2022屆北京中學(xué)高三（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題。本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選

出符合題目要求的一項(xiàng).

1.(5分)已知集合A={x€Z|』W9},B={#v>-2},則AAB=()

A.{0,1,2,3}B.{1,2,3}C.{-b0,1,2,3}D.{x|-2<xW3}

2.(5分)實(shí)數(shù)相，"滿足，貝!]()

]]_____

A.--m-V——nB.y/m—y/n<y/m-n

C.(i)m>(1)nD.i^<mn

3.(5分)從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同

的選法共有()

A.12種B.16種C.20種D.24種

4.(5分)函數(shù)/(x)=-x^+2x+b2-b+\（左R）,當(dāng)1］時(shí)，/（x）>0恒成立，則

匕的取值范圍是（）

A.(-1,0)B.(2,+°°)

C.(-8,-1)U(2,+8)D.不能確定

5.（5分）設(shè)語(yǔ)句甲：“事件A與事件8是對(duì)立事件”，語(yǔ)句乙：“P（A）+P（B）=1"，則

甲是乙的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.（5分）已知（7+|尸的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為243,則展開(kāi)式中/的系數(shù)為（）

A.5B.40C.20D.10

7.（5分）已知盒中裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球、5個(gè)黑球，它們大小形狀完全相同，現(xiàn)需一

個(gè)紅球，甲每次從中任取一個(gè)不放回，在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球

的概率（）

3132

A.—B.-C.-D.一

10389

8.（5分）通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)110名性別不同的學(xué)生是否愛(ài)好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：

男女總計(jì)

愛(ài)好402060

不愛(ài)好203050

總計(jì)6050110

得到的正確結(jié)論是（）

參考數(shù)據(jù)

P（心0.150.100.050.0250.0100.005

公）

也2.0722.7063.8415.0246.6357.879

2

參考公式：片:向忌猊％E，其中〃

A.有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”

B.有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”

C.有95%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”

D.有95%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”

9.（5分）若&=粵，b=竽，c=萼，則（）

A.a<b<cB.c<h<aC.c<a<bD.h<a<c

10.（5分）安排3名志愿者完成5項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作至少由1人完成，

則不同的安排方式共有多少種（）

A.120種B.180和1C.240種D.150種

二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.

11.（5分）在（石―》3的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是.

12.（5分）已知隨機(jī)變量X?N（l,。2）,若p（x>0）=0.8,則P（X22）=.

13.（5分）一個(gè)盒子中有6只白球、4只黑球，從中不放回地每次任取1只，連取2次，則

第二次取到白球的概率是.

14.（5分）下列說(shuō)法：

①在殘差圖中，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，說(shuō)明選用的模型比較合適；

②用相關(guān)指數(shù)網(wǎng)來(lái)刻畫(huà)回歸的效果，網(wǎng)值越接近于1,說(shuō)明模型的擬合效果越好；

③比較兩個(gè)模型的擬合效果.可以比較殘差平方和的大小，殘差平方和越大的模型，擬

合效果越好；

④通過(guò)回歸直線方程y=bx+a可以估計(jì)預(yù)報(bào)變量的取值和變化趨勢(shì).

其中正確的有(寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)).

15.(5分)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,則x+3y的最小值為.

16.(5分)若指數(shù)函數(shù)y=d(a>0且與三次函數(shù)y=F的圖象恰好有兩個(gè)不同的交

點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

三、解答題。共5小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。

17.(13分)已知函數(shù)/(x)—ax1-(a+2)x+2,a&R.

(I)若a=l,求/(x)>0的解集；

(II)若/(x)<3-2x對(duì)Vx€R恒成立，求a的取值范圍.

18.(13分)函數(shù)f(x)=ar+x/nx在x=l處取得極值.

(1)求證：f(x)+120恒成立;

(2)若y=f(x)-1在g,+8)內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

19.(14分)某市市民用水?dāng)M實(shí)行階梯水價(jià)，每人月用水量不超過(guò)w立方米的部分按4元/

立方米收費(fèi)，超出w立方米的部分按10元/立方米收費(fèi)，從該市隨機(jī)調(diào)查了100位市民，

獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖，并且前四組頻數(shù)成等差

數(shù)列.

(1)求a,b,c的值；

(2)根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民月用水價(jià)格為4元/立方米，應(yīng)將w定為多少？

(精確到小數(shù)點(diǎn)后2位)

(3)若將頻率視為概率，現(xiàn)從該市隨機(jī)調(diào)查3名居民的月用水量，將月用水量不超過(guò)2.5

立方米的人數(shù)記為X,求P(XW2)的概率.

20.(15分)已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過(guò)檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)一

件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束.

(1)求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率；

(ID已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)X表示直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出

3件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用(單位：元)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望)

1

21.(15分)已知函數(shù)=e"—+2工2,其中。＞-1

(1)當(dāng)。=0時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

(2)當(dāng)。=1時(shí)，求函數(shù)/G)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若f(%)N+%+b對(duì)于xER恒成立，求6-〃的最大值.

2022屆北京中學(xué)高三(上)入學(xué)數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題。本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選

出符合題目要求的一項(xiàng).

1.(5分)已知集合4={在2叢<9},H={x\x>-2},則ACB=()

A.{0,1,2,3}B.{I,2,3}C.{-1,0,1,2,3}D.{x|-2<xW3}

【解答】解：：A={xeZ|-3WxW3}={-3,-2,-1,0,1,2,3},B={x|x>-2},

."("18={-1,0,1,2,3).

故選：C.

2.(5分)實(shí)數(shù)nz,"滿足，貝lj()

1]______

A.--m-V---nB.y/rn—Vn<7械一■

C.(i)m>(1)nD.n^<mn

【解答】解：對(duì)于A,故錯(cuò)誤；

對(duì)于8,平方得：m+n-2yjmn<m-n,

故nVyjmn,故小故8正確；

對(duì)于C,函數(shù))，=&尸是減函數(shù)，故C錯(cuò)誤，

對(duì)于。，w2-mn=mCm-?)>0,故序>〃〃2,故/)錯(cuò)誤，

故選：B.

3.(5分)從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同

的選法共有()

A.12種B.16種C.20種D.24種

【解答】解：從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，所有的方法有/=20利

其中沒(méi)有女生入選的方法有尊=4種，

故至少有1位女生入選的方法有20-4=16種，

故選：B.

4.(5分)函數(shù)/(X)=-jr+2x+b2-b+\(/?GR),當(dāng)1,1]時(shí)，f(x)>0恒成立，則

b的取值范圍是()

A.(-1,0)B.(2,+8)

C.(-8,-1)u(2,+8)D.不能確定

【解答】解：???函數(shù)f(x)=-/+2彳+廿-匕+1(86R)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x=l,

當(dāng)xW[-1,1]時(shí),/(x)>0恒成立，f(x)的最小值為1(-1)=廿一人-2,

...廿-6-2>0,-1或Q2,則6的取值范圍為(-8,-1)u(2,+8).

故選：C.

5.(5分)設(shè)語(yǔ)句甲：”事件A與事件8是對(duì)立事件”，語(yǔ)句乙：“P(A)+P(B)=1"，則

甲是乙的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：若事件A與事件8是對(duì)立事件，則AUB為必然事件，

再由概率的加法公式得尸(A)+P(B)=1.

設(shè)擲一枚硬幣3次，事件A：“至少出現(xiàn)一次正面”，事件8：“3次出現(xiàn)正面”，則P(A)

7,、1

=op?P(B)o=五,

滿足P(A)+P(8)=1,

但A、8不是對(duì)立事件.

甲是乙的充分不必要條件

故選：A.

6.(5分)已知(爐+|產(chǎn)的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為243,則展開(kāi)式中P的系數(shù)為()

A.5B.40C.20D.10

【解答】解：由(爐+,產(chǎn)的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為243,

得3"=243,即〃=5,

，(爐+$-(爐+令5,

由T-i=G.(x3)5-r.(夕=2r--x15~4r,

取15-4r=7,得r=2,

二展開(kāi)式中?的系數(shù)為22x量=40.

故選:B.

7.(5分)已知盒中裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球、5個(gè)黑球，它們大小形狀完全相同，現(xiàn)需一

個(gè)紅球，甲每次從中任取一個(gè)不放回，在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球

的概率（）

【解答】解：設(shè)“第一次拿到白球”為事件A,“第二次拿到紅球”為事件3

21131

:?P（A）=而=耳，P=耳乂3=正

工

則所求概率為尸（B|A）=餐祟=卒另

參考數(shù)據(jù)

P（片》0.150.100.050.0250.0100.005

fe）

氐2.0722.7063.8415.0246.6357.879

2

參考公式：產(chǎn)=舟威品為（閑y其中〃="+>，+&

A.有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”

B.有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”

C.有95%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”

D.有95%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”

,、2

【解答】解：.??=吟然部越普=7.822>6.635,

???有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)

故選：A.

9.（5分）若。=粵，b=竽，?=萼，則（）

A.a〈b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b〈a<c

【解答】解：???"、=詈—詈

2ln3-3ln2In9—ln8、八

=6—二—^2

：.cC>b,

..ln3ln5m243—"125y

.”-，=丁一丁=----15-------2

...In2ln5In32—ln25、八

'b-c=-^—=一io—2

：.b>c,

故c<b〈a,

故選：B.

10.（5分）安排3名志愿者完成5項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作至少由1人完成，

則不同的安排方式共有多少種（）

A.120種B.180種C.240種D.150種

【解答】解：第一步：將五項(xiàng)工作分成三組有兩類(lèi)方案：一是2,2,1；二是3,1,1.故

共有它+竽=25種分組方案；

第二步：將三組工作分給三個(gè)人有a=6種方法；

故共有25X6=150（種）

故選：D.

二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.

11.（5分）在（?—令3的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是-6.

【解答】解：展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)r+i=G?（a）3f.（一V=C'（-2）rX-,

3—3r

令一^一=0,解得r=l,

所以常數(shù)項(xiàng)為C2（一2）1=-6,

故答案為：-6.

12.（5分）已知隨機(jī)變量X?N（1,。2）,若尸（x>0）=0.8,則P（X22）=0.2.

【解答】解：隨機(jī)變量E服從正態(tài)分布N（1,。2）,

，曲線關(guān)于x=l對(duì)稱(chēng)，

：.P(X22)=P(XWO)=1-P(X>0)=0.2

故答案為：0.2.

13.（5分）一個(gè)盒子中有6只白球、4只黑球，從中不放回地每次任取1只，連取2次，則

3

第二次取到白球的概率是~.

【解答】解：根據(jù)題意，第一次取到白球，第二次也取到白球的概率為尸產(chǎn)磊x|=g,

第一次取到黑球，第二次取到白球的概率為22=志x於2，

所以第二次取到白球的概率為P=Pi+P2=|+^=|.

3

故答案為：—.

14.（5分）下列說(shuō)法：

①在殘差圖中，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，說(shuō)明選用的模型比較合適；

②用相關(guān)指數(shù)R2來(lái)刻畫(huà)回歸的效果，R2值越接近于］,說(shuō)明模型的擬合效果越好；

③比較兩個(gè)模型的擬合效果.可以比較殘差平方和的大小，殘差平方和越大的模型，擬

合效果越好；

④通過(guò)回歸直線方程y=bx+a可以估計(jì)預(yù)報(bào)變量的取值和變化趨勢(shì).

其中正確的有①②④（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）.

【解答】解：對(duì)于①，在殘差圖中，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，說(shuō)明選

用的模型比較合適，故①正確；

對(duì)于②，用相關(guān)指數(shù)號(hào)來(lái)刻畫(huà)回歸的效果，*值越接近于1,說(shuō)明模型的擬合效果越好，

故②正確；

對(duì)于③，比較兩個(gè)模型的擬合效果.可以比較殘差平方和的大小，殘差平方和越小的模

型，擬合效果越好，故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，通過(guò)回歸直線方程y=bx+a可以估計(jì)預(yù)報(bào)變量的取值和變化趨勢(shì)，故④正確.

故答案為：①②④.

15.(5分)已知x>0,y>0,x+3y+q=9,則x+3y的最小值為6.

【解答】解：由于x>0,y>0,x+3y+xy=9,

1

貝ij9-(x+3y)=xy=xx3y,

11(x+3y)2

-xxx3y<-x------,

3,34

當(dāng)且僅當(dāng)x=3y時(shí),取

貝匹匕時(shí)產(chǎn)+及+孫=9,

（x=3y

由于x>0,y>0,解得t；：，

故x+3y=6

故答案為6.

16.（5分）若指數(shù)函數(shù)y="（a>0且與三次函數(shù)y：%3的圖象恰好有兩個(gè)不同的交

3

點(diǎn)，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是（1,〃）.

【解答】解：函數(shù)y=/在（-8,+8）上單調(diào)遞增，在（-8,o）±y<0,在（0,

+°°）上y>0,

當(dāng)OVaVl時(shí)，y=a"在（-8,+8）上單調(diào)遞減，且y>0

所以兩個(gè)函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，

當(dāng)時(shí)，y=/在（-8,+oo）上單調(diào)遞增，且）>0,

所以只能是在（0,+°°）上函數(shù)y=",與y=/有兩個(gè)交點(diǎn)，

即在（0,+8）上，方程/=/有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，

所以在（0,+8）上，方程"”=等有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，

令g（x）=等，（x>0）

,）_3（1-fax）

gW-x2'

在（0,e）上，g'（x）>0,g（x）單調(diào)遞增，

在（e,+8）上，g1（x）<0,g（x）單調(diào)遞減，

所以g（X）min=g（e）==株”,

3

所以O(shè)V/〃aV/〃e0,

3

所以\<a<ee.

3

故答案為：（1,ee）

三、解答題。共5小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。

17.（13分）已知函數(shù)/（X）=ajr-（a+2）x+2,aER.

（I）若。=1,求/（x）>0的解集；

（II）若f（x）V3-2x對(duì)VxWR恒成立，求a的取值范圍.

【解答】解：(I)若。=1,因?yàn)?(公>0,

所以7-3X+2>0,即(x-1)(%-2)>0,

解得x<l或x>2,

即/(%)>0的解集為(-8,1)u(2,+8).

(II)由/(x)<3-2%恒成立，

即ox2-(a+2)x+2<3-2x恒成立，

可得ox2-公-i<o恒成立，

當(dāng)。=0時(shí)，-1<0恒成立，滿足題意；

當(dāng)aWO時(shí)，要使―-ax-1<0恒成立，則卜,

(△<0

即『〈°,解得-4<a<0.

(a2+4a<0

綜上，可得實(shí)數(shù)。的取值范圍是(-4,0J.

18.(13分)函數(shù)/(X)=方+旦/吠在無(wú)=1處取得極值.

(1)求證：/(%)+120恒成立；

(2)若y=/(x)-"?-1在g,+8)內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【解答】解：(1)證明：f(%)=a+/〃x+l,

..,函數(shù)/(x)=ax+x加x在x=l處取得極值，

/./(1)=a+l=0,解得Q=-1,

經(jīng)過(guò)驗(yàn)證滿足題意.

A/(x)=xlnx-x,xE(0,+°°).

f(x)=lnx+\-\=lnx,

可得函數(shù)/co在(o,i)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增.

???x=l時(shí)函數(shù)/G)取得極小值即最小值.

：.f(x)+12/(1)+1=0-1+1=0,

：.f(x)+120恒成立.

(2)y=f(x)-"?-1在g，+8)內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)=函數(shù)f(x)與函數(shù)y=/〃+l的

圖象在弓，+8)內(nèi)有兩個(gè)不同交點(diǎn)，

由(1)可得：函數(shù)/(X)在弓，1)內(nèi)單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增.

又1/(1)=-1,f(-1)=2f(e02)=^02>0,

771

/.-1<///+1<-即-2VmW---1時(shí)，函數(shù)/(x)與函數(shù)y=m+l的圖象在,+co)

內(nèi)有兩個(gè)不同交點(diǎn).

二機(jī)的取值范圍是(-2,-|一1].

19.(14分)某市市民用水?dāng)M實(shí)行階梯水價(jià)，每人月用水量不超過(guò)卬立方米的部分按4元/

立方米收費(fèi)，超出卬立方米的部分按10元/立方米收費(fèi)，從該市隨機(jī)調(diào)查了100位市民，

獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖，并且前四組頻數(shù)成等差

數(shù)列.

(1)求a,b,c的值；

(2)根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民月用水價(jià)格為4元/立方米，應(yīng)將w定為多少？

(精確到小數(shù)點(diǎn)后2位)

(3)若將頻率視為概率，現(xiàn)從該市隨機(jī)調(diào)查3名居民的月用水量，將月用水量不超過(guò)2.5

立方米的人數(shù)記為X,求P(XW2)的概率.

【解答】解：(1)???前四組頻數(shù)成等差數(shù)列，

.?.所對(duì)應(yīng)的頻率也成等差數(shù)列，

設(shè)。=0.2+4,b=0.2+2d,c=0.2+3d,

A0.5(0.2+0.2+d+0.2+2d+0.2+3d+0.2+d+0.1+0.1+0.1)=1,

解得d=Ol,<7=0.3,b=0.4,c=0.5.

(2)由圖可知，居民月用水量小于2.5的頻率為0.7V0.8,

二為使80%以上居民月用水價(jià)格為4元/立方米，

即(w-2.5)X0.3=0.1,

卬22，83.

所以W定為2.83立方米.

(3)將頻率視為概率，設(shè)A代表居民月用水量，由圖知:

P(AW2.5)=0.7,

由題意X?B(3,0.7),

PGW2)=\-P(x=3)

=1-0.73

=0.657.

故P(XW2)的概率為0.657.

20.(15分)已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過(guò)檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)一

件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束.

(I)求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率；

(II)已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)X表示直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出

3件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用(單位：元)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望)

【解答】解：(I)記“第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品”為事件A,

則P(A)=甯=條

(II)X的可能取值為：200,300,400

P(X=200)="=3.

展10

P(X=300)=—~國(guó)=10

P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=-^

X的分布列為：

X200300400

P136

1010