2023-2024學年四川省成都市高三第三次模擬數學（文）模擬試題單選題1.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】首先解得集合，，再根據補集的定義求解即可.【詳解】解：，，，故選A．本題考查一元二次不等式的解法，指數不等式的解法以及補集的運算，屬于基礎題.2.設是向量，則“”是“”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】D【詳解】試題分析：由無法得到，充分性不成立；由，得，兩向量的模不一定相等，必要性不成立，故選D.充要條件,向量運算【名師點睛】由向量數量積的定義(為，的夾角)可知，數量積的值、模的乘積、夾角知二可求一，再考慮到數量積還可以用坐標表示，因此又可以借助坐標進行運算.當然，無論怎樣變化，其本質都是對數量積定義的考查.求解夾角與模的題目在近幾年高考中出現的頻率很高，應熟練掌握其解法.3.給出如下四個命題：①若“且”為假命題，則均為假命題；②命題“若，則”的否命題為“若，則”；③“，則”的否定是“，則”；④在中，“”是“”的充要條件．其中正確的命題的個數是A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】C【分析】根據復合命題真假的判定即可判斷①；根據否命題可判斷②；根據含有量詞的否定可判斷③；根據正弦定理及充分必要條件可判斷④．【詳解】根據復合命題真假的判斷，若“且”為假命題，則或至少有一個為假命題，所以①錯誤；根據否命題定義，命題“若，則”的否命題為“若，則”為真命題，所以②正確；根據含有量詞的否定，“”的否定是“”，所以③正確；根據正弦定理，“”“”且“”“”，所以④正確．綜上，正確的有②③④所以選C本題考查了復合命題真假的判斷、否命題及含有量詞的否定，正弦定理和充分必要條件的應用，屬于基礎題．4.已知，向量在向量上投影為，則與的夾角為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用平面向量的幾何意義，列出方程求出與夾角的余弦值，即可得出夾角大小.【詳解】記向量與向量的夾角為，在上的投影為.在上的投影為，，，.故選：B.5.若，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據不等式的基本性質可判斷A，利用作差法可判斷BD的正誤，利用反例可判斷C的正誤.【詳解】解：，故，，故，故，故，故A成立.對于B，因為，故，而，故，故B錯誤對于C，取，則，故C錯誤.對于D，因為，故，故，故D錯誤故選：A．6.設?滿足約束條件?，則?的最大值為（）A.8 B.5 C.2 D.1【正確答案】B【分析】根據約束條件畫出可行域即可結合目標函數的幾何意義求解.詳解】如圖即為滿足的可行域，由圖易得:，解得，故，由于得表示斜率為，在軸截距為的直線，故當直線經過點時，此時軸截距最大故當時，的最大值為5，故選:B.7.已知函數的部分圖象如下圖所示，將函數的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，再將所得圖象上所有點向右平移個單位長度，得到的函數圖象關于點對稱，則的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用“五點法”求得，再經過周期變換與相位變換可得，從而利用三角函數對稱點性質即可得解.【詳解】依題意得的最大值為，則，由，得，所以，，即，，所以，將函數的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，再將所得圖象上所有點向右平移個單位長度，得到，因為所得函數的圖象關于點對稱，所以，即，所以，則．因為，所以的最小值為．故選：B．8.已知函數，不等式的解集為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據條件判斷函數的奇偶性和單調性，結合奇偶性和單調性的性質將不等式進行轉化求解即可．【詳解】解：，則函數是奇函數，當時，為增函數，則函數在上是增函數，則不等式等價為不等式，即，解得，即不等式的解集為，故選：．9.中國古代數學著作《算法統宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔細算相還．”其意思是“有一個人走378里，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到達目的地．”請問第三天走了A.60里 B.48里 C.36里 D.24里【正確答案】B【分析】根據題意得出等比數列的項數、公比和前項和，由此列方程，解方程求得首項，進而求得的值.【詳解】依題意步行路程是等比數列，且，，，故，解得，故里.故選B.本小題主要考查中國古典數學文化，考查等比數列前項和的基本量計算，屬于基礎題.10.已知是定義在上的奇函數，當時，，則函數的零點的集合為（）A. B. C. D.【正確答案】D【詳解】因為是定義在上的奇函數，當時，，所以，所以，由，解得或；由解得或（舍去），所以函數的零點的集合為.故選：D.函數的奇偶性的運用，分段函數，函數的零點，一元二次方程的解法，難度中等.11.已知，，，，則下列等式一定成立的是A. B. C. D.【正確答案】B【詳解】試題分析：相除得，又，所以.選B.【考點定位】指數運算與對數運算.12.已知函數的定義域為，且滿足（是的導函數），則不等式的解集為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】構造，根據已知條件判斷在上單調性，又題設不等式等價于，利用單調性及其定義域范圍求解集.【詳解】令，則，即在上遞增，又，則等價于，即，所以，解得，原不等式解集為.故選：C填空題13.已知向量，．若向量與垂直，則________．【正確答案】7【分析】首先求出的坐標，再根據兩個向量垂直的性質得到，根據向量數量積的坐標運算得到方程，即可求得實數的值．【詳解】解：因為，，所以，因為向量與垂直，所以，解得，故7．14.曲線在點處的切線方程為________.【正確答案】.【詳解】試題分析：，，故所求的切線的斜率為，故所求的切線的方程為，即.本題考查利用導數求函數圖象的切線問題，屬于中等題.15.正項等比數列中，存在兩項使得，且，則的最小值為______.【正確答案】【分析】先由已知求出公比，然后由求出滿足的關系，最后求出的所有可能值得最小值．【詳解】設數列公比為，由得，∴，解得（舍去），由得，，∵，所以只能取，依次代入，分別為2，，2，，，最小值為．故．本題考查等比數列的性質，考查求最小值問題．解題關鍵是由等比數列性質求出滿足的關系．接著求最小值，容易想到用基本不等式求解，但本題實質上由于，因此對應的只有5個，可以直接代入求值，然后比較大小即可．16.若函數在區間上不是單調函數，則函數在R上的極小值為______．【正確答案】【分析】求出函數的導數，根據函數的單調性，求出的范圍，從而求出函數的單調區間，得到是函數的極小值即可．【詳解】解：，∵函數在區間上不是單調函數，，由，解得：或，由，解得：，的極小值為，故本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用，屬于中檔題．解答題17.已知向量?，設函數?（1）求?的最小正周期.（2）求函數?的單調遞減區間.（3）求?在?上的最大值和最小值.【正確答案】（1）（2）（3）最大值為1，最小值為【分析】（1）根據向量數量積的坐標表示，結合三角恒等變換即可化簡，由周期公式即可求解，（2）利用整體法即可求解，（3）根據得，即可結合三角函數的性質求解.【小問1詳解】由已知可得:?所以.【小問2詳解】由?，可得，?的單調遞減區間為?.【小問3詳解】,?，?的最大值為1，最小值為?.18.已知在遞增等差數列中，，是和的等比中項.（1）求數列的通項公式；（2）若，為數列前項和，求的值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用等差數列的通項公式與等比數列等比中項公式求得，從而得解；（2）結合（1）中結論，利用裂項求和法即可得解．【小問1詳解】因為為遞增等差數列，設其公差為，因為是和的等比中項，，所以，即，解得或（舍去），所以.【小問2詳解】由（1）得，所以19.設三個內角的對邊分別為,的面積滿足.(1)求角的值;(2)求的取值范圍.【正確答案】(1)(2).【詳解】試題分析：（1）運用三角形的面積公式和余弦定理，結合同角的商數關系，可得角的值；（2）由三角形的內角和定理，可得，運用兩角和差的正弦公式，結合正弦函數的圖象和性質，即可得到所求范圍．試題解析：(1),求得,所以.(2)因為,所以,即;經三角變換得因為,所以,,所以.20.已知函數1)若a=1,求曲線在點處的切線方程(2)若在R上單調遞增,求實數a的取值范圍【正確答案】（1）（2）【詳解】分析：（1）求出導數，求出切點和切線的斜率，由點斜式方程，即可得到切線方程；

（2）求出導數，若是單調遞增函數，則恒成立，分離參數構造函數，求出函數的最值即可得到實數的取值范圍．詳解：(1)（2）所以在上單調遞增，在上單調遞減所以.點睛：本題主要考查導數的幾何意義以及函數單調性和導數之間的關系，綜合考查導數的應用，屬于中檔題．21.已知函數.（1）若，求函數的單調增區間;（2）若時，不等式在上恒成立，求實數的取值范圍;【正確答案】（1）?（2）?【分析】（1）求導得到，得到單調區間.（2）變換得到，設，求導得到單調區間，計算最值得到答案.【小問1詳解】由題意得:?時，?，?，令?，解得:?或?，故?的單調遞增區間為?.【小問2詳解】在?上恒成立，，即在區間?恒成立，設，，則，令，解得，此時單調遞增，令，解得，此時單調遞減，故.故.22.已知曲線的參數方程為(為參數在以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線.1求曲線的普通方程和的直角坐標方程；2若與相交于兩點，設點，求的值．【正確答案】（1）的普通方程為.的直角坐標方程為.（2）【詳解】試題分析：（Ⅰ）消參后得到曲線的普通方程；根據得到曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）將直線的參數方程代入曲線的直角坐標方程，得到關于的一元二次方程，而，代入根與系數的關系得到結果.試題解析：（I）（為參數），所以曲線的普通方程為.，所以的直角坐標方程為.（Ⅱ）由題意可設，與兩點對應的參數分別為，將的參數方程代入的直角坐標方程，化簡整理得，，所以，所以，因為，所以，所以本題考查了極坐標與直角坐標方程，以及普通方程和參數方程的轉化關系，對于第二問中的弦長問題，過定點，傾斜角為的參數方程，與曲線相交交于兩點，，，，根據圖象和二次方程去絕對值，后根據根與系