Page4第24講．齊次化方法一．基本原理中的幾何意義為：直線與曲線的交點(diǎn)與原點(diǎn)的連線的斜率，即的斜率，設(shè)為，由韋達(dá)定理知，，從而能通過最初的二次曲線和直線相交，得出的性質(zhì)，倒過來，我們也可以通過的性質(zhì)與二次曲線得出的性質(zhì)．若定在不在坐標(biāo)原點(diǎn)，我們就需要先平移，設(shè)平移后的直線為（這樣齊次化更加方便，相當(dāng)于“1”的妙用），與平移后的圓錐聯(lián)立，構(gòu)造，然后等式可以直接利用韋達(dá)定理得出斜率之和或者斜率之積，，，即可得出答案.二．典例分析具體操作步驟第一步：將坐標(biāo)系平移到（不妨設(shè)其在第一象限）后得到新的橢圓方程：.第二步，寫出直線方程：令，則令.第三步：聯(lián)立方程：，湊出滿足題干的斜率形式即可.例1．.（2017年全國(guó)1卷）．已知橢圓，不過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若直線的斜率之和為，證明：直線恒過定點(diǎn)．證明：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立新的直角坐標(biāo)系，如下圖所示：，即．所以．因?yàn)椋瑒t轉(zhuǎn)換到新坐標(biāo)為，即．設(shè)直線的方程為，將原橢圓方程轉(zhuǎn)化為，則轉(zhuǎn)換到新坐標(biāo)為，展開得，構(gòu)造齊次式整理得，兩邊同除以，則所以，因此．而，所以對(duì)于任意都成立則，故對(duì)應(yīng)原坐標(biāo)為，所以直線恒過定點(diǎn)例2.（2020山東卷）已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)．（1）求的方程：（2）點(diǎn)，在上，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．解析：（1）橢圓方程為：.（2）將原坐標(biāo)系平移，原來的O點(diǎn)平移至點(diǎn)A處，則在新的坐標(biāo)系下橢圓的方程為，設(shè)直線的方程為．將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得，即，化簡(jiǎn)得，即．設(shè)，因?yàn)閯t，即．代入直線方程中得．則在新坐標(biāo)系下直線過定點(diǎn)，則在原坐標(biāo)系下直線過定點(diǎn)．又，D在以為直徑的圓上．的中點(diǎn)即為圓心Q．經(jīng)檢驗(yàn)，直線垂直于x軸時(shí)也成立．故存在，使得．例3.（2022新高考1卷）已知點(diǎn)在雙曲線上，直線交于，兩點(diǎn)，直線，的斜率之和為0．（1）求的斜率；（2）若，求的面積．解析：雙曲線方程為，設(shè)，∵AP,AQ的斜率之和為0，∴，故將雙曲線方程為變形為：，且設(shè)直線，由式有：,（兩邊同除以），即，而是此方程的兩根.∴，故直線斜率為?1.習(xí)題演練．拋物線，過原點(diǎn)的兩條相互垂直的直線交拋物線于兩點(diǎn)，求證：直線過軸上一定點(diǎn)．證明：設(shè)①拋物線