專題11填空壓軸典型題1．（2023?安徽）如圖，是坐標(biāo)原點(diǎn)，的直角頂點(diǎn)在軸的正半軸上，，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過斜邊的中點(diǎn)．（1）；（2）為該反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，若，則的值為．【答案】（1）；（2）4【詳解】（1）在中，，，，，是的中點(diǎn)，，如圖，過點(diǎn)作于，，，在中，，，．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過斜邊的中點(diǎn)，，解得．故答案為：．（2）設(shè)直線的解析式為，則，解得，的解析式為，，直線的解析式為，點(diǎn)既在反比例函數(shù)圖象上，又在直線上，聯(lián)立得，解得，，當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為，時，，；當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為，時，，；綜上，．故答案為：4．2．（2022?安徽）如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)在邊上，是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，分別交于點(diǎn)，，過點(diǎn)作的垂線交的延長線于點(diǎn)．連接，請完成下列問題：（1）；（2）若，，則．【答案】（1）45；（2）【詳解】由題知，是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，，，在和中，，，，，即，，，即是等腰直角三角形，，故答案為：；（2），，由（1）知，是等腰直角三角形，，，延長交延長線于點(diǎn)，，，，即，，同理，，即，，，，故答案為：．3．（2021?安徽）設(shè)拋物線，其中為實(shí)數(shù)．（1）若拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則；（2）將拋物線向上平移2個單位，所得拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值是．【答案】（1）0；（2）2【詳解】（1）點(diǎn)代入拋物線解析式，得，解得．故答案為：0．（2）向上平移2個單位可得，，，拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，，的最大值為2．故答案為：2．4．（2020?安徽）在數(shù)學(xué)探究活動中，敏敏進(jìn)行了如下操作：如圖，將四邊形紙片沿過點(diǎn)的直線折疊，使得點(diǎn)落在上的點(diǎn)處．折痕為；再將，分別沿，折疊，此時點(diǎn)，落在上的同一點(diǎn)處．請完成下列探究：（1）的大小為；（2）當(dāng)四邊形是平行四邊形時，的值為．【答案】（1）30；（2）【詳解】（1）由折疊的性質(zhì)可得：，，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：30；（2）由折疊的性質(zhì)可得：，，四邊形是平行四邊形，，，又，，，，，，，，故答案為：．5．（2019?安徽）在平面直角坐標(biāo)系中，垂直于軸的直線分別與函數(shù)和的圖象相交于，兩點(diǎn)．若平移直線，可以使，都在軸的下方，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】或；【詳解】平移直線，可以使，都在軸的下方，令，，令，當(dāng)時，；當(dāng)時，；①當(dāng)時，與有解，則，②當(dāng)時，與有解，，則；；故答案為或；6．（2023?蜀山區(qū)校級一模）已知一元二次方程的兩根是和2，則拋物線的對稱軸為．【答案】直線【詳解】元二次方程的兩根是和2，，即，拋物線的對稱軸為直線，故答案為：直線．7．（2023?瑤海區(qū)一模）在同一平面直角坐標(biāo)系中，已知函數(shù)，，函數(shù)的圖象經(jīng)過的頂點(diǎn)．請完成下列探究：（1）函數(shù)的對稱軸為；（2）若，當(dāng)時，自變量的取值范圍是．【答案】（1）直線；（2）或【詳解】（1），函數(shù)的頂點(diǎn)為，，函數(shù)的圖象經(jīng)過的頂點(diǎn)，，即，，，函數(shù)的對稱軸為直線．故答案為：直線；②，，，當(dāng)時，則．，或，解得或．若，當(dāng)時，自變量的取值范圍是或．故答案為：或．方法二：解：根據(jù)題意畫出函數(shù)的圖象如圖：函數(shù)經(jīng)過原點(diǎn)，且對稱軸為直線．拋物線與軸的另一個交點(diǎn)為，函數(shù)的圖象與的交于軸上一點(diǎn)，若，當(dāng)時，自變量的取值范圍是或．8．（2023?合肥一模）如圖．已知正方形紙片的邊，點(diǎn)在邊上，將沿折疊，點(diǎn)的應(yīng)點(diǎn)為．（1）若時，的長為；（2）若點(diǎn)到邊或的距離為1，則線段的長為．【答案】（1）2；（2）或【詳解】（1）在正方形中，，根據(jù)折疊可知，，，，，，，，，，，故答案為：2；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，如圖所示：則，在正方形中，，，四邊形是矩形，，，，，，點(diǎn)到邊或的距離為1，分情況討論：①當(dāng)時，則，根據(jù)折疊可知，，，在△中，根據(jù)勾股定理，，，設(shè)，在△中，根據(jù)勾股定理，，解得，，②當(dāng)時，則，在△中，根據(jù)勾股定理，，，設(shè)，在△中，根據(jù)勾股定理，，解得，，綜上所述，的長為或，故答案為：或．9．（2023?廬陽區(qū)校級一模）已知、、、四個數(shù)滿足：，，其中、、為非負(fù)數(shù)．（1）若，則；（2）可取的整數(shù)有個．【答案】（1）；（2）15【詳解】（1）設(shè)，則，，．，．．．故答案為：．（2）由（1）得，，，．．、、為非負(fù)數(shù)，．．可取的整數(shù)有20或21或22或23或24或25或26或27或28或29或30或31或32或33或34，共15個．故答案為：15．10．（2023?合肥三模）在中，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，（1）如圖，當(dāng)落在邊上時，的長為；（2）當(dāng)時，則的面積為．【答案】（1）；（2）或【詳解】（1）在中，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，，，故答案為：；（2）設(shè)交于，①當(dāng)、在直線兩側(cè)時，，為等邊三角形，在和中，，，垂直平分，，，的面積為②當(dāng)、在直線同側(cè)時，在和中，，，，延長交于點(diǎn)，則于，且，的面積為的面積為，的面積為的面積為，的面積為．綜上可知，的面積為或．故答案為：或．11．（2023?廬陽區(qū)一模）正方形紙片中，，分別是、上的點(diǎn)，且，交于．若為中點(diǎn)，則；若，則．【答案】2；【詳解】（1）連接，如圖1，四邊形是正方形，，且，，，，，為中點(diǎn)，；（2）過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，如圖2，在中，，，，，，即，，，，即，，，，，，，，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，，，．故答案為：2；．12．（2023?合肥模擬）如圖，在矩形中，，，是矩形內(nèi)部一動點(diǎn)，且滿足，則線段的最小值是；當(dāng)取最小值時，延長線交線段于，則的長為．【答案】2；3【詳解】解：（1）四邊形矩形，，，，，，以為直徑作，經(jīng)過點(diǎn)，連接，交于，此時長最小．，，，（2）作交于，，，，，，．故答案為：2；3．13．（2023?蜀山區(qū)二模）在平行四邊形中，，，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，連接，將沿翻折至，連接．（1）如圖1，連接，若點(diǎn)為邊中點(diǎn)，且時，則；（2）如圖2，連接，當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時，恰有，則的長為．【答案】（1）45；（2）【詳解】（1）設(shè)、交于點(diǎn)，由翻折得：垂直平分，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，，，，，，，，故答案為：45；（2）由翻折得：，，，四邊形為平行四邊形，，，，，，，即，，，，在與中，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：．14．（2023?蜀山區(qū)校級一模）已知點(diǎn)是拋物線上一動點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)到軸的距離不大于1時，的取值范圍是；（2）當(dāng)點(diǎn)到直線的距離不大于時，的取值范圍是，則的值為．【答案】（1）；（2）0或5【詳解】（1），拋物線開口向上，對稱軸為直線，頂點(diǎn)為，函數(shù)有最小值1，點(diǎn)是拋物線上，且點(diǎn)到軸的距離不大于1，，時，；時，，．故答案為：；（2）當(dāng)時，則，解得或；當(dāng)時，則，解得或；的取值范圍是，或，點(diǎn)到直線的距離不大于，，或，，的值為0或5．故答案為：0或5．15．（2023?瑤海區(qū)二模）中，，平分，點(diǎn)為中點(diǎn)，，．（1）寫出一對相似三角形；（2）的長為．【答案】（1）；（2）【詳解】（1），，，故答案為：．（2）點(diǎn)為中點(diǎn)，，，設(shè)，，，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，則，平分，，，在和中，，，，在中，，，在中，由勾股定理得，，故答案為：．16．（2023?包河區(qū)二模）中，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)．（1）如圖1，若與，于，，，則；（2）如圖2，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，則．【答案】（1）10；（2）62.5【詳解】（1），，，四邊形為矩形，，在中，由勾股定理得，，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，，故答案為：10；（2）如圖，過點(diǎn)作，，垂足分別為點(diǎn)、，過點(diǎn)作，，垂足分別為點(diǎn)、，則四邊形為矩形，，，點(diǎn)為的斜邊的中點(diǎn)，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，即，，，同理可得，，故答案為：62.5．17．（2023?廬陽區(qū)二模）在正方形中，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．（1）當(dāng)時，；（2）在上取點(diǎn)，使，連接．若，當(dāng)時，的最小值為．【答案】（1）135；（2）【詳解】（1）如圖，連接，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，，，是等邊三角形，，，，，，，故答案為：135；（2）如圖，在上截取，連接，，，，，又，，，，，當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線時，有最小值，最小值為的長，，故答案為：．18．（2023?廬陽區(qū)校級二模）和的位置如圖，，，連接，且，則：（1）若，則（用含的代數(shù)式來表示）；（2）若，則的長為．【答案】（1）；（2）【詳解】（1），，，，，，是等腰直角三角形，，，故答案為：；（2），在和中，，，，，是等腰三角形，，，即，，，，設(shè)，，在中，利用勾股定理得，即，解得，．故答案為：．19．（2023?廬江縣模擬）已知：拋物線．（1）此拋物線的對稱軸為直線；（2）當(dāng)時，的最小值為，則．【答案】（1）1；（2）4或【詳解】（1），此拋物線的對稱軸為直線；故答案為：；（2）的對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時，在，函數(shù)有最小值，的最小值為，，；當(dāng)時，在，當(dāng)時，函數(shù)有最小值，，解得；綜上所述：的值為4或．故答案為：4或．20．（2023?合肥二模）已知函數(shù)為常數(shù)）的圖形經(jīng)過點(diǎn)．（1）．（2）當(dāng)時，的最大值與最小值之和為2，則的值．【答案】（1）4；（2）或【詳解】（1）函數(shù)為常數(shù)）的圖形經(jīng)過點(diǎn)，，解得，故答案為：4；（2）由（1）得，函數(shù)的解析式為，，故拋物線的對稱軸為直線，二次函數(shù)的最小值為，的對稱點(diǎn)為，當(dāng)時，的最大值與最小值之和為2，當(dāng)時，最大值為5，時，取得最小值，且為，根據(jù)題意，得，解得，（舍去），故；當(dāng)時，最大值為5，時，取得最小值，且為，根據(jù)題意，得，不符合題意；當(dāng)時，時，取得最小值，且為，時，取得最大值，且為，根據(jù)題意，得，解得（舍去），故；故答案為或．21．（2023?廬陽區(qū)校級一模）已知二次函數(shù)．（1）當(dāng)時，二次函數(shù)的最小值為；（2）當(dāng)時，二次函數(shù)的最小值為1，則．【答案】（1）；（2）或【詳解】（1）當(dāng)時，，，當(dāng)時，有最小值，最小值為，故答案為：；（2）對于，對稱軸為，①當(dāng)，即時，此時對稱軸在的左側(cè)，拋物線開口向上，當(dāng)時，隨的增大而增大，當(dāng)時，有最小值1，即，解得；②當(dāng)時，即時，拋物線開口向上，當(dāng)時，有最小值1，即，整理得：，解得（舍去），；；③當(dāng)時，即時，拋物線開口向上，當(dāng)時，隨的增大而減小，當(dāng)時，有最小值，即，解得，不合題意，舍去，綜上所述，或．故答案為：或．22．（2023?廬陽區(qū)校級一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形中，點(diǎn)，，點(diǎn)、分別是線段、上的動點(diǎn)，且四邊形也是矩形．（1）；（2）若是等腰三角形，．【答案】（1）；（2）或或【詳解】（1）連接，矩形中，點(diǎn)，，，，，，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，，，，故答案為：；（2），，，，，，，當(dāng)時，則，，當(dāng)時，則點(diǎn)在的中垂線上，即點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，當(dāng)時，如圖，過點(diǎn)作于，，，，，，，，綜上所述：的長為或或，故答案為：或或．23．（2023?合肥一模）如圖，在邊長為10的正方形中，，分別是、的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，垂足為，延長分別交，于，，求：（1）；（2）．【答案】（1）10；（2）【詳解】（1）過點(diǎn)作于，于，四邊形為正方形，邊長為10，，，，分別是、的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，，即，，，，．故答案為：10；（2）過點(diǎn)作交于，，，，四邊形為矩形，，，，，，，，，，，，，，即，，，，，即，，，，即．故答案為：．24．（2023?廬陽區(qū)校級一模）已知拋物線，其中為實(shí)數(shù)．（1）若拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則；（2）該拋物線經(jīng)過點(diǎn)，已知點(diǎn)，，若拋物線與線段有交點(diǎn)，則的取值范圍為．【答案】（1）4；（2）【詳解】（1）將代入得，，解得，故答案為：4．（2）將代入得，，解得，，拋物線對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時，拋物線開口向上，頂點(diǎn)在點(diǎn)下方，拋物線經(jīng)過，點(diǎn)在拋物線上方，拋物線與線段無交點(diǎn)，當(dāng)時，拋物線開口向下，，拋物線頂點(diǎn)在點(diǎn)上方，當(dāng)點(diǎn)在拋物線上或拋物線上方時滿足題意，即，解得，故答案為：．25．（2023?合肥模擬）已知二次函數(shù)，（1）隨著的取值變化，圖象除經(jīng)過定點(diǎn)，請寫出圖象經(jīng)過的另一個定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若拋物線與軸有交點(diǎn)，過拋物線的頂點(diǎn)與定點(diǎn)作直線，該直線與軸交于點(diǎn)，且，則的取值范圍為．【答案】（1）；（2）或【詳解】（1）二次函數(shù)的對稱軸為，由二次函數(shù)圖象過點(diǎn)，對稱軸為，因此二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，故答案為：；（2）拋物線與軸有交點(diǎn)，△，或，，拋物線的頂點(diǎn)為，設(shè)過拋物線的頂點(diǎn)與定點(diǎn)的直線為，代入得，，，過頂點(diǎn)與定點(diǎn)的直線為，令，則，與軸的交點(diǎn)為，，該直線與軸交于點(diǎn)，且，，當(dāng)時，，即，時，，即，或．26．（2023?包河區(qū)一模）已知拋物線．（1）若，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）直線與直線交于點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)．若當(dāng)時，的長度隨的增大而減小，則的取值范圍是．【答案】（1）；（2）【詳解】（1），當(dāng)時，，頂點(diǎn)坐標(biāo)為：；（2）當(dāng)時，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，，點(diǎn)恒在點(diǎn)上方，，可得：當(dāng)時，長度的隨著增大而減小，當(dāng)時，的長度隨的增大而減小，，解得：；故答案為：；．27．（2023?合肥模擬）如圖，點(diǎn)在正方形內(nèi)，，連接、、、．（1）若，則；（2）若，，則的長為．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）四邊形是正方形，，，，設(shè)，則，，，，；故答案為：；（2）如圖，過作，過作，與相交于，連接，，，為等腰直角三角形，，，，，，，，在中，，，．28．（2023?蜀山區(qū)一模）已知一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)．（1）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則的值為；（2）若點(diǎn)，點(diǎn)均在軸的上方，則的取值范圍為．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）由題意得：，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，，將代入得：，解得：，故答案為：；（2）當(dāng)時，，解得或，當(dāng)時，若點(diǎn)，均在軸的上方，當(dāng)時，，，，當(dāng)時，若點(diǎn)，均在軸的上方，當(dāng)時，，，，當(dāng)時，點(diǎn)，均在軸的上方，綜上，．故答案為：．29．（2023?廬陽區(qū)校級三模）如圖，在紙片中，，，，點(diǎn)，分別在、邊上，連接，將沿翻折，使點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，且四邊形是菱形．（1）若點(diǎn)在上，則菱形的邊長等于；（2）連接，則的長的最小值為．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）點(diǎn)在上，如圖1，四邊形是菱形，，，，，，設(shè)，在中，，，，，，，，，，菱形的邊長等于，故答案為：；（2）如圖2，連接交于點(diǎn)，設(shè)與交于點(diǎn)，四邊形是菱形，平分，點(diǎn)在的平分線上運(yùn)動，當(dāng)時，的長最小．在菱形中，，，，，，，．在中，，，，，，，，，，，，，，，．故答案為：．30．（2023?廬陽區(qū)模擬）正方形中，，點(diǎn)為射線上一動點(diǎn)，，垂足為，連接、，當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時，；在點(diǎn)運(yùn)動的過程中，的最小值為．【答案】；【詳解】如圖，過點(diǎn)作于，，，，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，，，，，，；如圖，把繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，取的中點(diǎn)，連接、，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得：，，，，，，，，，，的最小值為．故答案為：；．31．（2023?合肥二模）已知：關(guān)于的二次函數(shù)．（1）當(dāng)時，函數(shù)的最大值為．（2）若函數(shù)的最大值為，則的最小值為．【答案】（1）2；（2）【詳解】（1）當(dāng)時，，，隨的增大而減小，當(dāng)時，有最大值為：2，故答案為：2；（2），拋物線開口向上，對稱軸為：，，①當(dāng)時，即時，與時的函數(shù)值相同．拋物線的解析式為，在范圍內(nèi)，或時，最大值；②時，即時，對應(yīng)的函數(shù)值大于對應(yīng)的函數(shù)值，；③當(dāng)時，即，對應(yīng)的函數(shù)值大于對應(yīng)的函數(shù)值，，的最小值為．故答案為：．32．（2023?瑤海區(qū)三模）如圖，在矩形紙片中，，，是邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），將紙片沿過點(diǎn)的一條直線折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕交于點(diǎn)，沿直線再折疊紙片，點(diǎn)落在點(diǎn)處，且、、三點(diǎn)共線．則：（1）的度數(shù)為；（2）線段長的最大值為．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）由折疊可知：，，，；故答案為：；（2）設(shè)，，則，，，，，，，整理得：，由題意可知，該方程有實(shí)數(shù)根，△，解得，線段長的最大值為．故答案為：．33．（2023?廬江縣二模）如圖，在正方形中，點(diǎn)、分別在邊、上，且，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）若正方形的邊長為2，則的周長是．（2）若，則．【答案】（1）4；（2）【詳解】（1）過作，交延長線于，，四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，，，，，，的周長，故答案為：4；（2）連接，四邊形是正方形，，，，，，，，，，為等腰直角三角形，，，故答案為：．34．（2023?蜀山區(qū)校級一模）如圖，在矩形中，對角線，相交于點(diǎn)，，，點(diǎn)在線段上，從點(diǎn)至點(diǎn)運(yùn)動，連接，以為邊作等邊，點(diǎn)和點(diǎn)分別位于兩側(cè)．（1）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時，的長為；（2）點(diǎn)在線段上從點(diǎn)至點(diǎn)運(yùn)動過程中，的最小值為．【答案】（1）；（2）3【詳解】（1）如圖所示，連接并延長至，使得，連接、，在矩形中，對角線、相交于點(diǎn)，，，，是等邊三角形，，．是等邊三角形，，，，，，，，則是等邊三角形，，，即，點(diǎn)在線段上，從點(diǎn)至點(diǎn)運(yùn)動，則在線段上運(yùn)動，當(dāng)至點(diǎn)時，運(yùn)動至點(diǎn)，如圖所示，為，，且，為菱形，，又，，解得：，．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時，點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)，則的長，故答案為：．（2）由（1）可知點(diǎn)在線段上從點(diǎn)至點(diǎn)運(yùn)動過程中，運(yùn)動到的中點(diǎn)時，的最小值為，，．故答案為：3．35．（2023?蕪湖模擬）在中，是邊的中點(diǎn)，是邊上一動點(diǎn)，連接，將沿直線折疊得．（1）如圖（1），若為邊長為4的等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)恰好落在線段上時，則；（2）如圖（2），若為直角三角形，，．分別連接、、，若，且，則．【答案】（1）；（2）48【詳解】（1）過作于，如圖：是邊長為4的等邊三角形，為中點(diǎn)，，，，，設(shè)，則，，，沿直線折疊得，點(diǎn)恰好落在線段上，，的等腰直角三角形，，即，解得，，故答案為：；（2）設(shè)，，，，點(diǎn)在的中線上，，，解得，，．故答案為：48．36．（2023?包河區(qū)校級一模）對于一個函數(shù)，自變量取時，函數(shù)值也等于，則稱是這個函數(shù)的不動點(diǎn)．已知二次函數(shù)．（1）若2是此函數(shù)的不動點(diǎn)，則的值為．（2）若此函數(shù)有兩個相異的不動點(diǎn)、，且，則的取值范圍為．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）若2是此函數(shù)的不動點(diǎn)，則拋物線經(jīng)過，將代入得，解得，故答案為：．（2），在直線上，令，整理得，函數(shù)有2個不動點(diǎn)，△，解得，設(shè)，，時，，解得，故答案為：．37．（2023?瑤海區(qū)模擬）已知，如圖，中，，，，是上一點(diǎn)，，為邊上一動點(diǎn)，以為邊向右側(cè)作等邊三角形．（1）當(dāng)在上時，長為；（2）連結(jié)，則的取值范圍為．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在上時，為等邊三角形，，，，，；故答案為：；（2）如圖2，以為邊在內(nèi)部作等邊三角形，連接，和均為等邊三角形，，，，，，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，最大，此時取得最大值，如圖3，過點(diǎn)作于點(diǎn)，是等邊三角形，，，，，，，的最大值為；當(dāng)時，最小，此時取得最小值．如圖4，延長交于點(diǎn)，，，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，取得最小值，在中，，，，的最小值為1，．綜上所述，的取值范圍為：，故答案為：；38．（2023?廬陽區(qū)校級一模）如圖，已知矩形中，，，點(diǎn)，分別在邊，上，沿著折疊矩形，使點(diǎn)，分別落在，處，且點(diǎn)在線段上（不與兩端點(diǎn)重合）．（1）若為線段的中點(diǎn)，則；（2）折痕的長度的取值范圍為．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）矩形中，，，沿著折疊矩形，為線段的中點(diǎn)，；設(shè)，則，，，，解得，故答案為：．（2）根據(jù)垂線段最短，可得當(dāng)時，取得最小值，矩形中，，，，四邊形是矩形，；當(dāng)與點(diǎn)重合時，取得最大值，矩形中，，，沿著折疊矩形，，，，；設(shè)，則，，，，解得．矩形中，沿著折疊矩形，，，，，，；；過點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形是矩形，；，，故折痕的長度的取值范圍為．故答案為：．39．（2023?安慶一模）如圖，在三角形紙片中，，，垂直平分，平分，將沿在上，在上）折疊，點(diǎn)與點(diǎn)恰好重合．（1）；（2）若，則．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）連接，平分，，，平分，，所在的直線垂直平分，是的外心，即，，沿在上，在上）折疊，點(diǎn)與點(diǎn)恰好重合，，，；（2）連接，，，，，，，，，，，，，，，，．40．（2023?合肥模擬）如圖，四邊形是正方形，已知，點(diǎn)是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，連接、，點(diǎn)在線段上，連接、，若，且，，完成下列問題：（1）；（2）若在正方形的邊上找一點(diǎn)，使，這樣的點(diǎn)有個．【答案】（1）7；（2）3【詳解】（1），，四邊形是正方形，，，在和中，，，，，，；故答案為：7；（2）作于，于，，，，，，，，，，，，，，，，，，到上的最短距離都大于5，點(diǎn)不在上，，，點(diǎn)與點(diǎn)重合，，，還可在上取得，點(diǎn)一共有3個，故答案為：3．41．（2023?廬江縣三模）已知，如圖，反比例函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)．（1）；（2）平移至，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在反比例函數(shù)的圖象上，若平行四邊形的面積為12，則的值是．【答案】（1）6；（2）18或【詳解】（1）．故答案為：6．（2）若延軸正反向平移，如圖，延長交軸于，軸，平行四邊形的面積為12，的面積為6，的面積為，的面積為，，圖象位于第一象限，；若延軸負(fù)半軸反向平移，如圖，連接，平行四邊形的面積為12，的面積為6，的面積為，的面積為，，圖象位于第二象限，；經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)延軸向上、向下平移時，或，故答案為：18或．42．（2023?蕭縣一模）如圖，在中，，分別以，為邊向外作正方形和正方形，連接，，分別交，于點(diǎn)，，已知，．（1）；（2）．【答案】；【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)作直線于，四邊形是正方形，，，，，，，（2）四邊形是正方形，，，，，在和中，，，，，，，故答案為：，．43．（2023?定遠(yuǎn)縣校級一模）如圖，若二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)、點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②二次函數(shù)的最大值為；③；④；⑤當(dāng)時，．⑥；其中正確的結(jié)論有．【答案】②⑤⑥【詳解】二次函數(shù)對稱軸在軸右側(cè)，與軸交在正半軸，，，．故①不正確；二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且開口向下，二次函數(shù)的最大值為，故②正確；拋物線過，時，，即，故③不正確；拋物線與軸有兩個交點(diǎn)，，故④不正確；對稱軸為直線，，，由圖象可知，時，，故⑤正確；，即，而時，，即，，．故⑥正確．故答案為：②⑤⑥．44．（2023?蜀山區(qū)模擬）如圖，在中，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，將沿翻折，使得點(diǎn)落在點(diǎn)處，當(dāng)時，則．【答案】或【詳解】如圖，作于，連接．在中，，，，，，，，，，，由翻折不變性可知：，，，，如圖，作于，當(dāng)時，同法可得，．故答案為或．45．（2023?蕪湖模擬）已知平面直角坐標(biāo)系中兩個定點(diǎn)和．（1）拋物線的對稱軸為；（2）當(dāng)時，若拋物線與線段有唯一公共點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）拋物線的對稱軸為直線，故答案為：；（2）二次函數(shù)關(guān)于直線對稱，軸上的和關(guān)于對稱軸對稱．要滿足一個交點(diǎn)的話，這個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)只能．由題意：，解得．若二次函數(shù)的頂點(diǎn)在上時，△，（舍去），．故答案為：．46．（2023?安徽模擬）如圖，在菱形中，對角線、交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交所在直線于點(diǎn)、，分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)，連接交延長線于點(diǎn)，連接，若，，則的長為．【答案】【詳解】在菱形中，，，，由作圖過程可知：，，，，方法一：在和中，根據(jù)勾股定理得：，，，，，．方法二：，，．故答案為：．47．（2023?長豐縣二模）如圖，在矩形中，，，，分別是，上的動點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，且．（1）．（2）連接，則的最小值為．【答案】（1）；（2）2【詳解】（1），，，四邊形是矩形，，，，故答案為：．（2），點(diǎn)在以為直徑的圓上，設(shè)的中點(diǎn)為，則當(dāng)，，三點(diǎn)共線時，的值最小，此時，，，，，，故答案為：2．48．（2023?蚌埠二模）如圖，點(diǎn)為正方形的邊上一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，交邊于點(diǎn)，已知正方形邊長為1．（1）若，則的長為；（2）的面積為的最大值是．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）是正方形，，，，，，，，為等邊三角形，設(shè)，則，在中，，在中，，，解得：，，．故答案為：，（2）設(shè)，由（1）可知，則，，，，對稱軸直線，隨增大而減小，當(dāng)時有最大值，此時，故答案為：．49．（2023?瑤海區(qū)校級模擬）如圖，在中，，，，為邊的中點(diǎn)，是邊上的動點(diǎn)，將沿翻折，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)在內(nèi)，，，三點(diǎn)在同一直線上．（1）的度