浙江省高中聯盟2023-2024學年高二上數學期末監測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．拋物線的準線方程是，則實數的值為（）A. B.C.8 D.2．通過隨機詢問110名不同的大學生是否愛好某項運動，得到如下的列聯表：男女總計愛好402060不愛好203050總計6050110由附表：0．0500．0100．0013．8416．63510．828參照附表，得到的正確結論是（）A.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”B.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”C.在犯錯誤的概率不超過0．1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”D.在犯錯誤的概率不超過0．1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”3．已知函數的部分圖象與軸交于點，與軸的一個交點為，如圖所示，則下列說法錯誤的是（）A. B.的最小正周期為6C.圖象關于直線對稱 D.在上單調遞減4．如圖，在棱長為1的正方體中，P、Q、R分別是棱AB、BC、的中點，以PQR為底面作一個直三棱柱，使其另一個底面的三個頂點也都在正方體的表面上，則這個直三棱柱的體積為（）A. B.C. D.5．已知函數的導函數的圖像如圖所示，則下列判斷正確的是（）A.在區間上，函數增函數 B.在區間上，函數是減函數C.為函數的極小值點 D.2為函數的極大值點6．設a，b，c分別是內角A，B，C的對邊，若，，依次成公差不為0的等差數列，則（）A.a，b，c依次成等差數列 B.，，依次成等差數列C.，，依次成等比數列 D.，，依次成等比數列7．我們知道，償還銀行貸款時，“等額本金還款法”是一種很常見的還款方式，其本質是將本金平均分配到每一期進行償還，每一期的還款金額由兩部分組成，一部分為每期本金，即貸款本金除以還款期數，另一部分是利息，即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率．自主創業的大學生張華向銀行貸款的本金為48萬元，張華跟銀行約定，按照等額本金還款法，每個月還一次款，20年還清，貸款月利率為，設張華第個月的還款金額為元，則（）A.2192 B.C. D.8．復數的虛部為（）A. B.C. D.9．七巧板是一種古老的中國傳統智力玩具，顧名思義，是由七塊板組成的.這七塊板可拼成許多圖形（1600種以上），如圖所示，某同學用七巧板拼成了一個“鴿子”形狀，若從“鴿子”身上任取一點，則取自“鴿子頭部”（圖中陰影部分）的概率是（）A. B.C. D.10．若，都為正實數，，則的最大值是（）A. B.C. D.11．在等差數列中，為數列的前項和，，，則數列的公差為（）A. B.C.4 D.12．圓的圓心為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知三棱錐的四個頂點在球的球面上，，是邊長為正三角形，分別是的中點，，則球的體積為_________________14．若和或都是假命題，則的范圍是__________15．設，滿足約束條件，則的最大值是_________.16．曲線在點處的切線方程為_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，在正方體中，E是棱的中點.（Ⅰ）求直線BE與平面所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱上是否存在一點F，使平面？證明你的結論.18．（12分）設函數，其中是自然對數的底數，.（1）若，求的最小值；（2）若，證明：恒成立.19．（12分）在平面直角坐標系中，過點且傾斜角為的直線與曲線（為參數）交于兩點.（1）將曲線的參數方程轉化為普通方程；（2）求長.20．（12分）如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓上一點，M是PB的中點，平面ABC，且，，.（1）求證:平面PAC；（2）求三棱錐M—ABC體積.21．（12分）三棱柱中，側面為菱形，，，，（1）求證：面面；（2）在線段上是否存在一點M，使得二面角為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由22．（10分）如圖，在空間四邊形中，分別是的中點，分別是上的點，滿足.（1）求證：四點共面；（2）設與交于點，求證：三點共線.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】化簡方程為，求得拋物線的準線方程，列出方程，即可求解.【詳解】由拋物線，可得，所以，所以拋物線的準線方程為，因為拋物線的準線方程為，所以，解得.故選：B.2、A【解析】由，而，故由獨立性檢驗的意義可知選A3、D【解析】根據函數的圖象求出，再利用函數的性質結合周期公式逆推即可求解.【詳解】因為函數的圖象與軸交于點，所以，又，所以，A正確；因為的圖象與軸的一個交點為，即，所以，又，解得，所以，所以，求得最小正周期為，B正確；，所以是的一條對稱軸，C正確；令，解得，所以函數在，上單調遞減，D錯誤故選：D.4、C【解析】分別取的中點，連接，利用棱柱的定義證明幾何體是三棱柱，再證明平面PQR，得到三棱柱是直三棱柱求解.【詳解】如圖所示：連接,分別取其中點，連接，則，且，所以幾何體是三棱柱，又，且，所以平面，所以，同理，又，所以平面PQR，所以三棱柱是直三棱柱，因為正方體的棱長為1，所以,所以直三棱柱的體積為，故選：C5、D【解析】根據導函數與原函數的關系可求解.【詳解】對于A，在區間，，故A不正確；對于B，在區間，，故B不正確；對于C、D，由圖可知在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，且，所以為函數的極大值點，故C不正確，D正確.故選：D6、B【解析】由等差數列的性質得，利用正弦定理、余弦定理推導出，從而，，依次成等差數列.【詳解】解：∵a，b，c分別是內角A，B，C的對邊，，，依次成公差不為0的等差數列，∴，根據正弦定理可得，∴，∴，∴，∴，，依次成等差數列.故選：B.【點睛】本題考查三個數成等差數列或等比數列的判斷，考查等差數列、等比數列的性質、正弦定理、余弦定理等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，屬于中檔題.7、D【解析】計算出每月應還的本金數，再計算第n個月已還多少本金，由此可計算出個月的還款金額.【詳解】由題意可知：每月還本金為2000元，設張華第個月的還款金額為元，則，故選：D8、D【解析】直接根據.復數的乘法運算結合復數虛部的定義即可得出答案【詳解】解：，所以復數的虛部為.故選：D.9、C【解析】設正方形邊長為1，求出七巧板中“4”這一塊的面積，然后計算概率【詳解】設正方形邊長為1，由正方形中七巧板形狀知“4”這一塊是正方形，邊長為，面積為，所以概率為故選：C10、B【解析】由基本不等式，結合題中條件，直接求解，即可得出結果.【詳解】因為，都為正實數，，所以，當且僅當，即時，取最大值.故選：D11、A【解析】由已知條件列方程組求解即可【詳解】設等差數列的公差為，因為，，所以，解得，故選：A12、D【解析】由圓的標準方程求解.【詳解】圓的圓心為，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由已知設出，，，分別在中和在中運用余弦定理表示，得到關于x與y的關系式，再在中運用勾股定理得到關于x與y的又一關系式，聯立可解得x，y，從而分析出正三棱錐是，，兩兩垂直的正三棱錐，所以三棱錐的外接球就是以為棱的正方體的外接球，再通過正方體的外接球的直徑等于正方體的體對角線的長求出球的半徑，再求出球的體積.【詳解】在中，設，，，,，因為點，點分別是，的中點，所以，，在中，，在中，，整理得，因為是邊長為的正三角形，所以，又因為，所以，由，解得，所以又因為是邊長為的正三角形，所以，所以，所以，，兩兩垂直，則球為以為棱的正方體的外接球，則外接球直徑為，所以球的體積為,故答案為.【點睛】本題主要考查空間幾何體的外接球的體積，破解關鍵在于熟悉正三棱錐的結構特征，運用解三角形的正弦定理和余弦定理得出三棱錐的棱的關系，繼而分析出正三棱錐的外接球是以正三棱錐中互相垂直的三條棱為棱的正方體的外接球，利用正方體的外接球的直徑等于正方體的體對角線的長求解更方便快捷，屬于中檔題14、【解析】先由和或都是假命題，求出x的范圍，取交集即可.【詳解】若為假命題，則有或若或是假命題，則所以的范圍是即的范圍是胡答案：15、5【解析】由題可知表示點與點連線的斜率，再畫出可行域結合圖像知知.【詳解】x，y滿足約束條件，滿足的可行域如圖：則的幾何意義是可行域內的點與（﹣3，﹣2）連線的斜率，通過分析圖像得到當經過A時，目標函數取得最大值由可得A（﹣2，3），則的最大值是：故答案為5【點睛】(1)在平面直角坐標系內作出可行域(2)考慮目標函數的幾何意義，將目標函數進行變形．常見的類型有截距型（型）、斜率型（型）和距離型（型）(3)確定最優解：根據目標函數的類型，并結合可行域確定最優解(4)求最值：將最優解代入目標函數即可求出最大值或最小值16、.【解析】由求導公式求出導數，再把代入求出切線的斜率，代入點式方程化為一般式即可.【詳解】由題意得，∴在點處的切線的斜率是，則在點處的切線方程是，即.【點睛】本題考查導數的幾何意義.注意區分“在某點處的切線”與“過某點的切線”，前者“某點”是切點，后者“某點”不一定是切點.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）詳見解析【解析】設正方體的棱長為1.如圖所示，以為單位正交基底建立空間直角坐標系.（Ⅰ）依題意，得，所以.在正方體中，因為,所以是平面的一個法向量，設直線BE和平面所成的角為，則.即直線BE和平面所成的角的正弦值為.（Ⅱ）在棱上存在點F，使.事實上，如圖所示，分別取和CD的中點F，G，連結.因,且,所以四邊形是平行四邊形，因此.又E,G分別為，CD的中點，所以，從而.這說明，B，G，E共面，所以.因四邊形與皆為正方形，F，G分別為和CD的中點，所以，且，因此四邊形是平行四邊形，所以.而，，故.18、（1）（2）證明見解析【解析】（1）當時，，求出，可得答案；（2）設，，，，，設，求出利用單調性可得答案.【小問1詳解】當時，，則，所以單調遞增，又，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以.【小問2詳解】設，若，則，若，則，設，則，所以單調遞增，又，當時，，上單調遞減，當時，，單調遞增，所以，所以，綜上，恒成立.【點睛】本題考查了求函數值域或最值的問題，一般都需要通過導數研究函數的單調性、極值、最值來處理，特別的要根據所求問題，適時構造恰當的函數，再利用所構造函數的單調性、最值解決問題是常用方法，考查了學生分析問題、解決問題的能力.19、（1）；（2）.【解析】（1）利用公式直接將橢圓的參數方程轉化為普通方程即可.（2）首先求出直線的參數方程，代入橢圓的普通方程得到，再利用直線參數方程的幾何意義求弦長即可.【詳解】（1）因為曲線（為參數），所以曲線的普通方程為：.（2）由題知：直線的參數方程為（為參數），將直線的參數方程代入，得.，.所以.20、（1）證明見解析（2）2【解析】（1）依題意可得，再由平面，得到，即可證明平面；（2）連接，可證，即可得到平面，為三棱錐的高，再根據錐體的體積公式計算可得；【詳解】（1）證明:因為是半圓的直徑，所以.因為平面，平面，所以，又因為平面，平面，且所以平面.（2）解:因為，，所以，.連接.因為、分別是，的中點，所以，.又平面.所以平面.因此為三棱錐的高.所以.【點睛】本題考查線面垂直的證明，錐體的體積的計算，屬于中檔題.21、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）取BC的中點O，連結AO、，在三角形中分別證明和，再利用勾股定理證明，結合線面垂直的判定定理可證明平面，再由面面垂直的判定定理即可證明結果.（2）建立空間直角坐標系，假設點M存在，設，求出M點坐標，然后求出平面的法向量，利用空間向量的方法根據二面角的平面角為可求出的值.【詳解】（1）取BC的中點O，連結AO,,，為等腰直角三角形，所以，；側面為菱形，，所以三角形為為等邊三角形，所以，又，所以，又，滿足，所以；因為，所以平面，因為平面中，所以平面平面.（2）由（1）問知：兩兩垂直，以O為坐標原點，為軸，為軸