機械振動與機械波的綜合問題編審教師：高級教師白英彬本專題在高考中主要考查簡諧運動、波動圖像和振動圖像以及波的多解等問題。其中對于波動圖像和振動圖像的考查較多，常以兩圖像的相互轉化、波的傳播方向和質點振動方向的相互判斷、結合簡諧運動考查波的疊加等形式出題。近年來的命題形式常常結合情境出題、出題形式變化新穎，主要考查學生的理解能力和模型建構能力，考頻較高。簡諧運動（2022·浙江歷年真題）如圖所示，一根固定在墻上的水平光滑桿，兩端分別固定著相同的輕彈簧，兩彈簧自由端相距x。套在桿上的小球從中點以初速度v向右運動，小球將做周期為T的往復運動，則（）A．小球做簡諧運動B．小球動能的變化周期為C．兩根彈簧的總彈性勢能的變化周期為TD．小球的初速度為時，其運動周期為2T關鍵信息：水平光滑桿→未與彈簧接觸時小球做勻速直線運行，與彈簧接觸時小球只受彈簧的彈力小球將做周期為T的往復運動→從出發到壓縮右側彈簧，然后回到出發點，再向左壓縮左邊彈簧，最后又回到出發點所用時間為T解題思路：由于水平桿光滑，小球未接觸彈簧或是與彈簧分離后均做勻速直線運動，接觸彈簧后由于只受彈簧彈力，做簡諧運動。小球和彈簧組成的系統機械能守恒，所以接觸彈簧前的速度和離開彈簧的速度都為v。設桿中點位置記為O點，小球運動到最左、右端的位置為分別記為A點和B點，如圖，A．小球做簡諧運動的條件是所受回復力與位移成正比，且方向始終指向平衡位置。由于桿光滑，所以小球在桿中點到接觸彈簧的過程中，所受合力為零，故小球不是簡諧運動，A錯誤；BC．小球做周期T內的往復運動，其運動過程為：O—B—O—A—O，由對稱性可知O—B—O和O—A—O，這兩過程的動能變化完全一致，兩根彈簧的總彈性勢能的變化完全一致，故小球動能的變化周期為，兩根彈簧的總彈性勢能的變化周期為，B正確、C錯誤；D．當小球的初速度變為時，勻速運動階段的時間變為原來的兩倍；但是小球與彈簧接觸后做簡諧運動的周期T0＝2π（m為小球質量，k為彈簧的勁度系數）卻是不變的，這樣小球做往復運動的周期小于2T，D錯誤；故選B。（智學精選）下端附著重物的粗細均勻木棒，豎直浮在河面，在重力和浮力作用下，沿豎直方向做頻率為1Hz的簡諧運動：與此同時，木棒在水平方向上隨河水做勻速直線運動，如圖（a）所示。以木棒所受浮力F為縱軸，木棒水平位移x為橫軸建立直角坐標系，浮力F隨水平位移x的變化如圖（b）所示。已知河水密度為ρ，木棒橫截面積為S，重力加速度大小為g。下列說法錯誤的是（）A．x從0.05m到0.15m的過程中，木棒的動能先增大后減小B．x從0.21m到0.25m的過程中，木棒加速度方向豎直向下，大小逐漸變小C．木棒在豎直方向做簡譜運動的振幅為D．木棒的運動為向xA．由簡諧運動的對稱性可知，0.1m、0.3m、0.5m時木棒處于平衡位置；則x從0.05m到0.15m的過程中，木棒從平衡位置下方向上移動，經平衡位置后到達平衡位置上方，速度先增大后減小，所以動能先增大后減小，A正確；B．x從0.21m到0.25m的過程中，木棒從平衡位置上方靠近最大位移處向下運動（未到平衡位置），加速度豎直向下，大小減小，B正確；C．設木棒在平衡位置處浸沒的深度為h，振幅為A，浮力最大時，有：F1＝ρgS(A＋h)，浮力最小時，有：F2＝ρgS(h－A)，聯立解得：A＝，故C正確；D．木棒上各質點相對靜止隨木棒一起運動，不能看成向x軸正方向傳播的機械橫波，D錯誤。選擇錯誤的選項，故選D。①簡諧運動的條件：F＝－kx；②簡諧運動的對稱條件：做簡諧運動的物體經過關于平衡位置對稱的兩位置時，物體的位移、回復力、加速度、動能、勢能、速度、動量等均是大小相等的（位移、回復力、加速度的方向相反，速度、動量的方向不確定）；③彈簧振子做簡諧運動的周期公式：T＝；④簡諧運動中動能和勢能在發生相互轉化，但系統機械能的總量保持不變，即系統機械能守恒；簡諧運動的能量由勁度系數和振幅決定，勁度系數越大，振幅越大，振動的能量越大。波動圖像與振動圖像（2020·北京歷年真題）一列簡諧橫波t＝0時刻的波動圖像如圖1所示，介質中x＝2m處的P質點的振動圖像如圖2表示。以下說法正確的是（）B．該波沿x軸的正方向傳播C．t＝0.2s時，P點的位移為－5cmD．t＝0.4s時，P點在平衡位置沿y軸正方向運動關鍵信息：圖1為t＝0時刻的波動圖像→波長λ＝4m圖2為x＝2m處的P質點的振動圖像→eq\o\ac(○,1)振動周期T＝0.8s（注意：質點的振動周期與波的傳播周期相同）eq\o\ac(○,2)t＝0時刻，振動方向向上解題思路：從波的圖像與振動圖像分別讀出波長λ和周期T，利用v＝即可得到波速；通過振動圖像得到P質點在t＝0時刻的振動情況，然后在波動圖中的P質點用“同側法”即可判斷波的傳播方向，靈活應用波的傳播方向與質點的振動關系是解題的核心。A、由圖1可知波長λ＝4m，由圖2可知周期T＝0.8s，則波速為v＝＝m/s＝5m/s，故A錯誤；B、由圖2可知，質點P在t＝0時刻沿y軸正方向運動，根據“同側法”可得該波沿x軸的正方向傳播，故B正確；C、由圖2可知t＝0.2s時，質點P在正的最大位移處，位移為5cm，故C錯誤；D、由圖2知t＝0.4s時，質點P的位移為零，正通過平衡位置向負方向運動，故D錯誤。故選：B。（2022山東模擬）一列沿x軸傳播的簡諧橫波在t＝0時刻的波形如圖甲所示，圖乙是位于x＝1m的質點N此后的a－t圖像，Q是位于x＝10m處的質點。則下列說法正確的是（）A．波沿x軸正方向傳播，波源的起振方向向下B．在5～5.5s時間內，質點M的速度在增大，加速度在減小C．在t＝12s時，質點Q的位置坐標為（10m，－8cm）D．在t＝7s時，質點Q開始向下振動由圖乙可知0時刻之后質點N的加速度先為正方向，所以質點N先向下振動，則由a－t圖像即可畫出質點N的振動圖像，如下A．由振動圖像可知t＝0時刻質點N向下振動，在波形圖中的質點N處使用“同側法”即可得到波沿x軸正方向傳播。由圖甲可知t＝0時刻質點M開始起振，由“同側法”可知其向上的振動，即波源的起振方向向上。故A錯誤；B．t＝0時刻質點M開始向上起振，由圖乙可知T＝4s，5～T，小于T，故此時質點M正處于x軸上方且正向平衡位置運動，所以其速度在增大，加速度在減小，故B正確；CD．波的傳播速度為v＝＝m/s＝1m/s，波從質點M處傳播到質點Q處所需要的的時間t＝＝7s，故質點Q在t＝7s時剛開始向上起振，故D錯誤。在t＝12s時，質點的振動時間t＝(12－7)s＝5s＝，此時質點Q處于x軸上方最大位移處，即位置坐標為（10m，8cm），故C錯誤；故選B。波動圖像與振動圖像的解題方法：1、首先根據橫縱坐標識別哪個是波形圖，哪個是振動圖；2、波形圖一般能夠得到波長λ、振幅A，而振動圖一般能夠得到周期T、振幅A；3、若求波速可以使用v＝（或v＝）；4、同一質點在同一個時刻，可根據振動圖像的斜率得到其振動方向，與其在波形圖中的波傳播方向位于波形的同一側。故可用“同側法”由質點的振動方向來判斷波的傳播方向，也可由波的傳播方向來判斷質點的振動方向。注意事項：1、振動圖像隨著時間的推移是把波形往后延伸即可，而波形圖像隨著時間的推移是把波沿傳播方向平移；2、振動圖形反映某一個質點相對平衡位置的位移隨時間的變化規律，而波形圖反映的是某一時刻介質中各質點相對平衡位置的位移。波的多解問題（2022江蘇模擬）一列簡諧橫波沿x軸傳播，已知x軸上x1＝1m和x2＝4m處質點的振動圖像如圖甲、圖乙所示，則此列波的傳播速度不可能是（）A．0.6m/s B．1m/s C．2m/s D．3m/s關鍵信息：簡諧橫波沿x軸傳播→傳播方向未知圖甲、圖乙→t＝0時刻圖甲在平衡位置、圖乙在波峰解題思路：傳播方向未知，則可能是水平向左傳播，也可能是水平向右傳播，故波在傳播方向上的不確定導致多解；波形周期性的重復也導致多解。由圖甲可知t＝0時刻x1＝1m的質點在平衡位置，且振動方向向上，圖乙在波峰，故當該列波向左傳播時波形圖如下，由于波形周期性的重復可知1m和4m之間的距離滿足的關系為3m＝(n＋)λ，則由v＝可得波速為v＝m/s，當n＝0時，可得v＝3m/s；當n＝1時，可得v＝0.6m/s；同理，當波向右傳播時波形圖如下，由于波形周期性的重復可知1m和4m之間的距離關系滿足3m＝(n＋)λ，則v＝m/s，當n＝0時，可得v＝1m/s；當n＝1時，可得v＝m/s≈0.4m/s。故ABD正確，C錯誤。本題選不可能的，故選C。（2022安徽模擬）甲、乙兩列簡諧橫波分別沿x軸負方向和正方向傳播，兩波源分別位于x處和x＝－0.6m處，兩列波的波速大小相等，波源的振幅均為2cm，兩列波在t＝0時刻的波形如圖所示，此時平衡位置在x＝－0.2m和x＝0m處的M、N兩質點剛要開始振動。已知甲波的周期為0.8s，求：（1）乙波傳播到N質點所需要的時間；（2）在0～2.5s時間內，N質點沿y軸正方向速度最大的時刻。（1）甲波的波長為λ甲＝0.8m，甲波的周期為T甲＝0.8s，則波速為：v＝＝1m/s兩波波速大小相等，則乙波傳播到N質點所需要的時間為：Δt＝＝0.2s（2）由題圖可知乙波的波長為λ乙＝0.4m，則乙波的周期為：T乙＝＝0.4s甲波使N質點沿y軸正方向速度最大，應有：t甲＝(a＋)T甲（a＝0，1，2……）①乙波使N質點沿y軸正方向速度最大，應有：t乙＝Δt＋(b＋)T乙（b＝0，1，2……）②在0～2.5s時間內，欲使兩列波相遇后N質點沿y軸正方向速度最大，則必有t＝t甲＝＝t乙③由①②③可得：b＝2aa、b只能取整數，可得：a＝0、b＝0時，t＝0.4s；a＝1、b＝2時，t＝1.2s；a＝2、b＝4時，t故在0～2.5s時間內，N質點沿y軸正方向速度最大時刻分別為0.4s、1.2s和2.0s。一、造成波的多解的主要因素：①時間周期性：相隔周期整數倍時間的兩個時刻的波形完全相同，時間間隔Δt與周期T的關系不明確造成多解；②空間周期性：沿傳播方向上，相隔波長整數倍距離的兩個質點的振動情況完全相同，質點間距離Δx與波長λ的關系不明確造成多解；③傳播方向雙向性：在一維情況下，波可以沿x