遙感青協資料庫-PAGE3--武漢大學數學與統計學院2005－2006學年第一學期《線性代數A》A卷（72學時用）學院專業學號姓名注所有答題均須有詳細過程，內容必須寫在答題紙上，凡寫在其它地方一律無效。一、計算下列各題（每題6分，3題共18分）：(1).計算行列式.(2).已知階矩陣，且非奇異，求.(3).設是三階實對稱矩陣，其對應的二次型的正負慣性指數均為1，且滿足，計算.二、(12分)設，且，滿足，求和.三、(15分)設,.討論為何值時,方程組無解、有唯一解、有無窮多解?并在有無窮多解時，求出其通解.四、(15分)設二次型,(1).求出二次型的矩陣的全部特征值；(2).求可逆矩陣，使成為對角陣;(3).計算(m是正整數).五、(15分)設,其中,；,.求與的基與維數.六、(15分)設是維線性空間上的線性變換,且滿足,但.(1).證明,,,…,是的一組基；(2).求線性變換在這組基下的矩陣；(3).討論能否和對角陣相似.七、(10分)設階方陣有個互不相同的特征值.證明:的充要條件是的特征向量也是的特征向量.2005－2006第一學期《線性代數A》A卷參考解答一、1..＝2、；3、－10.二、解：由初等變換求得＝1，由，得，由于，因此可逆，且三、解：經計算因此方程組有唯一解。時，對增廣矩陣作行變換化為階梯形:因，即時無解。時，同樣對增廣矩陣作行變換化為階梯形:因，所以時有無窮多解。等價方程組為:令，得通解為：四、解：1)二次型的矩陣為A＝;|E-A|＝=(+1)(－2)所以A的全部特征值為：＝－1,＝＝2對=—1,解(－E－A)X＝0得基礎解系為＝(1,1,1)；對＝＝2,解(2E—A)X＝0得基礎解系為＝(—1,1,0),＝(—1,0,1)。2).令P＝＝，即為所求可逆陣，此時AP＝＝.3)五、故,且是的一組基.又顯然有,,由維數公式得.考慮齊次線性方程組:得基礎解,進而得的基為.六、1.作組合，依次用作用于上式兩邊，即可得2.3.由于只有零特征值(重)，而的基礎解系僅含一個解向量，沒有個線性無關的特征向量，故不能與對角陣相似.七、必要性：設是的特征值，是對應的特征向量．則，故即．而是一維子空間，故，即也是的特征向量．充分性：有個相同的線性無關的特征向量．取則有，或，由此即得．武漢大學數學與統計學院2005－2006學年第二學期《線性代數B》（A卷）學院專業學號姓名注：所有答題均須有詳細過程，內容必須寫在答題紙上，凡寫在其它地方一律無效。一、計算題（每小題6分，4題共24分）：1、設五維向量，，，求向量組的一個極大無關組。2、設有四階方陣，求行列式的值。3、判定二次型的正定性。4、已知，求。二、解答題（每小題12分，3題共36分）：1、已知，且，其中是3階單位矩陣，(1)求矩陣；（2）令，計算的伴隨陣。2、給定的兩組基定義線性變換：試求：（1）求由基到基的過渡矩陣;（2）求線性變換在基下的矩陣。3、已知，（1）求一個正交變換,把二次型化為標準形。（2）在的條件下，求二次型的最大值和最小值。三、證明與討論（3題共40分）1、設有線性方程組,問l取何值時，方程組有惟一解、無解或有無窮多個解？并在有無窮多解時求其通解。（15分）2．設為矩陣，證明如果，那么其中為的單位矩陣，為矩陣的秩。（10分）3、設，為實數，試討論為何值時，矩陣可與對角陣相似？（15分）線性代數B參考答案一、計算下列各題：1、解：由及，則知即為一極大無關組。2、解：，，所以：。3、解：的矩陣，順序主子式為，，，根據正定性的判定定理知為正定二次型。4、解：，則=。二、解答下列各題：1、解：(1)由，得，而因此矩陣可逆，且，所以由，得，故。（2）注意且＝＝＝，即，且。2、解（1）取的另一組基，則由基到基與的過渡矩陣及分別為再由可解得由基到基的過渡矩陣為（2），故在基下的矩陣仍為X。3、解：（1），的特征多項式為令，得對解線性方程組基礎解系為：，正交規范化得：對解線性方程組，得基礎解系為：，規范化得：，則所求之一正交變換矩陣，變換之下的標準形為：。（2）由于正交變換保持向量的長度不變，則，，注意：，則，即的最大值為1，最小值為。比如令，有令，有。三、證明題與討論題：1、解：通過對增廣陣的討論可得如下結論：(1)當且時，方程組有唯一解；(2)當時，，，該情形方程組無解；(3)當時,,此時方程組有無限多個解。而,，由此得，即，。證因為r（A+I）+r（A—I）≥r（A+I+A—I）=r(A)，故r（A+）+r（A—）≥n又因為 r（A+）+r（A—）≤n即證 r（A+）+r（A—）=n3、解：＝，得。1）當且時，有3個相異特征值，則有3個線性無關的特征向量，此時一定可以對角化。2）如果，則，注意到時，由＝，，則由恰給出的兩個線性無關的特征向量。而當時，由＝，，則由恰給出的一個特征向量。再由上題知，此種情形下，的三個特征向量線性無關，即也可以對角化。3）如果，則，注意到時，由及知，即恰有一個特征向量。而當時，由及知，恰給出的一個特征向量，從而此情形下不具有3個線性無關的特征向量，則不可對角化。武漢大學數學與統計學院2005－2006學年第一學期《線性代數C》A卷學院專業學號姓名注所有答題均須有詳細過程，內容必須寫在答題紙上，凡寫在其它地方一律無效。一、計算題（每題6分，4題共24分）：1．設，計算.2．設二階方陣A滿足方程，求A的所有可能的特征值.3．計算行列式..4．設階向量，矩陣,且，求實數.二、解答題（4題共60分，每題15分）1．設，且，滿足，求和.2．已知,,就方程組無解、有唯一解、有無窮多解諸情形，對值進行討論，并在有無窮多解時，求出其通解.3、設二次型,(1).求出二次型的矩陣及其秩;(2).求出矩陣的全部特征值;(3).求可逆矩陣，使成為對角陣.4、設是三階實對稱矩陣A的特征值為6，3，3，且與特征值6對應的特征向量為，求.三、證明題（2題共16分）：1.（8分）設是階實方陣，當為奇數且及時,證明：.2.（8分）若是非零實數，給出向量組線性無關的一個充要條件，并證明之.2005－2006第一學期《線性代數C》A卷參考解答一、計算題：1、；2、；3、.＝；4、－1.二、解答題：1、解：＝1，由，因此可逆，且2、解：經計算,因此方程組有唯一解。時，因，即時無解。時，因，通解為：3、解：1)二次型的矩陣為A＝;秩（A）=3；2）|E-A|＝(+1)(－2)，所以A的全部特征值為：＝－1,＝＝23)。對=—1,解得基礎解系為＝(1,1,1)；對＝＝2,解得基礎解系為＝(—1,1,0),＝(—1,0,1)。令P＝＝，則AP＝＝.4、；三、證明題1、證明：，所以.2、證明：如果，即線性無關，則有，得線性無關；反之如果線性無關，則由，得到.可見,線性無關是線性無關的一個充分必要條件.武漢大學數學與統計學院2005－2006學年第二學期《線性代數D》（A卷）學院專業學號姓名注：所有答題均須有詳細過程，內容必須寫在答題紙上，凡寫在其它地方一律無效。一、計算題（每小題6分，5題共30分）：1、設，，，求向量組的一個極大無關組。2、設，求行列式的值。3、設，試求一個非零向量，使兩兩正交。4、判定二次型的正定性。5、已知，求。二、解答題（每小題15分，2題共30分）：1、已知，且，其中是3階單位矩陣，(1)求矩陣；（2）令，計算的伴隨陣。2、已知，（1）求一個正交變換,把二次型化為標準形。（2）在的條件下，求二次型的最大值和最小值。三、證明與討論（3題共40分）1、設有線性方程組,問l取何值時，此方程組有惟一解、無解或有無窮多個解？并在有無窮多解時求出其通解。（15分）2、設三階陣有三個實特征值，且滿足，如果對應兩個線性無關的特征向量和,對應一個特征向量，證明線性無關。（10分）3、設，為實數，試討論為何值時，矩陣可與對角陣相似？（15分）線性代數D（即工科36學時）參考解答：一、計算下列各題：1、解：由及，則知即為一極大無關組。2、解：，，所以：。3、解：令得，取即可。4、解：的矩陣，順序主子式為，，，根據正定性的判定定理知為正定二次型。5、解：，則=。二、解答下列各題：1、解：(1)由，得，而因此矩陣可逆，且，所以由，得，故。（2）注意且＝＝＝，即。再注意＝，，則。2、解：（1），的特征多項式為令，得對解線性方程組基礎解系為：，正交規范化得：對解線性方程組，得基礎解系為：，規范化得：，則所求之一正交變換矩陣，變換之下的標準形為：。（2）由于正交變換保持向量的長度不變，則，，注意：，則，即的最大值為1，最小值為。比如令，有令，有。三、證明題與討論題：1、解：通過對增廣陣的討論可得如下結論：(1)當且時，方程組有唯一解；(2)當時，，，該情形方程組無解；(3)當時,,此時方程組有無限多個解。而,，由此得，即，。2、證明：考慮使得（＊），則，即（＊＊），用乘以（＊）式，然后與（＊＊）式相減得，注意，有。再由（＊）式得，由于