陜西省商洛市洛南縣2023-2024學年高二數學第一學期期末學業水平測試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列關于命題的說法錯誤的是A.命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B.“”是“函數在區間上為增函數”的充分不必要條件C.命題“，使得”的否定是“，均有”D.“若為的極值點，則”的逆命題為真命題2．已知等比數列的各項均為正數，且，則（）A. B.C. D.3．下列命題正確的是（）A經過三點確定一個平面B.經過一條直線和一個點確定一個平面C.四邊形確定一個平面D.兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面4．已知動點在直線上，過點作圓的切線，切點為，則線段的長度的最小值為（）A. B.4C. D.5．1852年英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經》中“物不知數”問題的解法傳至歐洲，西方人稱之為“中國剩余定理”．現有這樣一個問題：將1到200中被3整除余1且被4整除余2的數按從小到大的順序排成一列，構成數列，則=（）A.130 B.132C.140 D.1446．已知直線過點，且與直線垂直，則直線的方程是（）A. B.C. D.7．若拋物線y2=4x上一點P到x軸的距離為2，則點P到拋物線的焦點F的距離為（）A.4 B.5C.6 D.78．在區間內隨機地取出兩個數，則兩數之和小于的概率是（）A. B.C. D.9．若，則（）A.0 B.1C. D.210．下列函數是偶函數且在上是減函數的是A. B.C. D.11．下列雙曲線中，以為一個焦點，以為一個頂點的雙曲線方程是（）A. B.C. D.12．已知隨機變量X服從二項分布X~B(4，)，（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．“學習強國”學習平臺是由中宣部主管，以深入學習宣傳新時代中國特色社會主義思想為主要內容，立足全體黨員，面向全社會的優質平臺，現日益成為老百姓了解國家動態，緊跟時代脈搏的熱門APP，某市宣傳部門為了解全民利用“學習強國”了解國家動態的情況，從全市抽取2000名人員進行調查，統計他們每周利用“學習強國”的時長，下圖是根據調查結果繪制的頻率分布直方圖（1）根據上圖，求所有被抽查人員利用“學習強國”的平均時長和中位數；（2）宣傳部為了了解大家利用“學習強國”的具體情況，準備采用分層抽樣的方法從和組中抽取50人了解情況，則兩組各抽取多少人？再利用分層抽樣從抽取的50入中選5人參加一個座談會,現從參加座談會的5人中隨機抽取兩人發言，求小組中至少有1人發言的概率？14．已知函數，則曲線在點處的切線方程為___________.15．已知拋物線上一點到準線的距離為，到直線：的距離為，則的最小值為__________16．長方體中，，已知點與三點共線且，則點到平面的距離為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）給定函數.（1）判斷函數f（x）的單調性，并求出f（x）的極值；（2）畫出函數f（x）的大致圖象，無須說明理由（要求：坐標系中要標出關鍵點）；（3）求出方程的解的個數.18．（12分）已知數列滿足，，.（1）證明：數列是等比數列，并求其通項公式；（2）若，求數列的前項和.19．（12分）設橢圓過，兩點，為坐標原點（1）求橢圓的方程；（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點，，且？若存在，寫出該圓的方程，并求的取值范圍；若不存在，說明理由20．（12分）在中內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且（1）求角A（2）若，，求的面積21．（12分）已知橢圓C：的長軸長為，P是橢圓上異于頂點的一個動點，O為坐標原點，A為橢圓C的上頂點，Q為PA的中點，且直線PA與直線OQ的斜率之積恒為-2.（1）求橢圓C的方程；（2）若斜率為k且過上焦點F的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，當點M，N到y軸距離之和最大時，求直線l的方程.22．（10分）已知函數（Ⅰ）解關于的不等式；（Ⅱ）若關于的不等式恒成立，求實數的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據命題及其關系、充分條件與必要條件、導數在函數中應用、全稱量詞與存在量詞等相關知識一一判斷可得答案.【詳解】解：A,由原命題與逆否命題的構成關系,可知A正確；B,當a=2>1時,函數在定義域內是單調遞增函數，當函數定義域內是單調遞增函數時，a>1.所以B正確；C,由于存在性命題的否定是全稱命題,所以"，使得"的否定是"，均有,所以C正確；D,的根不一定是極值點，例如:函數,則=0，即x=0就不是極值點,所以“若為的極值點，則”的逆命題為假命題,故選D.【點睛】本題主要考查命題及其關系、充分條件與必要條件、導數在函數中應用、全稱量詞與存在量詞等相關知識，需牢記并靈活運用相關知識.2、B【解析】利用對數的運算性質，結合等比數列的性質可求得結果.【詳解】是各項均為正數的等比數列，，，，.故選：B3、D【解析】由平面的基本性質結合公理即可判斷.【詳解】對于A，過不在一條直線上三點才能確定一個平面，故A不正確；對于B，經過一條直線和直線外一個點確定一個平面，故B不正確；對于C，空間四邊形不能確定一個平面，故C不正確；對于D，兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面，故D正確.故選：D4、A【解析】求出的最小值，由切線長公式可結論【詳解】解：由，得最小時，最小，而，所以故選：A.5、A【解析】分析數列的特點，可知其是等差數列，寫出其通項公式，進而求得結果,【詳解】被3整除余1且被4整除余2的數按從小到大的順序排成一列，這樣的數構成首項為10，公差為12的等差數列，所以，故，故選:A6、D【解析】由題意設直線方程為，然后將點坐標代入求出，從而可求出直線方程【詳解】因為直線與直線垂直，所以設直線方程為，因為直線過點，所以，得，所以直線方程為，故選：D7、A【解析】根據拋物線y2=4x上一點P到x軸的距離為2，得到點P(3，±2)，然后利用拋物線的定義求解.【詳解】由題意，知拋物線y2=4x的準線方程為x=-1，∵拋物線y2=4x上一點P到x軸的距離為2，則P(3，±2)，∴點P到拋物線的準線的距離為3+1=4，∴點P到拋物線的焦點F的距離為4.故選：A.8、C【解析】利用幾何概型的面積型，確定兩數之和小于的區域，進而根據面積比求概率.【詳解】由題意知：若兩個數分別為，則，如上圖示，陰影部分即為，∴兩數之和小于的概率.故選：C9、D【解析】由復數的乘方運算求，再求模即可.【詳解】由題設，，故2.故選：D10、C【解析】根據題意，依次分析選項中函數的奇偶性與單調性，綜合即可得答案【詳解】根據題意，依次分析選項：對于A，為一次函數，不是偶函數，不符合題意；對于B，，，為奇函數，不是偶函數，不符合題意；對于C，，為二次函數，是偶函數且在上是減函數，符合題意；對于D，，，為奇函數，不是偶函數，不符合題意；故選C【點睛】本題考查函數的奇偶性與單調性的判定，關鍵是掌握常見函數的奇偶性與單調性，屬于基礎題11、C【解析】設出雙曲線方程，根據題意，求得，即可選擇.【詳解】因為雙曲線的一個焦點是，故可設雙曲線方程為，且；又為一個頂點，故可得，解得，則雙曲線方程為：.故選：.12、D【解析】利用二項分布概率計算公式，計算出正確選項.【詳解】∵隨機變量X服從二項分布X~B(4，)，∴.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（1）平均時長為，中位數為（2）在和兩組中分別抽取30人和20人，概率【解析】（1）由頻率分布直方圖計算平均數，中位數的公式即可求解；（2）先根據分層抽樣求出每一組抽取的人數，再列舉抽取總事件個數，從而利用古典概型概率計算公式即可求解【小問1詳解】解：（1）設被抽查人員利用“學習強國”的平均時長為，中位數為，，被抽查人員利用“學習強國”的時長中位數滿足，解得，即抽查人員利用“學習強國”的平均時長為6.8，中位數為【小問2詳解】解：組的人數為人，設抽取的人數為，組的人數為人，設抽取的人數為，則，解得，，所以在和兩組中分別抽取30人和20人，再利用分層抽樣從抽取的50入中抽取5人，兩組分別抽取3人和2人，將組中被抽取的工作人員標記為，，，將中的標記為，，則抽取的情況如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共10種情況，其中在中至少抽取1人有7種，故所求概率14、【解析】對函數求導，由導數的幾何意義可得切線的斜率，求得切點，由直線的點斜式方程可得所求切線的方程【詳解】函數的導數為∴，.曲線在點處的切線方程為，即.故答案為：.15、3【解析】根據拋物線的定義可知，點P到拋物線準線的距離等于點P到焦點F的距離，過焦點F作直線：的垂線，此時取得最小值，利用點到直線的距離公式，即可求解.【詳解】由題意，拋物線的焦點坐標為，準線方程為，如圖所示，根據拋物線的定義可知，點P到拋物線準線的距離等于點P到焦點F的距離，過焦點F作直線：的垂線，此時取得最小值，由點到直線的距離公式可得，即的最小值為3.【點睛】本題主要考查了拋物線的標準方程及其簡單的幾何性質的應用，以及拋物線的最值問題，其中解答中根據拋物線的定義可知，點P到拋物線準線的距離等于點P到焦點F的距離，利用點到直線的距離公式求解是解答的關鍵，著重考查了轉化思想，以及運算與求解能力，屬于中檔試題.16、【解析】利用坐標法，利用向量共線及垂直的坐標表示可求，即求.【詳解】如圖建立空間直角坐標系，則，因為點與三點共線且，，設，即，∴，∴，∴，即，∴點到平面的距離為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）函數的減區間為，增區間為，有極小值，無極大值；（2）具體見解析；（3）具體見解析.【解析】（1）對函數求導，進而求出單調區間和極值；（2）結合（1），并代入幾個特殊點，再結合函數的變化趨勢作出圖象；（3）結合（2），采用數形結合的方法求得答案.【小問1詳解】，時，，單調遞減，時，，單調遞增，故函數在x=-1處取得極小值為，無極大值.【小問2詳解】作圖說明：由（1）可知函數先減后增，有極小值；描出極小值點，原點和點（1，e）；當時，函數增加得越來越快，當時，函數越來越接近于0.【小問3詳解】結合圖象可知，若，則方程有0個解；若，則方程有2個解；若或，則方程有1個解.18、（1）證明見解析，；（2）.【解析】（1）由已知條件，可得為常數，從而得證數列是等比數列，進而可得數列的通項公式；（2）由（1）可得，又，所以，所以，利用錯位相減法即可求解數列的前項和.【小問1詳解】證明：由題意，因為，，，所以，，所以數列是以2為首項，3為公比的等比數列，所以；【小問2詳解】解：由（1）可得，又，所以，所以，所以，所以，，所以，所以.19、（1）（2）存在，，【解析】（1）根據橢圓E：（）過，兩點，直接代入方程解方程組，解方程組即可.（2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且，當切線斜率存在時，設該圓的切線方程為，聯立，根據，結合韋達定理運算，同時滿足，則存在，否則不存在；在該圓的方程存在時，利用弦長公式結合韋達定理得到，結合題意求解即可，當切線斜率不存在時，驗證即可.【小問1詳解】將，的坐標代入橢圓的方程得，解得，所以橢圓的方程為【小問2詳解】假設滿足題意的圓存在，其方程為，其中，設該圓的任意一條切線和橢圓交于，兩點，當直線的斜率存在時，令直線的方程為，①將其代入橢圓的方程并整理得，由韋達定理得，，②因為，所以，③將①代入③并整理得，聯立②得，④因為直線和圓相切，因此，由④得，所以存在圓滿足題意當切線的斜率不存在時，易得，由橢圓方程得，顯然，綜上所述，存在圓滿足題意當切線的斜率存在時，由①②④得，由，得，即當切線的斜率不存在時，易得，所以綜上所述，存在圓心在原點的圓滿足題意，且20、（1）；（2）.【解析】（1）根據正弦定理，結合三角形內角和定理、兩角和的正弦公式進行求解即可；（2）根據余弦定理，結合三角形面積公式進行求解即可.【小問1詳解】，由正弦定理知，，即又，且．所以，由于．所以；【小問2詳解】由余弦定理得：，又，所以所以.21、（1）（2）【解析】（1）設點，求出直線、直線的斜率相乘可得，結合可得答案；（2）設直線l的方程為與橢圓方程聯立，代入得，設，再利用基本不等式可得答案.【小問