陜西省渭濱中學2023-2024學年高二上數學期末調研模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．《九章算數》“竹九節”問題：現有一根9節的竹子，自上而下各節的容積成等差數列，上面4節的容積為3升，下面3節的容積共4升，則第五節的容積為（）A.1升 B.升C.升 D.升2．下列結論中正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則3．橢圓C：的焦點為，，點P在橢圓上，若，則的面積為（）A.48 B.40C.28 D.244．已知圓的方程為，則實數m的取值范圍是（）A. B.C. D.5．袋子中有四個小球，分別寫有“文、明、中、國”四個字，有放回地從中任取一個小球，直到“中”“國”兩個字都取到就停止，用隨機模擬的方法估計恰好在第三次停止的概率.利用電腦隨機產生0到3之間取整數值的隨機數，分別用0，1，2，3代表“文、明、中、國”這四個字，以每三個隨機數為一組，表示取球三次的結果，經隨機模擬產生了以下18組隨機數：由此可以估計，恰好第三次就停止的概率為（）A. B.C. D.6．南宋數學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，他所討論的高階等差數列與一般等差數列不同，前后兩項之差并不相等，而是逐項差數之差或者高次差相等.對這類高階等差數列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術”.現有一個高階等差數列，其前7項分別為1，5，11，21，37，61，95，則該數列的第7項為（）A.101 B.99C.95 D.917．曲線與曲線的（）A.實軸長相等 B.虛軸長相等C.焦距相等 D.漸進線相同8．復數的虛部為（）A. B.C. D.9．已知中，角，，的對邊分別為，，，且，，成等比數列，則這個三角形的形狀是（）A.直角三角形 B.等邊三角形C.等腰直角三角形 D.鈍角三角形10．數列1，-3，5，-7，9，…的一個通項公式為A. B.C. D.11．設為等差數列的前項和，若，則的值為（）A.14 B.28C.36 D.4812．函數極小值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．從某校隨機抽取某次數學考試100分以上（含100分，滿分150分）的學生成績，將他們的分數數據繪制成如圖所示頻率分布直方圖．若共抽取了100名學生的成績，則分數在內的人數為___________14．在長方體中，若，，則異面直線與所成角的大小為______.15．圓錐的高為1，底面半徑為，則過圓錐頂點的截面面積的最大值為____________16．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E，F分別是AB，BC的中A點，將，，，分別沿DE，EF，DF折起，使得A，B，C三點重合于點P，則四面體的外接球表面積為____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知向量，.（1）計算和；（2）求.18．（12分）已知直線和，設a為實數，分別根據下列條件求a的值：（1）（2）19．（12分）已知數列滿足，（1）證明是等比數列，（2）求數列的前項和20．（12分）已知，，分別為三個內角,,的對邊，.(Ⅰ)求；(Ⅱ)若=2，的面積為，求，.21．（12分）已知圓C過兩點，，且圓心C在直線上（1）求圓C的方程；（2）過點作圓C的切線，求切線方程22．（10分）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等邊三角形，D是AC的中點.（1）證明：AB1//面BC1D；（2）若AA1=AB，求二面角B1-AC-C1的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】設出竹子自上而下各節的容積且為等差數列，根據上面4節的容積共3升，下面3節的容積共4升列出關于首項和公差的方程，聯立即可求出首項和公差，根據求出的首項和公差，利用等差數列的通項公式即可求出第5節的容積【詳解】解：設竹子自上而下各節的容積分別為：，，，，且為等差數列，根據題意得：，，即①，②，②①得：，解得，把代入①得：，則故選：B【點睛】本題考查學生掌握等差數列的性質，靈活運用等差數列的通項公式化簡求值，屬于中檔題2、D【解析】根據基本初等函數的導數和運算法則分別計算函數的導數，即可判斷選項.【詳解】A.若，則，故A錯誤；B.若，則，故B錯誤；C.若，則，故C錯誤；D.若，則，故D正確.故選：D3、D【解析】根據給定條件結合橢圓定義求出，再判斷形狀計算作答.【詳解】橢圓C：的半焦距，長半軸長，由橢圓定義得，而，且，則有是直角三角形，，所以的面積為24.故選：D4、C【解析】根據可求得結果.【詳解】因為表示圓，所以，解得.故選：C【點睛】關鍵點點睛：掌握方程表示圓的條件是解題關鍵.5、A【解析】利用古典概型的概率公式求解.【詳解】因為隨機模擬產生了以下18組隨機數：，其中恰好第三次就停止包含的基本事件有：023,123,132共3個，所以由此可以估計，恰好第三次就停止的概率為，故選：A6、C【解析】根據所給數列找到規律：兩次后項減前項所得數列為公差為2的數列，進而反向確定原數列的第7項.【詳解】根據所給定義，用數列的后一項減去前一項得到一個數列，得到的數列也用后一項減去前一項得到一個數列，即得到了一個等差數列，如圖：故選：C.7、D【解析】將曲線化為標準方程后即可求解.【詳解】化為標準方程為，由于，則兩曲線實軸長、虛軸長、焦距均不相等，而漸近線方程同為.故選：8、D【解析】直接根據.復數的乘法運算結合復數虛部的定義即可得出答案【詳解】解：，所以復數的虛部為.故選：D.9、B【解析】根據題意求出，結合余弦定理分情況討論即可.【詳解】解：因為，所以.由題意得，利用余弦定理得：.當，即時，，即，解得：.此時三角形為等邊三角形；當，即時，,不成立.所以三角形的形狀是等邊三角形.故選：B.【點睛】本題主要考查利用余弦定理判斷三角形的形狀，屬于基礎題.10、C【解析】觀察，奇偶相間排列，偶數位置為負，所以為，數字是奇數，滿足2n-1,所以可求得通項公式.【詳解】由符號來看，奇數項為正，偶數項為負，所以符號滿足，由數值1，3，5，7，9…顯然滿足奇數，所以滿足2n-1,所以通項公式為，選C.【點睛】本題考查觀察法求數列的通項公式，解題的關鍵是培養對數字的敏銳性，屬于基礎題.11、D【解析】利用等差數列的前項和公式以及等差數列的性質即可求出.【詳解】因為為等差數列的前項和，所以故選：D【點睛】本題考查了等差數列的前項和公式的計算以及等差數列性質的應用，屬于較易題.12、A【解析】利用導數分析函數的單調性，可求得該函數的極小值.【詳解】對函數求導得，令，可得或，列表如下：減極小值增極大值減所以，函數的極小值為.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、30【解析】根據頻率分布直方圖中所以小矩形面積和為1，可得a值，根據總人數和頻率，即可得答案.【詳解】因為頻率分布直方圖中所以小矩形面積和為1，所以，解得，所以分數在內的人數為.故答案為：3014、【解析】畫出長方體,再將異面直線與利用平行線轉移到一個三角形內求解角度即可.【詳解】畫出長方體可得異面直線與所成角為與之間的夾角,連接.則因為,則,又,故,又,故為等腰直角三角形,故,即異面直線與所成角的大小為故答案為【點睛】本題主要考查立體幾何中異面直線的角度問題,一般的處理方法是將異面直線經過平行線的轉換構成三角形求角度,屬于基礎題型.15、2【解析】求出圓錐軸截面頂角大小，判斷并求出所求面積最大值【詳解】如圖，是圓錐軸截面，是一條母線，設軸截面頂角為，因為圓錐的高為1，底面半徑為，所以，，所以，，設圓錐母線長為，則，截面的面積為，因為，所以時，故答案為：216、【解析】由題意在四面體中兩兩垂直，將該四面體補成長方體,則長方體與四面體的外接球相同，從而可求解.【詳解】將直角，，，分別沿DE，EF，DF折起，使得A，B，C三點重合于點P，所以在四面體中兩兩垂直，將該四面體補成長方體,如圖.則長方體與四面體的外接球相同.長方體的外接球在其對角線的中點處.由題意可得，則長方體的外接球的半徑為所以四面體的外接球表面積為故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】（1）利用空間向量的坐標運算可求得的坐標，利用向量的模長公式可求得的值；（2）計算出，結合的取值范圍可求得結果.【詳解】（1），；（2），，因此，.【點睛】本題考查空間向量的坐標運算，同時也考查了利用空間向量的數量積計算向量的夾角，考查計算能力，屬于基礎題.18、（1）a=4或a=-2（2）a=【解析】（1）根據，由a(a-2)-2×4=0求解；（2）根據，由4a=-2(a-2）求解.【小問1詳解】解：因為，所以a(a-2)-2×4=0，解得a=4或a=-2所以當時，a=4或a=-2；【小問2詳解】因為，所以4a=-2(a-2），解得a=檢驗：此時，，成立所以當時，a=.19、（1）見解析；（2）【解析】（1）利用定義法證明是一個與n無關的非零常數，從而得出結論；（2）由（1）求出，利用分組求和法求【詳解】（1）由得，所以，所以是首項為，公比為的等比數列,，所以，（2）由（1）知的通項公式為；則所以【點睛】本題主要考查等比數列的證明以及分組求和法，屬于基礎題20、(1)(2)=2【解析】(Ⅰ)由及正弦定理得由于，所以，又，故.(Ⅱ)的面積==,故=4，而故=8，解得=221、（1）．（或標準形式）（2）或【解析】（1）根據題意，求出中垂線方程，與直線聯立，可得圓心的坐標，求出圓的半徑，即可得答案；（2）分切線的斜率存在與不存在兩種情況討論，求出切線的方程，綜合可得答案【小問1詳解】解：根據題意，因為圓過兩點，，設的中點為，則，因為，所以的中垂線方程為，即又因為圓心在直線上，聯立，解得，所以圓心，半徑，故圓的方程為，【小問2詳解】解：當過點P的切線的斜率不存在時，此時直線與圓C相切當過點P的切線斜率k存在時，設切線方程為即（*）由圓心C到切線的距離，可得將代入（*），得切線方程為綜上，所求切線方程為或22、（1）證明見解析（2）【解析】（1），連接，證明，再根據線面平行的判定定理即可得證；（2）說明平面，取的中點F，連接，以D為原點，分別以的方向為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用向量法即可得出答案.【小問1詳解】證明