專題02二次函數y=ax2與y=ax2+k的圖象與性質考點類型知識串講（一）畫函數圖像(1)列表:先取原點(0,0),然后在原點兩側對稱取點;(2)描點:先把y軸右側的點描出來,然后根據對稱性描出左側的點;(3)連線:按照從左到右的順序,用平滑的曲線連接（二）二次函數y=ax2圖像性質（三）二次函數y=ax2+k圖像性質考點訓練考點1：畫函數圖像典例1：（2022春·全國·九年級專題練習）通過列表、描點、連線的方法畫函數y=-x【答案】見解析【分析】首先列表求出圖象上點的坐標，進而描點連線畫出圖象．【詳解】解：列表得：x…-3-2-10123…y…-9-4-10-1-4-9…描點、連線．【點睛】本題主要是考查了利用列表描點連線法畫二次函數圖形，熟練掌握畫函數圖像的基本步驟，是求解本題的關鍵．【變式1】（2022秋·江蘇鹽城·九年級校考階段練習）已知二次函數y=(1)畫出它的圖象；x……y……(2)當x_______時，y隨x增大而減小；(3)該函數圖象關于x軸對稱的拋物線的函數表達式是____________﹔【答案】(1)見解析(2)<1(3)y=-【分析】（1）根據列表法作出函數圖象；（2）根據函數圖象即可得出結論；（3）根據軸對稱的性質即可求解．【詳解】（1）解：列表如下，x…-2-101234…y…50-3-4-305…描點，連線如圖所示：（2）解：由圖象得，當x<1時，y的值隨x值的增大而減小，故答案為：<1；（3）解：y=x2-2x-∴該函數圖象關于x軸對稱的拋物線的函數表達式是:y=-x-1故答案為：y=-x【點睛】本題考查畫二次函數的圖象、拋物線與x軸的交點問題以及二次函數的性質，關鍵是掌握二次函數的性質．【變式2】（2022秋·河南商丘·九年級統考階段練習）已知二次函數y=x-2在給定的直角坐標系中，畫出該函數的圖象；【答案】(1)見解析【分析】（1）利用列表，描點，連線作出圖形即可；【詳解】（1）解：根據題意，列出表格，如下：x……01234……y……0-3-4-30……畫出函數圖象，如圖：【點睛】本題主要考查了畫二次函數圖象，二次函數y=ax-h2+k【變式3】（2022秋·全國·九年級專題練習）畫出函數y＝﹣x2＋1的圖象．【答案】見解析【分析】根據列表、描點連線的方法畫出二次函數圖象即可求解．【詳解】解：列表如下：x…﹣3﹣2﹣10123…y…﹣8﹣3010﹣3﹣8…描點、連線如圖．【點睛】本題考查了畫二次函數圖象，掌握y=ax考點2：二次函數y=ax2的圖像性質典例2：（2023·上海崇明·統考一模）如果拋物線y=m-2x2有最高點，那么m【答案】m<2【分析】根據二次函數y=m-2x2【詳解】解：∵拋物線y=m-2∴拋物線開口向下，∴m-2<0，∴m<2，故答案為：m<2．【點睛】此題主要考查二次函數的圖象與性質，解題的關鍵是熟知二次函數的最值與開口方向的特點．【變式1】（2022秋·湖南長沙·九年級統考期中）對于二次函數y=ax2a≠0，當x取x1，x2【答案】0【分析】先判斷出二次函數圖像對稱軸為y軸，再根據二次函數的性質判斷出x1，x【詳解】解：二次函數y=ax2的對稱軸為∵x取x1∴x1，∴x∴當x取x1+x故答案為：0．【點睛】本題主要考查了二次函數的性質，熟記性質并判斷出x1，x【變式2】（2022秋·云南昭通·九年級統考期中）已知二次函數y=ax2開口向上，且2-a=3，則【答案】5【分析】根據二次函數開口朝上，得到a>0，然后化簡2-a=3，即可求得a【詳解】∵二次函數y=ax∴a>0，∵2-a∴2-a=-3或2-a=3∴a=5或a=-1又∵a>0∴a=5．故答案為：5．【點睛】本題考查了二次函數的性質，絕對值的化簡，關鍵是根據二次函數的開口方向判斷a的正負．【變式3】（2023秋·浙江杭州·九年級統考期末）對于二次函數y=ax2和y=bx2，其自變量和函數值的兩組對應值如表所示（其中a、b均不為0，c≠1），根據二次函數圖象的相關性質可知：c=_________x1cy=anny=bn+3m【答案】-13【分析】先將表格的自變量和函數值轉化為點的坐標，然后根據函數的對稱性直接寫出每個字母的值即可．【詳解】y=ax2和y=bx可將表格中的數表示為坐標(1,n),(c,n),(1,n+3),(c,m)∵(1,n),(c,n)兩點縱坐標相等，且c≠1∴c=-1∵(1,n+3),(c,m)橫坐標關于y軸對稱∴m=n+3∴m-n=3故答案為：-1；3【點睛】此題考查二次函數的圖像和性質，解題關鍵是縱坐標相同的不同點關于對稱軸對稱．考點3：二次函數y=ax2+k的圖像性質典例3：（2022秋·九年級單元測試）已知點Ax1,y1，Bx2,y2是拋物線y=-3x2+5上的兩點，若x1<【答案】＜【分析】根據二次函數的圖象與性質可進行求解．【詳解】解：由拋物線y=-3x2+5可知：a=-3<0∴當x<0時，y隨x的增大而增大，∴當點Ax1,y1，Bx2故答案為＜．【點睛】本題主要考查二次函數的圖象與性質，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．【變式1】（2023·寧夏銀川·校考一模）已知一元二次方程x2-4x+3=0的兩個實數根分別是a和b，則拋物線y=abx【答案】0【分析】根據一元二次方程根與系數的關系求出ab和a+b的值，再代入到拋物線解析式中，再求得頂點坐標即可．【詳解】解：∵一元二次方程x2-4x+3=0的兩個實數根分別是a和∴a+b=4，則拋物線解析式為：y=3x∴拋物線頂點坐標為0，故答案為：0，【點睛】此題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根與系數的關系，熟記一元二次方程根與系數的關系：x1+【變式2】（2022秋·九年級單元測試）拋物線y=-2x2-3【答案】y軸【分析】根據二次函數的圖象與性質，即可求解．【詳解】解：拋物線y=-2x2-3故答案為：y軸．【點睛】本題考查了二次函數的圖象與性質，熟練掌握和運用二次函數的圖象與性質是解決本題的關鍵．【變式3】（2023·上海浦東新·統考二模）拋物線y=x2-2在y軸的左側部分，y的值隨著x的值增大而_____．（填“增大”或“【答案】減小【分析】先求出該拋物線的對稱軸，再根據其開口方向和增減性，即可進行解答．【詳解】解：該拋物線的對稱軸為直線x=-b即該拋物線的對稱軸為y軸，∵a=1>0，拋物線開口向上，∴在y軸的左側部分，y的值隨著x的值增大而減小．故答案為：減小．【點睛】本題主要考查了二次函數的增減性，解題的關鍵是掌握a>0時，函數開口向上，在對稱軸左邊，y隨x的增大而減小，在對稱軸右邊，y隨x的增大而增大，a<0時，函數開口向下，在對稱軸左邊，y隨x的增大而增大，在對稱軸右邊，y隨x的增大而減小．考點4：函數值的大小比較典例4：（2022秋·廣東廣州·九年級統考期末）已知點A-1,y1、B2,y2在拋物線y=2x2-1上，則y1、y2的大小關系為：y1_________【答案】<【分析】分別求出x=-1和x=2時的函數值，即可得到答案．【詳解】解：當x=-1時，y=2x2-1=2×當x=2時，y=2x2-1=2×∴y1故答案為：<．【點睛】此題考查二次函數的性質，準確計算是解題的關鍵．【變式1】（2022秋·江蘇鎮江·九年級校考階段練習）若二次函數y=-x2+3的圖像經過點-3,y1、-4,y2，y【答案】>【分析】根據拋物線y=-x2+3的開口向下，對稱軸是y軸，在對稱軸的左側，y【詳解】∵拋物線y=-x2+3的開口向下，對稱軸是y軸，在對稱軸的左側，y隨x∴y1故答案為：>．【點睛】本題考查了二次函數y=ax2+c的基本性質，對稱軸為y軸，當a>0時，開口向上，在對稱軸左側y隨x的增大而減小，在對稱軸右側y隨x的增大而增大；當a<0時，開口向下，在對稱軸左側y隨x的增大而增大，在對稱軸右側y【變式2】（2021秋·上海青浦·九年級校考期中）如果點A-3,y1和點B2,y2是拋物線y=x2+a上的兩點，那么y1______y2．（填“【答案】>【分析】根據二次函數的圖象和性質得出拋物線的對稱軸是直線x=0，拋物線的開口向上，當x<0時，y隨x的增大而減小，再比較即可．【詳解】解：∵y=x∴拋物線的對稱軸是直線x=0，拋物線的開口向上，當x<0時，y隨x的增大而減小，∵-3<-2<0，∴y故答案為：>．【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的圖象和性質等知識點，能熟記二次函數的圖象和性質的內容是解此題的關鍵．【變式3】（2022秋·吉林白城·九年級統考期中）已知點-4，y1、-1，y2、53，y3都在函數y=-x2+5【答案】y【分析】根據二次函數的解析式，得出圖象的對稱軸是y軸，再根據二次函數的性質，得出圖象開口向下，當x<0時，y隨x的增大而增大，再根據二次函數的對稱性和增減性即可得到答案．【詳解】解：∵y=-x∴二次函數圖象的對稱軸是y軸，圖象的開口向下，∴當x<0時，y隨x的增大而增大，∵-4，y1、-1，y∴點53，y3關于對稱軸的對稱點的坐標是∵-1>-5∴y2故答案為：y2【點睛】本題考查了二次函數的性質，熟練掌握二次函數的增減性是解本題的關鍵．同步過關一、單選題1．（2022秋·天津武清·九年級校考階段練習）關于二次函數y=-5x2，下列說法中正確的是（A．圖象的開口向上 B．當x<0時，y隨x的增大而增大C．圖象的頂點坐標是-5，0 D．當x=0時，y【答案】B【分析】根據題目中的函數解析式，可以寫出該函數圖象的開口方向、對稱軸、最值和頂點坐標，從而可以判斷哪個選項是符合題意的．【詳解】解：∵a=-5<0，∴圖象的開口向下，故選項A錯誤；∵b=0，∴對稱軸為y軸，當x<0時，y隨x的增大而增大，故選項B正確；圖象的頂點坐標是0，0，故選項∵拋物線開口向下，對稱軸為y軸，∴當x=0時，有最大值0，故選項D錯誤；故選：B．【點睛】本題考查了二次函數圖象的性質，熟練掌握二次函數系數與圖象的關系是解決問題的關鍵．2．（2022秋·九年級單元測試）對于函數y＝x2，下列判斷中，正確的是(

)A．若m、n互為相反數，則x＝m與x＝n對應的函數值相等B．對于同一自變量x，有兩個函數值與之對應C．對于任意一個實數y，有兩個x值與之對應D．對于任何實數x，都有y＞0【答案】A【分析】根據二次函數的對稱性，函數的定義，二次函數與不等式對各選項分析判斷即可得解．【詳解】解：A.∵函數y=x2關于y軸對稱，∴若m、n互為相反數，則x=m與x=n對應的函數值相等正確，故本選項正確，B.應為對于同一自變量x，有一個函數值與之對應，故本選項錯誤，C、對于任意一個實數y，有兩個x值與之對應錯誤，例如，x＝0時，y有唯一的值0對應，故本選項錯誤；D、x＝0時，y＝0，所以對于任何實數x，都有y＞0錯誤，故本選項錯誤．故選A．【點睛】本題考查了二次函數的性質，主要利用了二次函數的對稱性，函數的定義，是基礎題．3．（2022秋·廣東惠州·九年級校考期末）下列函數中，開口方向向上的是（）A．y=ax2 B．y=-2x2 C．【答案】C【分析】當二次函數的中二次項的系數大于0時，其開口向上，可求得答案．【詳解】解：在y=ax當a＞在y=12x2∴其開口向上，故選C．【點睛】本題考查了二次函數的性質，掌握二次函數的中二次項系數的正負決定拋物線的開口方向是解題的關鍵．4．（2023秋·河北唐山·九年級校考期末）二次函數y=x2+2A．0,2 B．0,-2 C．2,0 D．-2,0【答案】A【分析】據二次函數的性質可得拋物線開口方向、對稱軸方程和頂點坐標，從而得出答案．【詳解】解：二次函數y=x2+2故選：A．【點睛】本題主要考查二次函數的性質，掌握二次函數的頂點式是解題的關鍵，即在y=a(x-h)2+k5．（2023春·江蘇·九年級專題練習）已知二次函數y=x2-1圖象上三點：-1,y1A．y1<y3<y2 B．【答案】B【分析】把三個點的橫坐標代入求出縱坐標，比較大小即可．【詳解】解：把-1,y1,2,y所以，y1故選：B．【點睛】本題考查了比較二次函數函數值大小，解題關鍵是求出函數值，直接進行比較．6．（2022秋·安徽亳州·九年級校考階段練習）下列函數中，當x＞0時，y隨x的增大而增大的是（

）A．y=1x B．y＝－2xC．y=-2x2 D【答案】D【分析】根據反比例函數、一次函數以及二次函數的性質，對選項逐個判斷即可．【詳解】解：A、反比例函數，k=1>0，當x＞0時，y隨x的增大而減小，不符合題意；B、一次函數，k=-2<0，y隨x的增大而減小，不符合題意；C、二次函數，a=-2<0，開口向下，對稱軸為x=0，當x＞0時，y隨x的增大而減小，不符合題意；D、二次函數，a=3>0，開口向上，對稱軸為x=0，當x＞0時，y隨x的增大而增大，符合題意；故選：D【點睛】此題考查了二次函數、反比例函數以及一次函數的性質，解題的關鍵是掌握它們的有關性質．7．（2022春·九年級課時練習）二次函數y＝x2＋1的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用二次函數的開口方向和頂點坐標，結合圖象找出答案即可．【詳解】解：二次函數y＝x2＋1中，a＝1＞0，圖象開口向上，頂點坐標為（0，1），符合條件的圖象是B．故選B．【點睛】此題考查二次函數的圖象，掌握二次函數的性質，圖象的開口方向和頂點坐標是解決問題的關鍵．8．（2023秋·四川廣安·九年級校考階段練習）已知四個二次函數的圖象如圖所示，那么a1A．a1＞aC．a2＞a【答案】A【分析】根據二次函數y=ax2中a的絕對值越大開口越小,a>0開口向上，【詳解】解：如圖所示：①y=a1x2的開口小于②③y=a3x2則a4故a1故選：A．【點睛】本題考查了y=ax2的圖象與性質，掌握9．（2023秋·廣東廣州·九年級校考階段練習）若在同一直角坐標系中，作y=x2，y=x2+2A．都關于y軸對稱 B．開口方向相同C．都經過原點 D．互相可以通過平移得到【答案】A【分析】從三個二次函數解析式看，它們都缺少一次項，即一次項系數為0，據此可解答．【詳解】解：觀察三個二次函數解析式可知，一次項系數都為0，故對稱軸是直線x=-b2a=0，即對稱軸為y軸，所以都關于yy=x2，y=xy=x2經過(0，0)，y=x2+2經過(0，2)，y=-2故選：A．【點睛】本題考查了二次函數圖象的性質與系數的關系，需要熟練掌握二次函數性質是解題關鍵．10．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級校考期中）拋物線y=2xA．(4,0) B．0,?4 C．2,?【答案】B【分析】形如y=ax2+k【詳解】解：拋物線y=2x2+4故選：B．【點睛】本題考查了二次函數的性質．二次函數的頂點式方程y=a(x-k)2+h的頂點坐標是(k11．（2022春·全國·九年級專題練習）已知拋物線與二次函數y＝2x2的圖象的開口大小相同，開口方向相反，且頂點坐標為（﹣1，2023），則該拋物線對應的函數表達式為（

）A．y＝﹣2（x﹣1）2+2023 B．y＝2（x﹣1）2+2023C．y＝﹣2（x+1）2+2023 D．y＝2（x+1）2+2023【答案】C【分析】先根據頂點坐標為（﹣1，2023）可設頂點式為y＝a（x+1）2+2023，然后根據二次函數的性質確定a的值即可．【詳解】解：∵拋物線的頂點坐標為（﹣1，2023），∴設拋物線的解析式為y＝a（x+1）2+2023，∵拋物線y＝a（x+1）2+2023與二次函數y＝2x2的圖象的開口大小相同，開口方向相反，∴a＝﹣2，∴拋物線的解析式為y＝﹣2（x+1）2+2023．故選：C．【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式：在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解．也考查了二次函數的性質．12．（2023秋·貴州黔南·九年級統考期中）已知點A(-2,y1),B(-1,y2),C(3,yA．y3＜y3＜y2 B．y1＜y3＜y3 C．y3＜y2＜【答案】C【詳解】解：∵二次函數的解析式為y=2x2-3，∴拋物線的對稱軸為y軸，

∵A（-2，y1），B（-1，y2），C（3，y3），∴點C離y軸最遠，點B離y軸最近，

∵拋物線開口向上，∴y2＜y1＜y3．故選：C．13．（2022春·九年級課時練習）若一條拋物線與y=12x2的形狀相同且開口向下，頂點坐標為A．y=-B．y=C．y=-D．y=【答案】C【分析】根據拋物線與y=12x2的形狀相同且開口向下，可知a=-12；再由頂點坐標為（【詳解】解：∵拋物線與y=1∴a=-∵頂點坐標為（0，-2）∴拋物線解析式為y=-故答案是：C.【點睛】本題考查了y=a(x-h)2+k中14．（2023秋·九年級課時練習）二次函數y=x2和y=2x2，以下說法：①它們的圖象都是開口向上；②它們的對稱軸都是y軸，頂點坐標都是原點(0，0)；③當x>0時，它們的函數值y都是隨著x的增大而增大；④它們開口的大小是一樣的.其中正確的說法有(

)A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【詳解】關于二次函數y=x2和y=2x2，①它們的圖象都是開口向上，正確；②它們的對稱軸都是y軸，頂點坐標都是原點(0，0)，正確；③當x>0時，它們的函數值y都是隨著x的增大而增大，正確；④它們開口的大小是一樣的，錯誤，開口大小與|a|的絕對值有關，|a|的絕對值越大，開口越小，所以正確的有3個，故選C.【點睛】本題主要考查二次函數的性質，熟記二次函數的性質是解題的關鍵.15．（2022春·九年級課時練習）如圖，矩形紙片ABCD中，BC=4，AB=3，點P是BC邊上的動點（點P不與點B、C重合）．現將△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，作∠BPC′的角平分線，交AB于點E．設BP=x，BE=y，則下列圖象中，能表示y與x的函數關系的圖象大致是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題意，連接DE，因為△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，故有DP平分∠CPC′；又PE為∠BPC′的角平分線，可推知∠EPD=90°，又因為BP=x，BE=y，BC=4，AB=3，分別用x和y表示出PD和EP和DE，在Rt△PED中利用勾股定理，即可得出一個關于x和y的關系式，化簡即可．【詳解】解：連接DE，△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，故有DP平分∠CPC′；又因為PE為∠BPC′的角平分線，可推知∠EPD=90°，已知BP=x，BE=y，BC=4，AB=3，即在Rt△PCD中，PC=4-x，DC=3．即PD2=(4-x)2+9；在Rt△EBP中，BP=x，BE=y，故PE2=x2+y2；在Rt△ADE中，AE=3-y，AD=4，故DE2=(3-y)2+16，在Rt△PDE中，PE2+PD2=DE2，即x2+y2+(4-x)2+9=(3-y)2+16，化簡得：y=-13x2+43x(0≤x≤4結合題意，只有選項D符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了矩形的性質，折疊的性質，勾股定理，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．二、填空題16．（2023秋·天津寶坻·九年級階段練習）拋物線y=x2+14的開口向___，對稱軸是____【答案】上y軸【詳解】試題分析：拋物線y=x2+的開口向上，對稱軸為y軸．考點：二次函數的性質．17．（2023秋·山東淄博·九年級統考期末）物線y=-x2+3【答案】(0,3)【分析】根據二次函數的性質，利用頂點式即可得出頂點坐標．【詳解】∵拋物線y=-x∴拋物線y=-x2+3故答案為：0,3．【點睛】本題主要考查了二次函數的性質，熟練掌握二次函數頂點式的圖象和性質是解題的關鍵．18．（2023秋·云南昭通·九年級統考期中）二次函數y=2x2的圖象經過點A-1,y1、B2,y2，則y1______y2．（填【答案】<【分析】根據a＝2＞0，對稱軸為y軸，在對稱軸右側y隨x的增大而增大，利用對稱軸把A（﹣1，y1）轉移到A′（1，y1），根據二次函數性質即可得解．【詳解】解：∵a＝2＞0，∴二次函數開口向上，對稱軸為y軸，在對稱軸右側y隨x的增大而增大，A（﹣1，y1）關于對稱軸對稱的點A′（1，y1），∵1＜2，∴y1＜y2，故答案為：＜．【點睛】本題考查了二次函數的性質，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的性質．19．（2022秋·浙江嘉興·九年級校考期中）已知原點是拋物線y=(m+1)x2的最高點，則m的范圍是【答案】m<-1【分析】由拋物線有最高點可得m+1<0，進而求解．【詳解】解：∵y=(m+1)x∴拋物線頂點坐標為(0，當m+1<0時，拋物線有最高點，∴m<-1，故答案為：m<-1．【點睛】本題考查二次函數的性質，解題關鍵是掌握二次函數圖象與系數的關系．20．（2022秋·九年級單元測試）已知點Ax1,y1，Bx2,y2是拋物線y=-3x2+5上的兩點，若x1<【答案】＜【分析】根據二次函數的圖象與性質可進行求解．【詳解】解：由拋物線y=-3x2+5可知：a=-3<0∴當x<0時，y隨x的增大而增大，∴當點Ax1,y1，Bx2故答案為＜．【點睛】本題主要考查二次函數的圖象與性質，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．21．（2023秋·天津·九年級校考階段練習）若點A、B是二次函數y＝-5x2圖像上的兩點，已知x1<x2<0,則y【答案】<【分析】根據二次函數解析式可得x<0時y隨x增大而增大，進而求解．【詳解】解：∵y=-5x∴拋物線開口向下，對稱軸為y軸，∴x<0時，y隨x增大而增大，∵x∴y故答案為：<．【點睛】本題考查二次函數的圖象和性質，解題關鍵是掌握二次函數圖象的性質22．（2022春·九年級課時練習）二次函數y=x2-2【答案】(-1,-1)、(2,2)【分析】設函數y=x2-2的圖象上，橫坐標與縱坐標相等的點的坐標是(a,a)，則a=【詳解】解：設函數y=x2-2的圖象上，橫坐標與縱坐標相等的點的坐標是(a,a)，則a=解得a1故符合條件的點的坐標是：(-1,-1)、(2,2)．故答案為：(-1,-1)、(2,2)．【點睛】本題考查的是二次函數圖象上點的坐標特點，解題的關鍵是掌握即二次函數圖象上各點的坐標一定適合此函數的解析式．23．（2023秋·浙江金華·九年級統考期中）如果拋物線y=(a﹣1)x2的開口向下，那么a的取值范圍是________．【答案】a<1【分析】利用二次函數的圖像及性質，列不等式求解即可．【詳解】∵拋物線y=(a﹣1)x2的開口向下，∴a-1＜0，解得：a＜1．故答案為a<1．【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數的關系，牢記“a＞0時，拋物線開口向上；當a＜0時，拋物線開口向下．”是解題的關鍵．24．（2023秋·甘肅定西·九年級階段練習）如圖，P1、P2、P3…PK分別是拋物線y=x2上的點，其橫坐標分別是1，2，3…K，記△OP1P2的面積為S1，△OP2P3的面積為S2，△OP3P4的面積為S3，則S10=_______________．【答案】55.【詳解】試題解析：由題意得，點P11（11，121），點P10（10，100），S10=12×11×121-12×10×100-12×（100+121）×=1331-1000-221=110=55．考點：二次函數圖象上點的坐標特征．25．（2022春·九年級課時練習）已知a<0，二次函數y=-ax2的圖象上有三個點A-2,y1,B1,y2【答案】y2<y1<y3【分析】二次函數的拋物線開口向上，對稱軸為y軸，根據點的橫坐標距離對稱軸的遠近來判斷點的縱坐標的大小．【詳解】解：∵二次函數y=-ax2（a＜∴-a>0，∴該二次函數的拋物線開口向上，且對稱軸為y軸．∵A-2,y1,B1,y2,C3,y3為二次函數y=ax2-3ax+c（a＜0）的圖象上三個點，且三點橫坐標距離對稱軸y軸的距離遠近順序為：（3，y3∴三點縱坐標的大小關系為：y2<y1<y3．故答案為：y2<y1<y3．【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，由點的橫坐標到對稱軸的距離判斷點的縱坐標的大小．三、解答題26．（2022秋·全國·九年級專題練習）在平面直角坐標系中畫出y=x【答案】見解析【分析】根據題目中的函數解析式先列表，選數值時注意正負數都要取到，然后在坐標系中描點，連線畫出二次函數圖象，即可解答本題．【詳解】解：函數y列表x－3－2－10123y9410149描點，連線【點睛】本題考查二次函數的圖象，解答本題的關鍵是明確畫函數圖象的方法．27．（2023春·全國·九年級專題練習）二次函數y＝x2的圖象如圖所示，請將此圖象向右平移1個單位，再向下平移4個單位．（1）請直接寫出經過兩次平移后的函數解析式；（2）請求出經過兩次平移后的圖象與x軸的交點坐標，并指出當x滿足什么條件時，函數值小于0？【答案】（1）y＝（x﹣1）2﹣4；（2）（﹣1，0），（3，0），當﹣1＜x＜3時，函數值小于0；【分析】（1）根據函數平移的特點：左加右減、上加下減，可以寫出平移后的函數解析式；（2）根據（1）中的函數解析式可以求得經過兩次平移后的圖象與x軸的交點坐標，并指出當x滿足什么條件時，函數值小于0；（3）根據平移后函數的圖象可知，當x＜1時，y隨x的增大而減小，從而可以寫出y1、y2的大小關系．【詳解】解：（1）平移后的函數解析式為y＝（x﹣1）2﹣4；（2）平移后的函數圖象如圖所示，當y＝0時，0＝（x﹣1）2﹣4，得x1＝﹣1，x2＝3，即經過兩次平移后的圖象與x軸的交點坐標是（﹣1，0），（3，0），當﹣1＜x＜3時，函數值小于0；【點睛】本題考查的是二次函數的圖像與性質，屬于基礎題型，記住平移的口訣“左加右減、上加下減”.28．（2023春·九年級課時練習）二次函數y=5x2-3與二次函數y=5x2【答案】二次函數y=5x2-3的圖象與二次函數y=5x2的圖象都是拋物線．并且形狀相同，只是位置不同；將函數y=5x2的圖象向下平移3個單位長度，就得到函數y=5x2-3的圖象．二次函數y=5x2-3的圖象是軸對稱圖形，它的開口向上，對稱軸是y【分析】由于二次函數y=5x2-3與二次函數y=5x2的二次項系數相同，所以將y=5x2的圖象向下平移3個單位可以得到y=5x2-3的圖象，由二次函數的性質可知它是軸對稱圖形，由二次項系數可知開口方向，再根據頂點式的坐標特點，寫出頂點坐標及對稱軸．【詳解】二次函數y=5x2-3的圖象與二次函數y=5x2的圖象都是拋物線．并且形狀相同，只是位置不同；將函數y=5x2的圖象向下平移3個單位長度，就得到函數y=5x2-3的圖象．二次函數y=5x2-3的圖象是軸對稱圖形，它的開口向上，對稱軸是y【點睛】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，二次函數的性質，是基礎知識，需熟練掌握．29．（2023·九年級統考課時練習）觀察下列數表：第一列第二列第三列第四列第一行1234第二行2345第三行3456第四行4567……………(1)根據數表所反映出的規律，寫出第n行第n列交叉點上的數；(用含n的代數式表示)(2)已知k是上表中第6行第7列交叉點的數，求二次函數y=-2x2+k的圖像與x(3)若將(2)y=-2x2+k中的圖像向下平移【答案】(1)2n-1；(2)與x軸交點的坐標為6,0、-6,0；與y軸交點的坐標為0,12；【分析】（1）分析表中數據可知第a行第b列交叉點上的數正好是a＋b?1，即可得出答案．（2）根據已知k是上表中第6行第7列交叉點的數，即可得出k＝6＋7?1＝12，進而得出二次函數y＝?2x2＋k的圖象與x軸、y軸交點的坐標；（3）根據將y＝?2x2＋k的圖象向下平移13個單位，即在函數解析式上直接減13，即可得出y＝?2x2＋12?13＝?2x2?1．【詳解】(1)根據分析可知第n行第n列交叉點上的數應為n+n-1=2n-1.(2)由(1)得出：第6行第7列交叉點的數為k=6+7-1=12，則二次函數y=-2x2+12的圖像與x軸相交，得0=-2與x軸交點的坐標為6,0、-6,0；與y(3)將y=-2x2+k的圖像向下平移13【點睛】本題考查規律型：數字的變化類、二次函數圖象上點的坐標特征、二次函數圖象與幾何變換、待定系數法求二次函數解析式，解題的關鍵是掌握規律型：數字的變化類、待定系數法求二次函數解析式的計算.30．（2023秋·江蘇蘇州·九年級校考階段練習）已知y=（1）若其圖像開口向下，求k的值；（2）若當x<0時，y隨x【答案】（1）k=-3；（2）y=【分析】（1）根據題意，k2+k-4=2，解出k的值，再根據函數圖象開口向下，得到（2）根據二次函數的圖象和性質得到圖象開口向上，把k=2代入原函數求解．【詳解】解：（1）∵y=k-1∴k2+k-4=2，整理得k2+k-6=0，k+3k-2∵函數圖象開口向下，∴k-1<0，即k<1，∴k=-3；（2）∵當x<0時，y隨著x的增大而減小，∴圖象開口向上，∴k>1，則k=2，將k=2代入原式，得到y=2-1x2【點睛】本題考查二次函數的定義以及函數圖象和性質，解題的關鍵是掌握二次函數的圖象和性質．31．（2023春·九年級課時練習）設正方形的邊長為a，面積為S，試畫出S隨a的變化而變化的圖象．【答案】【分析】根據正方形的面積公式，可得函數關系式，根據描點法，可得函數圖象．【詳解】解：由正方形面積公式，得S=a2（a＞0）．在直角坐標系中畫出S=a2，如圖：【點睛】本題考查了二次函數圖象，利用了描點法畫函數圖象，注意圖象不包括原點．32．（2022秋·山東濱州·九年級統考期末）（1）解方程：x-4x-3（2）已知反比例函數y=kx(k≠0)的圖像經過拋物線y=3x2上的點【答案】（1）x1=7,x2=0；（【分析】（1）先整理．利用因式分解法解答，即可求解；（2）將P1,m代入y=3x2，可得P點的坐標為【詳解】（1）解：x-4去括號得：x移項，得：x2即x所以x-7=0或x=0所以x1（2）解：將P1,m代入y=3x所以P點的坐標為1,3將1,3代入y=kx【點睛】本題主要考