第二章微積分學(xué)的創(chuàng)始人:德國數(shù)學(xué)家Leibniz微分學(xué)導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)變化快慢微分描述函數(shù)變化程度都是描述物質(zhì)運動的工具(從微觀上研究函數(shù))導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)思想最早由法國數(shù)學(xué)家Ferma

在研究極值問題中提出.英國數(shù)學(xué)家Newton一、引例二、導(dǎo)數(shù)的定義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系五、單側(cè)導(dǎo)數(shù)第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念第二章一、引例1.變速直線運動的速度設(shè)描述質(zhì)點運動位置的函數(shù)為則到的平均速度為而在時刻的瞬時速度為自由落體運動2.曲線的切線斜率曲線在M

點處的切線割線MN

的極限位置MT(當(dāng)時)割線MN

的斜率切線MT的斜率兩個問題的共性:瞬時速度切線斜率所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.類似問題還有:加速度角速度線密度電流強度是速度增量與時間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長度增量之比的極限是電量增量與時間增量之比的極限變化率問題二、導(dǎo)數(shù)的定義定義1.

設(shè)函數(shù)在點存在,并稱此極限為記作:即則稱函數(shù)若的某鄰域內(nèi)有定義,在點處可導(dǎo),在點的導(dǎo)數(shù).運動質(zhì)點的位置函數(shù)在時刻的瞬時速度曲線在M

點處的切線斜率不存在,就說函數(shù)在點不可導(dǎo).若也稱在若函數(shù)在開區(qū)間

I

內(nèi)每點都可導(dǎo),此時導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù).記作:注意:就稱函數(shù)在

I內(nèi)可導(dǎo).的導(dǎo)數(shù)為無窮大.若極限由定義知，函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為例1.求函數(shù)(C

為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).解:即例2.

求函數(shù)解:說明：對一般冪函數(shù)(為常數(shù))例如，（以后將證明）例3.

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:則即類似可證得例4.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:

即原式是否可按下述方法作:例5.證明函數(shù)在x=0不可導(dǎo).證:不存在,例6.

設(shè)存在,求極限解:

原式三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線在點的切線斜率為若曲線過上升;若曲線過下降;若切線與x軸平行,稱為駐點;若切線與

x軸垂直.曲線在點處的切線方程:法線方程:例7.問曲線哪一點有鉛直切線?哪一點處的切線與直線平行?寫出其切線方程.解:令得對應(yīng)則在點(1,1),(–1,–1)處與直線平行的切線方程分別為即故在原點(0,0)有鉛直切線四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理1.證:設(shè)在點x

處可導(dǎo),存在,因此必有其中故所以函數(shù)在點x

連續(xù).注意:

函數(shù)在點x連續(xù)，但在該點未必可導(dǎo).反例:在

x=0處連續(xù),

但不可導(dǎo).即在點的某個右鄰域內(nèi)五、單側(cè)導(dǎo)數(shù)若極限則稱此極限值為在處的右導(dǎo)數(shù),記作即(左)(左)例如,在

x=0處有定義2

.

設(shè)函數(shù)有定義,存在,定理2.函數(shù)在點且存在簡寫為在點處右導(dǎo)數(shù)存在定理3.

函數(shù)在點必右連續(xù).(左)(左)若函數(shù)與都存在,則稱顯然:在閉區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)在開區(qū)間

內(nèi)可導(dǎo),在閉區(qū)間

上可導(dǎo).可導(dǎo)的充分必要條件是且內(nèi)容小結(jié)1.導(dǎo)數(shù)的實質(zhì):3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:4.可導(dǎo)必連續(xù),但連續(xù)不一定可導(dǎo);5.已學(xué)求導(dǎo)公式:6.判斷可導(dǎo)性不連續(xù),一定不可導(dǎo).直接用導(dǎo)數(shù)定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.2.增量比的極限;切線的斜率;思考與練習(xí)1.

函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)區(qū)別:是函數(shù),是數(shù)值;聯(lián)系:注意:有什么區(qū)別與聯(lián)系?？與導(dǎo)函數(shù)2.

設(shè)存在,則3.

已知則4.

若時,恒有問是否在可導(dǎo)?解:由題設(shè)由夾逼準(zhǔn)則故在可導(dǎo),且5.

設(shè),問a

取何值時,在都存在,并求出解:顯然該函數(shù)在x=0連續(xù).故時此時在都存在,牛頓(1642–1727)偉大的英國數(shù)學(xué)家,物理學(xué)家,天文學(xué)家和自然科學(xué)家.他在數(shù)學(xué)上的卓越貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了微積分.1665年他提出正流數(shù)(微分)術(shù),次年又提出反流數(shù)(積分)術(shù),并于1671年完成《流數(shù)術(shù)與無窮級數(shù)》一書(1736年出版).他還著有《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》和《廣義算術(shù)》等.萊布尼茨

(1646–1716)德國數(shù)學(xué)家,哲學(xué)家.他和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人,他在《學(xué)藝》雜志上發(fā)表的幾篇有關(guān)微積分學(xué)的論文中,有的早于牛頓,所用微積分符號也遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓.他還設(shè)計了作乘法的計算機(jī),系統(tǒng)地闡述二進(jìn)制計數(shù)法,并把它與中國的八卦聯(lián)系起來.切線問題割線的極限位置——切線位置播放2.切線問題割線的極限位置——切線位置2.切線問題割線的極限位置——切線位置2.切線問題割線的極限位置——切線位置2.切線問題