專題04二次函數與角度有關的問題（知識解讀）【專題說明】二次函數背景下與角有關的存在性問題，是各地中考和模擬考試壓軸題的熱點問題，這種類型的題目綜合性較強，更重要的是涉及方程與函數思想、數形結合思想、分類討論等重要的思想方法，對學生分析、解決問題的能力具有較高的要求。為此，我將與角有關的壓軸題常見的題型及解法做一整理。【知識點梳理】類型一：將等角問題轉化成等腰三角形或平行線問題。如例1：拋物線y=-x+3x+4,與坐標軸交于點A、B、C，CP⊥y軸交拋物線與點P，點M為A、C間拋物線上一點（包括端點），求滿足∠MPO=∠POA的點M的坐標。分析：顯然符合條件的點M有兩個，OP上方一個，OP下方一個、當M在OP上方時，由∠MPO=∠POA可知PM//OA,則M與C點重合。當M在OP下方時，∠MPO=∠POA，這兩角組成的三角形是等腰三角形。設PM與x軸交于點D，坐標為D(n,0)，由兩點間距離公式可表示出OD、PD長，根據OD=PD列方程即可求出D點坐標，再求出PD直線表達式與拋物線表達式聯立，進而求出M點坐標。類型二：將等角問題轉化成等角所在三角形相似或等角對應的三角函數（通常是正切值）相等問題。這類問題有兩種情況：一種是所求角的一邊與坐標軸平行（重合）；例2如圖，拋物線y=+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其對稱軸交拋物線于點D，交x軸于點E，已知OB=OC=6.（1）求拋物線的解析式及點D的坐標；（2）連接BD，F為拋物線上一動點，當∠FAB=∠EDB時，求點F的坐標；解析：通過已知條件易得拋物線表達式為及各定點坐標，第二問中的F有兩種情況：x軸上方一個，x軸下方一個。在Rt⊿BDE中，可知tan∠EDB=，則tan∠FAB=，過F作x軸垂線，構造∠FAB所在直角三角形，接著通過設F點坐標，表示FH和AH長，根據tan∠FAB=列方程，或利用相似三角形對應邊成比例列式，從而求出點F坐標，由于表示FH時加了絕對值，已經考慮到了上下兩種情況，這樣兩個F就都求出來了。還可以從圖形的角度發現一對反8的相似三角形，推出AF與BD是垂直關系，進而求出AF的直線表達式與拋物線表達式聯立求出交點F的坐標，這也是不錯的方法。另一種是所求角的邊不與坐標軸平行。例3:如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+2與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y=-x+bx+c經過A，C兩點，與x軸的另一交點為點B．（1）求拋物線的函數表達式；（2）x軸上有一點E（，0），連接CE，點D為直線AC上方拋物線上一動點，過點D作DF⊥AC，垂足為點F，連接CD，是否存在點D，使得△CDF中的某個角恰好等于∠AEC？若存在，求點D的橫坐標；若不存在，請說明理由。分析：通過已知條件易得拋物線表達式為y=-x-x+2及各定點坐標。第二問要分類討論，當∠CDF=∠AEC或是∠DCF=∠AEC時，先來討論∠CDF=∠AEC的情況。在Rt⊿COE中，可知tan∠AEC=，當∠CDF=∠AEC時，tan∠CDF=,即CF:DF=4：3，然后，在直角頂點F處構建一線三垂直模型，由CF:DF=4：3，設CF=3m,DF=4m，由△CFH∽△CAO可得FH=8m，同理DG=6m，由GI=HO=2-4m，可得DI=2+2m,從而寫出D點坐標（-11m,2+2m）,將其代入拋物線表達式求得D點坐標。或是在A處作垂直構建一線三垂直模型，利用相似寫出K點坐標，在求出CK直線表達式與拋物線表達式聯立從而求出交點D的坐標。當∠DCF=∠AEC時,可用同樣方法求出D點坐標。類型三：二倍角或半角的存在性問題.二倍角的構造方法如圖，已知，我們可以利用等腰三角形和外角定理去構造，在BC邊上找一點D，使得BD=AD，則.這樣我們就構造出了二倍角，接下來利用三角函數（一般用正切）計算就可以了。半角的構造方法如圖，已知，構造半角可以用下面兩種方法：方法一：和前面二倍角的構造相對應，利用外角定理，如圖，延長CB至D，使得BD=BA，則，若AC、BC的長度已知，則容易求出tan∠D的值，從而進行相關計算。方法二：如圖，直接做的角平分線BE，若AC、BC的長度已知，則容易求出tan∠EBC的值。【典例分析】【類型一：將等角問題轉化成等腰三角形或平行線問題】【典例1】（2022?菏澤）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點，與y軸交于點C（0，4），連接AC、BC．（1）求拋物線的表達式；（2）點P是拋物線上的一動點，當∠PCB＝∠ABC時，求點P的坐標．【變式1】（2022秋?大連月考）拋物線y＝﹣x2+bx+c過點A（4，0），B（0，2）．（1）求直線AB的解析式和拋物線的解析式；（2）如圖1，點P在拋物線上，∠PBA＝∠BAO，求點P的坐標．【類型二：將等角問題轉化成等角所在三角形相似或等角對應的三角函數（通常是正切值）相等問題】【典例2】（2022秋?大連月考）如圖，拋物線y＝ax2+2ax+c經過B（1，0），C（0，3）兩點，與x軸交于另一點A，點D是拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，連接AC、BC，在拋物線上是否存在點M，使∠ACM＝∠BCO，若存在，直接寫出M點的坐標：若不存在，請說明理由．【變式2】（2022秋?瓦房店市月考）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2﹣4x﹣3與x軸交于A、B兩點（點B在點A的左側），拋物線對稱軸與直線BC交于點E，與x軸交于點F．（1）求直線BC的解析式；（2）如圖1，拋物線的頂點為D，拋物線的對稱軸與線段BC交于點E，連接AE，點P在拋物線上，若∠EAC＝∠DAP，求點P的坐標．【類型三：二倍角或半角的存在性問題】【典例3】（2022?惠山區校級二模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2+bx+c與y軸交于點C，與x軸交于A、B兩點，直線y＝x+3恰好經過B、C兩點．（1）求二次函數的表達式；（2）點D是拋物線上一動點，連接DB、DC．若△BCD的面積為6，求點D的坐標；（3）設E是拋物線上的一個動點，連結AE，若∠BAE＝2∠ACB，求點E的坐標．【變式3-1】（2022?黃石）如圖，拋物線y＝﹣x2+x+4與坐標軸分別交于A，B，C三點，P是第一象限內拋物線上的一點且橫坐標為m．（1）A，B，C三點的坐標為，，．（2）連接AP，交線段BC于點D，①當CP與x軸平行時，求的值；②當CP與x軸不平行時，求的最大值；（3）連接CP，是否存在點P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，請說明理由．【變式3-2】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交與A、B兩點（點A在點B的左側），且過點（-2，4）.（1）直接寫出a的值和點B的坐標；（2）將拋物線向右平移2個單位長度，所得的新拋物線與x軸交于M，N兩點，兩拋物線交于點P，求點M到直線PB的距離；（3）在（2）的條件下，若點D為直線BP上的一動點，是否存在點D，使得？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由.【類型四：角度等于定值問題】【典例4】（2022?盤錦）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A，B（4，0）兩點（A在B的左側），與y軸交于點C（0，﹣4）．點P在拋物線上，連接BC，BP．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，若點P在第二象限，點F為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸l與線段BC交于點G，當∠PBC+∠CFG＝90°時，求點P的橫坐標．【變式4-1】（2021?內江）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣2，0）、B（6，0）兩點，與y軸交于點C．直線l與拋物線交于A、D兩點，與y軸交于點E，點D的坐標為（4，3）．（1）求拋物線的解析式與直線l的解析式；（2）若點Q是y軸上的點，且∠ADQ＝45°，求點Q的坐標．【變式4-2】（2020?淄博）如圖，在直角坐標系中，四邊形OABC是平行四邊形，經過A（﹣2，0），B，C三點的拋物線y＝ax2+bx+（a＜0）與x軸的另一個交點為D，其頂點為M，對稱軸與x軸交于點E．（1）求這條拋物線對應的函數表達式；（2）已知P是拋物線對稱軸上的點，滿足在直線MD上存在唯一的點Q，使得∠PQE＝45°，求點P的坐標．【變式4-3】（2022?羅湖區校級一模）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點，交y軸于點C，點P是拋物線上一點，連接AC、BC．（1）求拋物線的表達式；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得∠QBA＝75°？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．專題04二次函數與角度有關的問題（知識解讀）【專題說明】二次函數背景下與角有關的存在性問題，是各地中考和模擬考試壓軸題的熱點問題，這種類型的題目綜合性較強，更重要的是涉及方程與函數思想、數形結合思想、分類討論等重要的思想方法，對學生分析、解決問題的能力具有較高的要求。為此，我將與角有關的壓軸題常見的題型及解法做一整理【知識點梳理】類型一：將等角問題轉化成等腰三角形或平行線問題。如例1：拋物線y=-x+3x+4,與坐標軸交于點A、B、C，CP⊥y軸交拋物線與點P，點M為A、C間拋物線上一點（包括端點），求滿足∠MPO=∠POA的點M的坐標。分析：顯然符合條件的點M有兩個，OP上方一個，OP下方一個、當M在OP上方時，由∠MPO=∠POA可知PM//OA,則M與C點重合。當M在OP下方時，∠MPO=∠POA，這兩角組成的三角形是等腰三角形。設PM與x軸交于點D，坐標為D(n,0)，由兩點間距離公式可表示出OD、PD長，根據OD=PD列方程即可求出D點坐標，再求出PD直線表達式與拋物線表達式聯立，進而求出M點坐標。類型二：將等角問題轉化成等角所在三角形相似或等角對應的三角函數（通常是正切值）相等問題。這類問題有兩種情況：一種是所求角的一邊與坐標軸平行（重合）；例2如圖，拋物線y=+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其對稱軸交拋物線于點D，交x軸于點E，已知OB=OC=6.（1）求拋物線的解析式及點D的坐標；（2）連接BD，F為拋物線上一動點，當∠FAB=∠EDB時，求點F的坐標；解析：通過已知條件易得拋物線表達式為及各定點坐標，第二問中的F有兩種情況：x軸上方一個，x軸下方一個。在Rt⊿BDE中，可知tan∠EDB=，則tan∠FAB=，過F作x軸垂線，構造∠FAB所在直角三角形，接著通過設F點坐標，表示FH和AH長，根據tan∠FAB=列方程，或利用相似三角形對應邊成比例列式，從而求出點F坐標，由于表示FH時加了絕對值，已經考慮到了上下兩種情況，這樣兩個F就都求出來了。還可以從圖形的角度發現一對反8的相似三角形，推出AF與BD是垂直關系，進而求出AF的直線表達式與拋物線表達式聯立求出交點F的坐標，這也是不錯的方法。另一種是所求角的邊不與坐標軸平行。例3:如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+2與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y=-x+bx+c經過A，C兩點，與x軸的另一交點為點B．（1）求拋物線的函數表達式；（2）x軸上有一點E（，0），連接CE，點D為直線AC上方拋物線上一動點，過點D作DF⊥AC，垂足為點F，連接CD，是否存在點D，使得△CDF中的某個角恰好等于∠AEC？若存在，求點D的橫坐標；若不存在，請說明理由。分析：通過已知條件易得拋物線表達式為y=-x-x+2及各定點坐標。第二問要分類討論，當∠CDF=∠AEC或是∠DCF=∠AEC時，先來討論∠CDF=∠AEC的情況。在Rt⊿COE中，可知tan∠AEC=，當∠CDF=∠AEC時，tan∠CDF=,即CF:DF=4：3，然后，在直角頂點F處構建一線三垂直模型，由CF:DF=4：3，設CF=3m,DF=4m，由△CFH∽△CAO可得FH=8m，同理DG=6m，由GI=HO=2-4m，可得DI=2+2m,從而寫出D點坐標（-11m,2+2m）,將其代入拋物線表達式求得D點坐標。或是在A處作垂直構建一線三垂直模型，利用相似寫出K點坐標，在求出CK直線表達式與拋物線表達式聯立從而求出交點D的坐標。當∠DCF=∠AEC時,可用同樣方法求出D點坐標。類型三：二倍角或半角的存在性問題.二倍角的構造方法如圖，已知，我們可以利用等腰三角形和外角定理去構造，在BC邊上找一點D，使得BD=AD，則.這樣我們就構造出了二倍角，接下來利用三角函數（一般用正切）計算就可以了。半角的構造方法如圖，已知，構造半角可以用下面兩種方法：方法一：和前面二倍角的構造相對應，利用外角定理，如圖，延長CB至D，使得BD=BA，則，若AC、BC的長度已知，則容易求出tan∠D的值，從而進行相關計算。方法二：如圖，直接做的角平分線BE，若AC、BC的長度已知，則容易求出tan∠EBC的值。【典例分析】【類型一：將等角問題轉化成等腰三角形或平行線問題】【典例1】（2022?菏澤）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點，與y軸交于點C（0，4），連接AC、BC．（1）求拋物線的表達式；（2）點P是拋物線上的一動點，當∠PCB＝∠ABC時，求點P的坐標．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點，與y軸交于點C（0，4），∴，解得：．∴拋物線的表達式為y＝﹣+x+4；（2）①當點P在BC上方時，如圖，∵∠PCB＝∠ABC，∴PC∥AB，∴點C，P的縱坐標相等，∴點P的縱坐標為4，令y＝4，則﹣+x+4＝4，解得：x＝0或x＝6，∴P（6，4）；②當點P在BC下方時，如圖，設PC交x軸于點H，∵∠PCB＝∠ABC，∴HC＝HB．設HB＝HC＝m，∴OH＝OB﹣HB＝8﹣m，在Rt△COH中，∵OC2+OH2＝CH2，∴42+（8﹣m）2＝m2，解得：m＝5，∴OH＝3，∴H（3，0）．設直線PC的解析式為y＝kx+n，∴，解得：．∴y＝﹣x+4．∴，解得：，．∴P（，﹣）．綜上，點P的坐標為（6，4）或（，﹣）．【變式1】（2022秋?大連月考）拋物線y＝﹣x2+bx+c過點A（4，0），B（0，2）．（1）求直線AB的解析式和拋物線的解析式；（2）如圖1，點P在拋物線上，∠PBA＝∠BAO，求點P的坐標．【解答】解：（1）設直線AB的解析式為y＝kx+m，∴，解得，∴y＝﹣x+2，將A（4，0），B（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+x+2；（2）當BP∥x軸時，∠PBA＝∠BAO，∴P（2，2）；設BP與x軸交于點Q，∵∠PBA＝∠BAO，∴BQ＝AQ，在Rt△BOQ中，BQ2＝OB2+OQ2＝4+（4﹣BQ）2，解得BQ＝，∴AQ＝，OQ＝，∴Q（，0），設直線BQ的解析式為y＝k'x+b'，∴，解得，∴y＝﹣x+2，聯立方程組，解得（舍）或，∴P（，﹣）；綜上所述：P點坐標為（，0）或（，﹣）．【類型二：將等角問題轉化成等角所在三角形相似或等角對應的三角函數（通常是正切值）相等問題】【典例2】（2022秋?大連月考）如圖，拋物線y＝ax2+2ax+c經過B（1，0），C（0，3）兩點，與x軸交于另一點A，點D是拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，連接AC、BC，在拋物線上是否存在點M，使∠ACM＝∠BCO，若存在，直接寫出M點的坐標：若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）把B（1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2ax+c得：，解得：，∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）分兩種情況：設M（x，﹣x2﹣2x+3），①如圖，當CM交x軸于G時，∵∠BCO＝∠ACM，∴∠ACG＝∠OCB，∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC＝45°，∴∠BCM＝45°，∵∠ACB＝∠BCM+∠ACG，∠BGC＝∠OAC+∠ACG，∴∠ACB＝∠BGC，∵∠CBG＝∠CBA，∴△BCG∽△BAC，∴，∵OB＝1，OC＝3，∴BC＝，設G（﹣t，0），∴，∴t＝，∴G（﹣，0），同理可求得CG的解析式為：y＝2x+3，則，∴﹣x2﹣2x+3＝2x+3，x2+4x＝0，x（x+4）＝0，x1＝0（舍），x2＝﹣4，當x＝﹣4時，y＝﹣5，∴M（﹣4，﹣5）；②如圖，當CM與x軸交于點N時，過B作BP⊥AC于P，∵∠OAC＝45°，∴△ABP是等腰直角三角形，∵AB＝4，∴AP＝BP＝＝2，∵AC＝＝3，∴CP＝AC﹣AP＝，∵∠BCO＝∠ACM，∴∠ACB＝∠OCM，∵∠BPC＝∠COA＝90°，∴△BCP∽△NCO，∴，∴，∴NO＝6，∴N（﹣6，0），同理可得NC的解析式為：y＝x+3，聯立方程組得：，解得：x1＝0，x2＝﹣，因為點M在拋物線上，所以當x＝﹣時，y＝，∴M（﹣，），綜上所述，存在點M（﹣4，﹣5）或（﹣，），使得∠ACM＝∠BCO．【變式2】（2022秋?瓦房店市月考）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2﹣4x﹣3與x軸交于A、B兩點（點B在點A的左側），拋物線對稱軸與直線BC交于點E，與x軸交于點F．（1）求直線BC的解析式；（2）如圖1，拋物線的頂點為D，拋物線的對稱軸與線段BC交于點E，連接AE，點P在拋物線上，若∠EAC＝∠DAP，求點P的坐標．【解答】解：（1）在y＝﹣x2﹣4x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，令y＝0得x＝﹣3或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），設直線BC解析式為y＝kx+b，把B（﹣3，0），C（0，﹣3）代入得：，解得，∴直線BC的解析式為y＝﹣x﹣3；（2）過A作AC的垂線，交DE于G，交拋物線于P，如圖：由y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣（x+2）2+1可得頂點D（﹣2，1），對稱軸是直線x＝﹣2，在y＝﹣x﹣3中，令x＝﹣2得y＝﹣1，∴E（﹣2，﹣1），F（﹣2，0），∵A（﹣1，0），∴AF＝1，DE2＝（1+1）2＝4，AD2＝（﹣1+2）2+（0﹣1）2＝2，AE2＝（﹣2+1）2+（﹣1﹣0）2＝2，∴AD2+AE2＝DE2，∴∠DAE＝90°＝∠CAP，∴∠CAE＝∠DAP，即P是滿足條件的點，∵∠FAG＝90°﹣∠OAC＝∠OCA，∠GFA＝90°＝∠AOC，∴△FAG∽△OCA，∴＝，即＝，∴FG＝，∴G（﹣2，﹣），由G（﹣2，﹣），A（﹣1，0）可得直線AG解析式為y＝x+，解得或，∴P的坐標為（﹣，﹣）．【類型三：二倍角或半角的存在性問題】【典例3】（2022?惠山區校級二模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2+bx+c與y軸交于點C，與x軸交于A、B兩點，直線y＝x+3恰好經過B、C兩點．（1）求二次函數的表達式；（2）點D是拋物線上一動點，連接DB、DC．若△BCD的面積為6，求點D的坐標；（3）設E是拋物線上的一個動點，連結AE，若∠BAE＝2∠ACB，求點E的坐標．【解答】解：（1）令y＝0，則x＝﹣3，∴B（﹣3，0），令x＝0，則y＝3，∴C（0，3），將點B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝x2+bx+c，∴，∴，∴y＝x2+4x+3；（2）點D在直線BC上方時，過點D作DP⊥x軸交AC于點P，設D（t，t2+4t+3），則P（t，t+3），∴DP＝t2+4t+3﹣t﹣3＝t2+3t，∴S△BCD＝S△CPD﹣S△PBD＝×DP×（﹣t+3+t）＝（t2+3t）∵△BCD的面積為6，∴（t2+3t）＝6，∴t＝1或t＝﹣4，∴D（1，8）或D（﹣4，3）；當點D在直線BC下方時，S△BCD＝S△CPD+S△PBD＝×DP×3＝（﹣t2﹣3t）＝6，∴（t2+3t）＝﹣6，∴此時t不存在，綜上所述：D點坐標為（1，8）或（﹣4，3）；（3）設E（m，m2+4m+3），過點A作AG⊥BC交于點G，在BC上截取HC＝HA，∵B（﹣3，0），C（0，3），∴OB＝OC，BC＝3，∴∠CBO＝45°，∵x2+4x+3＝0時，x＝﹣1或x＝﹣3，∴A（﹣1，0），∴AB＝2，在Rt△ABG中，BG＝AG＝，∴CG＝2，∵HC＝HA，∴∠GHA＝2∠ACB，在Rt△AGH中，HA2＝（CG﹣HA）2+AG2，∴HA2＝（2﹣HA）2+2，解得HA＝，∴HG＝，∴tan∠GHA＝＝＝，∵∠BAE＝2∠ACB，∴∠BAE＝∠GHA，∴＝，解得m＝﹣1（舍）或m＝﹣或m＝﹣，∴E點坐標為（﹣，﹣）或（﹣，）．【變式3-1】（2022?黃石）如圖，拋物線y＝﹣x2+x+4與坐標軸分別交于A，B，C三點，P是第一象限內拋物線上的一點且橫坐標為m．（1）A，B，C三點的坐標為，，．（2）連接AP，交線段BC于點D，①當CP與x軸平行時，求的值；②當CP與x軸不平行時，求的最大值；（3）連接CP，是否存在點P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）令x＝0，則y＝4，∴C（0，4）；令y＝0，則﹣x2+x+4＝0，∴x＝﹣2或x＝3，∴A（﹣2，0），B（3，0）．故答案為：（﹣2，0）；（3，0）；（0，4）．（2）①∵CP∥x軸，C（0，4），∴P（1，4），∴CP＝1，AB＝5，∵CP∥x軸，∴＝＝．②如圖，過點P作PQ∥AB交BC于點Q，∴直線BC的解析式為：y＝﹣x+4．設點P的橫坐標為m，則P（m，﹣m2+m+4），Q（m2﹣m，﹣m2+m+4）．∴PQ＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+m，∵PQ∥AB，∴＝＝＝﹣（m﹣）2+，∴當m＝時，的最大值為．另解：分別過點P，A作y軸的平行線，交直線BC于兩點，仿照以上解法即可求解．（3）假設存在點P使得∠BCO+2∠BCP＝90°，即0＜m＜3．過點C作CF∥x軸交拋物線于點F，∵∠BCO+2∠PCB＝90°，∠BCO+∠BCF+∠MCF＝90°，∴∠MCF＝∠BCP，延長CP交x軸于點M，∵CF∥x軸，∴∠PCF＝∠BMC，∴∠BCP＝∠BMC，∴△CBM為等腰三角形，∵BC＝5，∴BM＝5，OM＝8，∴M（8，0），∴直線CM的解析式為：y＝﹣x+4，令﹣x2+x+4＝﹣x+4，解得x＝或x＝0（舍），∴存在點P滿足題意，此時m＝．【變式3-2】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交與A、B兩點（點A在點B的左側），且過點（-2，4）.（1）直接寫出a的值和點B的坐標；（2）將拋物線向右平移2個單位長度，所得的新拋物線與x軸交于M，N兩點，兩拋物線交于點P，求點M到直線PB的距離；（3）在（2）的條件下，若點D為直線BP上的一動點，是否存在點D，使得？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由.【解答】（1）；B（3，0）（2）A（—5，0）、M（—3，0）、N（3，0）設點M到直線PB的距離為h，則==，∴h=（3）存在，理由：設，如圖，過點B作的平分線BH交y軸于點H，過點H作HG⊥PB于點G，設OH=m，則HG=m，PH=4—m，PG=PB—BG=2，在Rt△PGH中，GH2+PG2=PH2，即m2+22=（4—m）2，解得：m=∴tan∠HBO=，∴故直線AD的表達式為：①同理直線PB的表達式為：②聯立①②并解得：，∴點D（）.【類型四：角度等于定值問題】【典例4】（2022?盤錦）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A，B（4，0）兩點（A在B的左側），與y軸交于點C（0，﹣4）．點P在拋物線上，連接BC，BP．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，若點P在第二象限，點F為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸l與線段BC交于點G，當∠PBC+∠CFG＝90°時，求點P的橫坐標．【解答】解：（1）將B（4，0）、C（0，﹣4）兩點代入y＝x2+bx+c得，，解得：，∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣3x﹣4；（2）如圖，作CE⊥l于E，PQ⊥BC于Q，PN⊥x軸于N，連接PC交x軸于點H，設P（n，n2﹣3n﹣4），PC的表達式為：y＝kx+d（k≠0），將P，C代入y＝kx+d（k≠0）得，，解得：，∴PC的表達式為：y＝（n﹣3）x﹣4，將y＝0代入y＝（n﹣3）x﹣4得，0＝（n﹣3）x﹣4，即，∴，∵S△PCB＝S△PHB+S△HCB，∴PQ?BC＝PN?HB+OC?HB，∵，∴，∵，由題可知，，∴，將代入y＝x2﹣3x﹣4得，，∴，∴，∵∠PBC+∠CFG＝90°，PQ⊥BC，CE⊥l，∴∠PBQ＝∠FCE，∠CEF＝∠PQB，∴△CEF∽△PQB，∴，∴，解得：（舍去）．∴點P的橫坐標為﹣，方法二：將CF繞點F順時針旋轉90°得C'，連接CC'，作CE⊥l于E，求出點C'（），從而求出直線CC'的解析式，∴∠ECF＝∠BCC'＝∠PBC，∴BP∥CC'，求出直線BP的解析式與拋物線求交點即可．【變式4-1】（2021?內江）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣2，0）、B（6，0）兩點，與y軸交于點C．直線l與拋物線交于A、D兩點，與y軸交于點E，點D的坐標為（4，3）．（1）求拋物線的解析式與直線l的解析式；（2）若點Q是y軸上的點，且∠ADQ＝45°，求點Q的坐標．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣2，0）、B（6，0）兩點，∴設拋物線的解析式為y＝a（x+2）（x﹣6），∵D（4，3）在拋物線上，∴3＝a（4+2）×（4﹣6），解得a＝﹣，∴拋物線的解析式為y＝﹣（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+x+3，∵直線l經過A（﹣2，0）、D（4，3），設直線l的解析式為y＝kx+m（k≠0），則，解得，，∴直線l的解析式為y＝x+1；（2）如圖中，將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AT，則T（﹣5，6），設DT交y軸于點Q，則∠ADQ＝45°，∵D（4，3），∴直線DT的解析式為y＝﹣x+，