第1章二次函數(shù)（單元測(cè)試·拔尖卷）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．關(guān)于x的函數(shù)是二次函數(shù)的條件是（）A． B． C． D．2．已知拋物線，若點(diǎn)都在該拋物線上，則的大小關(guān)系是（）A．B．C． D．3．已知二次函數(shù)，且，則圖象一定經(jīng)過（

）象限．A．三、四 B．一、三、四 C．一、二、三、四D．二、三、四4．二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列各式正確的是（

）

A． B． C． D．5．同一坐標(biāo)系中，二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

6．坐標(biāo)平面上有一水平線與二次函數(shù)的圖形，其中為一正數(shù)，且與二次函數(shù)圖象相交于、兩點(diǎn)，其位置如圖所示．若：：，則的長(zhǎng)度為（）A．17 B．19 C．21 D．247．將拋物線先向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，得到拋物線的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式是（）A．B．C． D．8．如圖，拋物線與直線交于兩點(diǎn)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．或9．對(duì)于每個(gè)非零自然數(shù)，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，以表示這兩點(diǎn)間的距離，則的值是（

）A． B． C． D．10．如圖，要圍一個(gè)矩形菜園，共中一邊是墻，且的長(zhǎng)不能超過，其余的三邊用籬笆，且這三邊的和為．有下列結(jié)論：①的長(zhǎng)可以為；②的長(zhǎng)有兩個(gè)不同的值滿足菜園面積為；③菜園面積的最大值為．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）

A．0 B．1 C．2 D．3填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．二次函數(shù)的對(duì)稱軸是直線．12．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．13．二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則代數(shù)式的值為．14．拋物線關(guān)于軸對(duì)稱的拋物線的解析式是；15．已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是．16．如圖，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象相交于，兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式的解集為．

17．如圖，已知二次函數(shù)（，為常數(shù)，且）的圖像與軸交于，兩點(diǎn)，若線段的長(zhǎng)為4，則的值是．

18．如圖，二次函數(shù)的圖像與軸的交于與點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是．（填序號(hào)）

①②③拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是④若點(diǎn)，，在拋物線上，則⑤一元二次方程的三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）以下是某同學(xué)將二次函數(shù)改寫成形式的部分運(yùn)算過程：解：第①步第②步第③步……（1）上面的運(yùn)算過程中，從第_______步開始出現(xiàn)了錯(cuò)誤．（2）請(qǐng)你寫出正確的解答過程．20．（8分）已知二次函數(shù)的圖象為拋物線C．（1）拋物線C頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）當(dāng)時(shí)，求該二次函數(shù)的函數(shù)值y的取值范圍；（3）將拋物線C先向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線，求出拋物線的解析式．21．（10分）已知拋物線，求：（1）這條拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)x取什么值時(shí)，？（3）當(dāng)x取什么值時(shí)，y隨x的增大而減??？22．（10分）我國(guó)互聯(lián)網(wǎng)發(fā)展走到了世界的前列，尤其是電子商務(wù)．據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，天貓超市在銷售一種進(jìn)價(jià)為每件40元的護(hù)眼臺(tái)燈中發(fā)現(xiàn)：每月銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）設(shè)每月獲得利潤(rùn)為w（元），當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月獲得最大利潤(rùn)？（2）如果每月獲得8000元的利潤(rùn)，那么銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？；（3）由于市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)激烈，這種護(hù)眼燈的銷售單價(jià)不得高于75元，如果要每月銷售單價(jià)不低于60元，那么每月成本最少需要多少元？23．（10分）已知拋物線．（1）求拋物線的對(duì)稱軸（用含的代數(shù)式表示）；（2）若點(diǎn)，在該拋物線上，試比較的大??；（3）已知點(diǎn)，，若該拋物線與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍．24．（12分）綜合與探究如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，與軸交于另一點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，連接、，求的面積．參考答案1．B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，形如這樣的函數(shù)是二次函數(shù)，其中a、b、c是常數(shù)，直接求解即可得到答案．解：當(dāng)，即，則是二次函數(shù)．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)的條件，知道二次函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)不為0是關(guān)鍵．2．D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，再利用二次函數(shù)的增減性可判斷y值的大小．解：∵，∴拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線，∵點(diǎn)都在該拋物線上，，∴，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，解題的關(guān)鍵是熟記二次函數(shù)的增減性．3．A【分析】根據(jù)，，，可以判斷二次函數(shù)的開口向下，二次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸，且二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為原點(diǎn)，由此即可判斷二次函數(shù)圖像經(jīng)過的象限．解：∵二次函數(shù)中，，，∴二次函數(shù)的解析式為，二次函數(shù)的開口向下，二次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸，∴二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c），在y軸負(fù)半軸，∴二次函數(shù)的圖象經(jīng)過三、四象限；故選A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系．4．C【分析】由圖知，，對(duì)稱軸，得，，；時(shí)，；時(shí)，，變形求解．解：由圖知，，對(duì)稱軸，得，，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；時(shí)，，故B錯(cuò)誤；時(shí)，，得，故C正確；故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)的解析式，圖象性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將圖象信息轉(zhuǎn)化為數(shù)量信息是解題的關(guān)鍵．5．D【分析】可先根據(jù)一次函數(shù)的圖象判斷a，b的符號(hào)，再判斷二次函數(shù)圖象與實(shí)際是否相符，判斷正誤．解：A、由一次函數(shù)的圖象可得：兩個(gè)a的符號(hào)不一致，故錯(cuò)誤；B、由一次函數(shù)的圖象可得：，此時(shí)二次函數(shù)的頂點(diǎn)，，矛盾，故錯(cuò)誤；C、由一次函數(shù)的圖象可得：，由其與y軸的交點(diǎn)可知，矛盾，故錯(cuò)誤；D、由一次函數(shù)的圖象可得：，此時(shí)二次函數(shù)的頂點(diǎn)，，故正確；故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象，應(yīng)該熟記一次函數(shù)在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)等．6．C【分析】根據(jù)對(duì)稱軸，結(jié)合即可求解．解：設(shè)對(duì)稱軸與交于點(diǎn)．.，．對(duì)稱軸，．，：：．：：：：．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，結(jié)合圖形，找到線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．7．C【分析】根據(jù)拋物線的平移規(guī)律：上加下減，左加右減解答即可．解：將拋物線先向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，得到拋物線的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式是，故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律：上加下減，左加右減是解題的關(guān)鍵．8．D【分析】觀察兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系，即可得出結(jié)論．解：∵拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，由圖可知：拋物線在直線上方時(shí)，x的范圍是：或，即的解集是或，故選D．【點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)與不等式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．9．B【分析】通過解方程得，，則兩點(diǎn)為，，所以，則，然后進(jìn)行分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算即可．解：當(dāng)時(shí)，，，解得，，∴兩點(diǎn)為，，∴，∴．故選∶B．【點(diǎn)撥】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．10．C【分析】設(shè)的長(zhǎng)為，矩形的面積為，則的長(zhǎng)為，根據(jù)矩形的面積公式列二次函數(shù)解析式，再分別根據(jù)的長(zhǎng)不能超過，二次函數(shù)的最值，解一元二次方程求解即可．解：設(shè)的長(zhǎng)為，矩形的面積為，則的長(zhǎng)為，由題意得，其中，即，①的長(zhǎng)不可以為，原說法錯(cuò)誤；③菜園面積的最大值為，原說法正確；②當(dāng)時(shí)，解得或，∴的長(zhǎng)有兩個(gè)不同的值滿足菜園面積為，說法正確；綜上，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是2個(gè)，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解一元二次方程，準(zhǔn)確理解題意，列出二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．11．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線計(jì)算即可．解：已知二次函數(shù)，，所以對(duì)稱軸為直線．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線是解題的關(guān)鍵．12．【分析】根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為直接寫出即可．解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，故答案為．【點(diǎn)撥】本題考查拋物線的頂點(diǎn)求解方法，掌握拋物線的頂點(diǎn)求解方法是解題的關(guān)鍵．13．【分析】把代入函數(shù)解析式，即可求解．解：把代入函數(shù)解析式，得，，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了坐標(biāo)與圖形，代數(shù)式求值問題，熟練掌握和運(yùn)用坐標(biāo)與圖形的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．14．【分析】由關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的特點(diǎn)是：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，可直接得出答案．解：∵拋物線的圖象上的點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱后橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，∴得到的拋物線的解析式是，故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，解題的關(guān)鍵是抓住關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征．15．【分析】將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，根據(jù)拋物線開口方向及頂點(diǎn)坐標(biāo)求解．解：，拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，將代入得，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．掌握二次函數(shù)與不等式的關(guān)系．16．【分析】找到二次函數(shù)的圖象在一次函數(shù)的圖象下方的部分對(duì)應(yīng)的x的值即可．解：由圖象可知，關(guān)于x的不等式的解集為，故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，利用交點(diǎn)求不等式的解集，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)D象在下方的部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)值較?。?7．12【分析】先求出拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再根據(jù)線段的長(zhǎng)為4，列出方程求解即可．解：令，則，解得，∵線段的長(zhǎng)為4，∴，∴，解得：，故答案為：12．【點(diǎn)撥】本題主要考查了二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的問題，正確求出拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．18．①③④【分析】根據(jù)函數(shù)圖像可得，，對(duì)稱軸為直線，由此可判定①；根據(jù)圖示，令，函數(shù)值小于零可判定②；根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)與對(duì)稱軸可判定③；根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸，增減性可判定④；根據(jù)圖像確定二次函數(shù)系數(shù)的符號(hào)可判定⑤；由此即可求解．解：二次函數(shù)的圖像與軸的交于與點(diǎn)，且對(duì)稱軸為，∴點(diǎn)，，且，，∴，∴結(jié)論①，∵，∴，故結(jié)論①正確；結(jié)論②，根據(jù)圖示，當(dāng)時(shí)，，故結(jié)論②錯(cuò)誤；結(jié)論③拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是，∵，對(duì)稱軸為，∴，故結(jié)論③正確；結(jié)論④若點(diǎn)，，在拋物線上，則，∵對(duì)稱軸為，∴當(dāng)與時(shí)的函數(shù)值相等，即，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，∵，∴，∴，故結(jié)論④正確；結(jié)論⑤一元二次方程的，∵，，，且，∴，，∴，故結(jié)論⑤錯(cuò)誤；綜上所述，正確的有①③④，故答案為：①③④．【點(diǎn)撥】本題主要考查二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，掌握根據(jù)圖像判定系數(shù)的符合，函數(shù)值的大小，函數(shù)的增減性等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．19．（1）②；（2）【分析】（1）由第②步前面的系數(shù)丟了，所以出現(xiàn)錯(cuò)誤；（2）把第二步改為，再配方即可．（1）解：上面的運(yùn)算過程中，從第②步開始出現(xiàn)了錯(cuò)誤（2）解：．【點(diǎn)撥】本題考查的是利用配方法把二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，熟記配方法的步驟是解本題的關(guān)鍵．20．（1）；（2）；（3）【分析】（1）把拋物線解析式化為頂點(diǎn)式可求得拋物線C的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出答案；（3）根據(jù)平移規(guī)律：上加下減，左加右減，直接寫出平移后的解析式．（1）解：，∴拋物線C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；故答案為：（2）解：∵，，∴拋物線開口向上，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，該二次函數(shù)的函數(shù)值y的取值最小，最小值為1；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的函數(shù)值y的取值范圍為；（3）解：∵將拋物線C先向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線，且拋物線C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴拋物線的解析式為．【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，平移的規(guī)律，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（1）拋物線的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）或；（3）【分析】（1）把解析式化為頂點(diǎn)式即可得到答案；（2）求出拋物線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，再利用增減性求解即可；（3）根據(jù)（2）即可得到答案．（1）解：∵拋物線解析式為，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）解：當(dāng)時(shí)，則，解得或，∵，∴拋物線開口向上，在對(duì)稱軸左側(cè)y隨x增大而減小，在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x增大而增大，∴當(dāng)或時(shí)；（3）解：由（2）可得當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。军c(diǎn)撥】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與不等式之間的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．22．（1）當(dāng)銷售單價(jià)定為70元時(shí)，每月獲得最大利潤(rùn)；（2）如果每月獲得8000元的利潤(rùn)，那么銷售單價(jià)應(yīng)定為60元或80元；（3）每月成本最少需要10000元．【分析】（1）設(shè)，把代入即可求出一次函數(shù)的解析式，再根據(jù)總利潤(rùn)=單件的利潤(rùn)×件數(shù)即可求出每月獲得利潤(rùn)（元）關(guān)于銷售單價(jià)（元）的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）當(dāng)時(shí)，得到，解一元二次方程即可求解；（3）求出x的取值范圍，設(shè)成本為S，根據(jù)成本=進(jìn)價(jià)×銷售量，即可求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，然后利用一次函數(shù)的增減性即可求出S的最小值．（1）解：設(shè)，把代入可得，解得；∴，，∵，拋物線的開口向下，二次函數(shù)有最大值，∴當(dāng)時(shí)，w有最大值為元，∴當(dāng)銷售單價(jià)定為70元時(shí)，每月獲得最大利潤(rùn)；（2）解：當(dāng)時(shí)，則，解得：，；答：如果每月獲得8000元的利潤(rùn)，那么銷售單價(jià)應(yīng)定為60元或80元；（3）解：設(shè)成本為S，依題意得：，∴，∵，∴S隨x增大而減小，∴時(shí)，S有最小值為10000元，答：每月成本最少需要10000元．【點(diǎn)撥】此題考查的是二次函數(shù)與一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和實(shí)際問題中的等量關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵．23．（1