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第八章常微分方程數值解法8.1歐拉法（重點）8.2龍格-庫塔法8.3亞當斯方法8.4線性多步法（重點）8.5方程組與高階方程的數值解法8.6邊值問題的數值解法1歐拉法的幾何意義y0xix0x1xi+1xn-1xnx228.1.1矩形法（8.1.2）38.1.2梯形法（改進的Euler方法）(8.1.4)4迭代求解隱式方程（8.1.5）5隱式方程的收斂性★6隱式方程的收斂性★7預估－矯正法8局部截斷誤差9算法精度與局部截斷誤差的主項10歐拉法的局部截斷誤差★11梯形法的局部截斷誤差★12算法精度二階方法一階方法一階方法注：也可定義算法具有p階精度為：算法公式對任意次數不超過p次的多項式準確成立，但對于某一p+1次多項式不準確成立。13例證明Euler方法能準確地求解以下初值問題★14證明15

Euler法的收斂性其中：16例考察以下初值問題Euler法的收斂性解：★178.2Runge-Kutta方法龍格-庫塔（Runge-Kutta)方法的一般形式為：此類公式稱為r級p階

R-K方法。使局部截斷誤差為：其中:

i,

i,

ij為待定參數,適當選擇參數:

i,

i,

iji=1,2,...,rn=0,1,2,...18二級二階Runge-Kutta方法適當選擇參數:

1,

2

,

,

,使局部截斷誤差為：這里仍假定yn=y(xn)(r=2)受改進的Euler方法的啟發，可設：★19二級Runge-Kutta方法由二元函數Taylor展式得：由一元函數Taylor展式得：★20二級二階Runge-Kutta方法與Taylor展式相比較得：由于有四個參數，只有三個方程，因此有一個自由參數，即解（計算格式）不唯一。★21展開Taylor公式到二階微分22二級R-K公式的階由R-K公式：對比Taylor展式：23Runge-Kutta方法的其他問題248.4線形多步法線性多步法一般形式可設為：

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