第四節相似三角形【課標要求】☆掌握比例的基本性質、線段的比、成比例線段；通過建筑、藝術上的實例了解黃金分割．☆掌握基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例．☆掌握相似三角形的性質定理和判定定理．☆通過具體實例認識圖形的相似，了解相似多邊形的相似比．☆會利用圖形的相似解決一些簡單的實際問題．☆了解圖形的位似，知道利用位似可以將一個圖形放大或縮小．【教材對接】人教：九下第二十七章P23～59；冀教：九上第二十五章P57～102；北師：九上第四章P75～123.成比例線段、平行線分線段成比例1．線段的比：兩條線段的比是兩條線段的長度之比．(注：兩條線段的長度單位需統一；線段的比是一個不帶單位的數．)2．成比例線段在四條線段a，b，c，d中，如果a與b的比等于c與d的比，即eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)(或a∶b＝c∶d)，我們就把這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段．特別地，如果eq\f(a,b)＝eq\f(b,c)，即b2＝ac，我們就把b叫做a，c的比例中項．3．比例的性質基本性質：eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)?ad＝bc(b，d≠0).合(分)比性質：若eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，則eq\f(a±b,b)＝eq\f(c±d,d)．等比性質：若eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)＝…＝eq\f(m,n)(b＋d＋…＋n≠0)，則eq\f(a＋c＋…＋m,b＋d＋…＋n)＝eq\f(a,b)．【溫馨提示】如圖，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC，且eq\f(AC,AB)＝eq\f(BC,AC)，那么線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,AB)＝\f(\r(5)－1,2)≈0.618)).4．平行線分線段成比例基本事實：兩條直線被一組平行線所截，截得的對應線段成比例．推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段成比例．【基礎練1】(1)如圖1，AB∥CD∥EF，則有eq\f(AC,CE)＝eq\f(BD,DF)，eq\f(AC,AE)＝eq\f(BD,BF)等；圖1圖2圖3(2)如圖2，DE∥BC，則有eq\f(AD,DB)＝eq\f(AE,EC)，eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)等；(3)如圖3，DE∥BC，則有eq\f(AB,AD)＝eq\f(AC,AE)＝eq\f(BC,DE)等．相似三角形5．相似三角形：對應角相等、對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形．相似三角形對應邊的比叫做它們的相似比．6．相似三角形的性質與判定性質(1)相似三角形的對應角相等，對應邊成比例；(2)相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比，都等于相似比；(3)相似三角形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方判定(1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或它們的延長線)相交，所截得的三角形與原三角形相似；(2)兩角對應相等的兩個三角形相似；(3)兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似；(4)三條邊對應成比例的兩個三角形相似；(5)對于兩個直角三角形，可以通過①一個銳角相等；②兩組直角邊對應成比例；③斜邊和一直角邊對應成比例來判定這兩個直角三角形相似【方法點撥】(1)判定兩個三角形相似的思路①條件中有平行線被第三條直線所截——用平行線的性質找等角；②條件中有一對等角，找eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(另一對等角，,等角的兩條邊對應成比例；))③條件中有兩邊對應成比例，找eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(夾角相等，,第三邊也對應成比例，,一對直角；))④條件中有直角三角形，找eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(一對銳角相等，,斜邊、直角邊對應成比例；))⑤條件中有等腰三角形，找eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(頂角相等，,一對底角相等，,底和腰對應成比例．))(2)在網格中判定三角形是否相似，可根據“相似三角形的對應角相等”，利用特殊角度排除不相似的三角形，也可根據勾股定理求出各三角形的邊長，利用“三邊對應成比例的三角形相似”進行判斷．7．常見相似三角形的基本模型(1)A字模型(2)8字模型(3)母子模型(4)一線三等角模型特殊情形，三垂直模型eq\a\vs4\al(（此種模型和一線,三等角型類似）)eq\a\vs4\al(（三垂直平移變形）,)【方法點撥】只要能在復雜圖形中辨認出上述基本圖形，并能根據問題需要添加適當的輔助線，構造出基本圖形，就能使問題得以解決．證明三角形相似時，常考慮證明角相等；求線段長度時，可通過證明三角形相似來求得結果．【基礎練2】(1)(2021·保定定興縣一模)如圖，EF是△ABC紙片的中位線，將△AEF沿EF所在的直線折疊，點A落在BC邊上的點D處，已知△AEF的面積為7，則圖中陰影部分的面積為(B)A.7B．14C．21D．28(2)(2021·河北一模)已知圖(1)，(2)中各有兩個三角形，其邊長和角的度數已在圖上標注，圖(2)中AB，CD交于點O，對于各圖中的兩個三角形而言，下列說法正確的是(C)A．只有(1)相似B．只有(2)相似C．都相似D．都不相似相似多邊形及其性質8．相似多邊形：一般地，如果兩個多邊形的對應角相等、對應邊成比例，那么這兩個多邊形就叫做相似多邊形．相似多邊形對應邊的比叫做它們的相似比．9．相似多邊形的性質(1)相似多邊形的對應角相等；(2)相似多邊形的對應邊成比例；(3)相似多邊形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方．位似圖形10．位似圖形：不僅相似，而且經過每對對應頂點的直線相交于一點，對應邊互相平行(或在同一條直線上)．我們把這樣的兩個圖形稱為位似圖形，對應頂點所在直線的交點稱為位似中心，這時的相似比又稱位似比．【溫馨提示】(1)位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比．(2)在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，原圖形上點的坐標為(x，y)，那么相應位似圖形上的點的坐標為(kx，ky)或(－kx，－ky).11．位似圖形的性質(1)位似圖形是相似圖形，具有相似圖形的一切性質；(2)對應點的連線都經過同一點；(3)對應邊互相平行或在同一條直線上．12．確定位似中心的方法：將兩個圖形的各組對應點連接起來，若它們的連線或延長線相交于一點，則該點就是位似中心．13．位似作圖的步驟(1)確定位似中心、原圖形的關鍵點、相似比(即要將圖形放大或縮小的倍數)；(2)作出原圖形中各關鍵點的對應點；(3)按原圖形的連接順序連接所作的各個對應點.【基礎練3】(1)(2021·溫州中考)如圖，圖形甲與圖形乙是位似圖形，O是位似中心，位似比為2∶3，點A，B的對應點分別為點A′，B′.若AB＝6，則A′B′的長為(B)A．8B．9C．10D．15(2)(2021·石家莊一模)在平面直角坐標系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等于eq\f(1,2)，并且是關于原點O的位似圖形，若點A的坐標為(2，4)，則其對應點A1的坐標是(D)A．(4，8)B．(－1，－2)C．(1，2)或(－1，－2)D．(4，8)或(－4，－8)比例的性質與平行線分線段成比例【例1】(2021·唐山路北區三模)如圖，直線a∥b∥c，AB＝eq\f(4,5)BC，若DF＝9，則EF的長度為(B)A．9B．5C．4D．3【解題思路】根據平行線分線段成比例可得eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF)＝eq\f(4,5)，再根據DE與EF之間的比例關系以及DF的長度可求得EF的長度．1．(2021·哈爾濱中考)如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，則AE的長為(B)A．3B．4C．5D．6eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第1題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2題圖）))2．(2021·邢臺模擬)如圖，△ABC沿AC邊平移到△A′B′C′，A′B′交BC于點D，若AC＝6，D是BC的中點，則C′C＝3．3．(2021·大慶中考)已知eq\f(x,2)＝eq\f(y,3)＝eq\f(z,4)≠0，則eq\f(x2＋xy,yz)＝eq\f(5,6).eq\a\vs4\al(相似三角形的判定及性質)【例2】(2021·廊坊安次區二模)如圖，點E是?ABCD的邊AD上的一點，且eq\f(DE,AE)＝eq\f(1,2)，連接BE并延長交CD的延長線于點F，若DE＝3，DF＝4，則?ABCD的周長為(C)A．21B．28C．34D．42【解題思路】由平行四邊形的性質可以得到△ABE∽△DFE，進而得出eq\f(DE,AE)＝eq\f(FD,AB)＝eq\f(1,2).由已知DE＝3，DF＝4，可以求AE和AB的長度，進而可以求得AD的長度，即可求解?ABCD的周長．4．(2021·雅安中考)如圖，將△ABC沿BC邊向右平移得到△DEF，DE交AC于點G.若BC∶EC＝3∶1，S△ADG＝16，則S△CEG的值為(B)A．2B．4C．6D．8eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第4題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第5題圖）))5．(2021·唐山遵化市模擬)如圖，△ABC中，BC＝6，BD是中線，E是BD上一點，作射線AE，交BC于點F，若BE＝2DE，則FC等于(C)A．2B．2.5C．3D．3.56．(2021·無錫中考)下列命題中，正確命題的個數為1.①所有的正方形都相似；②所有的菱形都相似；③邊長相等的兩個菱形都相似；④對角線相等的兩個矩形都相似．eq\a\vs4\al(位似圖形)【例3】(2021·邯鄲模擬)下列各選項中的兩個圖形不是位似圖形的是(D)eq\o(\s\up7(),\s\do5(A))eq\o(\s\up7(),\s\do5(B))eq\o(\s\up7(),\s\do5(C))eq\o(\s\up7(),\s\do5(D))【解題思路】本題考查的是位似圖形的定義，掌握如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行或在同一條直線上，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形是解題的關鍵．,7．(2021·重慶中考B卷)如圖，在平面直角坐標系中，將△OAB以原點O為位似中心放大后得到△OCD，若B(0，1)，D(0，3)，則△OAB與△OCD的相似比是(D)A．2∶1B．1∶2C．3∶1D．1∶3eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第7題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第8題圖）))8．(2021·嘉興中考)如圖，在平面直角坐標系中，△ABC與△ODE是位似圖形，則它們位似中心的坐標是(4，2).利用相似三角形的判定與性質解題時，找錯比例線段或對判定的條件理解不透徹而出錯【例1】如圖，在△ABC中，∠B＝70°，AB＝4，BC＝6，將△ABC沿圖示中的虛線DE剪開，剪下的三角形與原三角形不相似的是()【錯解分析】本題考查相似三角形的判定，根據相似三角形的判定定理對各選項進行逐一判斷即可．解題時易因出現憑感覺對圖形進行判斷而出錯．【正確解答】C1．如圖，在△ABC中，點D在BC上，連接AD，點E在AC上，過點E作EF∥BC，交AD于點F，過點E作EG∥AB，交BC于點G，則下列式子一定正確的是(C)A．eq\f(FD,AD)＝eq\f(EF,CD)B．eq\f(EG,AB)＝eq\f(EF,CD)C．eq\f(AF,FD)＝eq\f(BG,GC)D．eq\f(CG,BC)＝eq\f(AF,AD)2．(2021·唐山路北區二模)如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形(陰影部分)與△ABC相似的是(C)eq\o(\s\up7(),\s\do5(A))eq\o(\s\up7(),\s\do5(B))eq\o(\s\up7(),\s\do5(C))eq\o(\s\up7(),\s\do5(D))3．(2021·淄博中考)如圖，AB，CD相交于點E，且AC∥EF∥DB，點C，F，B在同一條直線上．已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，則p，q，r之間滿足的數量關系式是(C)A.eq\f(1,r)＋eq\f(1,q)＝eq\f(1,p)B．eq\f(1,p)＋eq\f(1,r)＝eq\f(2,q)C．eq\f(1,p)＋eq\f(1,q)＝eq\f(1,r)D．eq\f(1,q)＋eq\f(1,r)＝eq\f(2,p)沒有指明相似三角形對應的頂點(或邊)而未進行分類討論出現漏解或錯解【例2】(2021·河北一模)如圖，在Rt△ABC的直角邊AC上有一任意點P(不與點A，C重合)，過點P作一條直線，將△ABC分成一個三角形和一個四邊形，則所得到的三角形與原三角形相似的直線最多有________條．【錯解分析】本題考查的是相似三角形的判定與作圖，掌握相似三角形的判定是解題的關鍵．可以分為以下四種情況進行分類討論：①過點P作AB的垂線段PD；②過點P作BC的平行線PE，交AB于點E；③過點P作AB的平行線PF，交BC于點F；④作∠PGC＝∠A.【正確解答】44．一個三角形支架三條邊長分別是75cm，110cm，120cm，現要再做一個與其相似的三角形木架，而只有長為60cm，120cm的兩根木條，要求以其中一根為一邊，從另一根上截下兩段作為