焦點因為，關于原點對稱，所以，又由雙曲線的對稱性可得，由雙曲線的定義可得,所以，又，所以，所以，故答案為：4.15.如圖是構造無理數的一種方法：線段；第一步，以線段為直角邊作直角三角形，其中；第二步，以為直角邊作直角三角形，其中；第三步，以為直角邊作直角三角形，其中；．．．，如此延續下去，可以得到長度為無理數的一系列線段，如，，．．．，則____________．【答案】【詳解】解：由題可知所以，，，，所以，所以故答案為：.16.若函數在上存在唯一的零點，函數在上存在唯一的零點，且，則實數的取值范圍為_____________．【答案】【詳解】恒成立，單調遞增，又在上存在唯一的零點，，即，解得：；，又，當時，；當時，；在上單調遞減，在上單調遞增，又，，，，即，解得：；綜上所述：實數的取值范圍為.故答案為：.四、解答題本大題共6小題，共70分．請在答題-卡指定區域內作答，解答時應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．17.在平面四邊形ABCD中，∠ABD=45°，AB=6，AD=，對角線AC與BD交于點E，且AE=EC，DE=2BE．（1）求的長；（2）求cos∠ADC的值．【答案】（1）（2）【小問1詳解】中，，又∠ABD=45°，AB=6，AD=，所以解得；【小問2詳解】因為，AB=6，AD=，所以，所以；又，所以中，，所以所以，所以，所以；中，由余弦定理可得，又，，，所以所以，由正弦定理可得，所以，所以所以18.已知數列中，，且數列為等差數列，．（1）求數列的通項公式；（2）設數列的前n項和為，證明：【答案】（1）（2）證明見解析【小問1詳解】，所以時，，所以【小問2詳解】，所以19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PA⊥平面ABCD，M為PC中點．

（1）求證：PA∥平面MBD；（2）若AB=AD=PA=2，∠BAD=120°，求二面角B-AM-D的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【小問1詳解】連接AC交BD于點O，連接OM，可知O為AC中點，M為PC中點，所以OM∥PA，且平面，平面，所以PA∥平面MBD.【小問2詳解】由題意可得平行四邊形ABCD為菱形，建立如圖坐標系，如下圖：在菱形ABCD，AB=AD=2，∠BAD=120°，，所以：，所以，，，，設平面MBA的法向量，則，得，令，則則面MBA的法向量，同理可得：平面MDA的法向量，所以，所以故二面角的正弦值為.20.某高校男、女學生人數基本相當，為了解該校英語四級考試情況，隨機抽取了該校首次參加英語四級考試的男、女各50名學生的成績，情況如下表：合格不合格男生3515女生455（1）是否有99%的把握認為該校首次參加英語四級考試的學生能否合格與性別有關？（2）從這50名男生中任意選2人，求這2人中合格人數的概率分布及數學期望；（3）將抽取的這100名學生合格的頻率視為該校首次參加英語四級考試的每位學生合格的概率．若學生首次考試不合格，則經過一段時間的努力，第二次參加考試合格的概率會增加0.1．從該校學生中任意抽取2名學生，求至多兩次英語四級考試后，這兩人全部合格的概率．參考公式和數據：，．附表：【答案】（1）沒有99%的把握認為該校首次參加英語四級考試的學生能否合格與性別有關；（2）分布列見解析；期望為（3）0.9604【小問1詳解】因為，又，，，，所以，又，，所以沒有99%的把握認為該校首次參加英語四級考試的學生能否合格與性別有關；【小問2詳解】由已知的取值有0，1，2，，，，所以概率分布為：012所以；【小問3詳解】由已知該校學生首次參加英語四級考試成績合格的概率為，首次不合格第二次合格的概率為，所以兩位同學都首次參加英語四級考試成績合格的概率為，即，兩位同學其中一位首次合格，另一位同學首次不合格，第二次合格的概率為，即，兩位同學都首次不合格，第二次都合格的概率為，即，所以至多兩次英語四級考試后，這兩人全部合格的概率為.21.已知拋物線C：的焦點為F，過點P(0，2)的動直線l與拋物線相交于A，B兩點．當l經過點F時，點A恰好為線段PF中點．（1）求p的值；（2）是否存在定點T，使得為常數？若存在，求出點T的坐標及該常數；若不存在，說明理由．【答案】（1）（2）存在；，【小問1詳解】因為，且點A恰好為線段PF中點，所以，又因為A在拋物線上，所以，即，解得【小問2詳解】設，可知直線l斜率存在；設l：，聯立方程得：，所以，所以，又：，令，解之得：，即，此時(2)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．22.已知函數（1）若，求函數的單調區間；（2）若任意，