專題10平面向量及其應用平面向量是高考命題的平面向量是高考命題的熱點和重點內容，命題突出向量的基本運算與工具性，常常以平面圖形為載體，考查數量積、夾角、垂直的條件等問題；也易同平面幾何、三角函數、解析幾何、不等式等知識相結合，以工具的形式出現．通過本專題的復習要注意正確掌握平面向量中相關概念，注意平面向量具備數與形的兩面性，并合理轉化，注意向量數量積的多種應用，注意借助坐標系、運用數形結合思想、函數和方程思想轉化解決相關問題。專題中三個探究（數量積最值范圍、平面幾何、解析幾何中應用）突出重點與難點，簡潔清晰，將高考中這部分內容的考查方式和思維方法深入的剖析。——大冶一中高級教師陳俊杰探究1：平面向量數量積的最值與范圍問題【典例剖析】例1.(2022·山東省聯考)已知|a|=|b|=2,且a，b的夾角為60°,若|cA.[-4,4] B.[-23,23]選題意圖:最新聯考題選題意圖:最新聯考題，與數量積有關的最值和范圍問題是高考的熱點，可通過建立適當的直角坐標系,將向量的數量積坐標化,從而轉化常見的三角函數求范圍，還有一種思路是數形結合，應用圖形的幾何性質求解，體現了高考數學的靈活性和創新性.思維引導：解法1：取OA=a,OB=b,OC=c，說明點C在以A為圓心，半徑為1的圓面上(包括邊界)，設向量b,c的夾角為θ，推出θ取值范圍為[π6,π2]；然后求解b?【變式訓練】練11(2022·安徽省安慶市聯考)已知向量a，b，c滿足|a|=2，|b|=1，|(c-a)2+(c練12(2022·河北省模擬)已知平面向量a，b滿足|a|=|b|=a?b=2，且A.2 B.3 C.4 D.5練13(2022·安徽省滁州市三模)已知平面向量a,b,c滿足|a|=1，|b|=3，a?b=0【規律方法】平面向量中，有關最值問題的求解通常有兩種思路：1.“形化”，即利用平面向量的幾何意義將問題轉化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據平面圖形的特征直接進行判斷.

2.“數化”，即利用平面向量的坐標運算，把問題轉化為代數中的函數最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題，然后利用函數、不等式、方程的有關知識來解決.探究2：平面向量與平面幾何【典例剖析】例2.(2022·北京卷)在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°.P為△ABC則PA?PBA.[-5,3] B.[-3,5] C.[-6,4] D.[-4,6]選題意圖:選題意圖:高考真題，以三角形和平面向量為載體，綜合考查了向量的數量積、直線和圓、函數的最值、三角函數等知識點，該題目的解法多樣，可通過建立坐標系，利用數量積的坐標運算求解，也可以利用平面向量的線性運算和數量積進行求解，體現了高考數學的靈活性和創新性.思維引導：法一：建立平面直角坐標系，利用數量積的坐標運算求解;法二：利用平面向量的線性運算與數量積運算進行求解【變式訓練】練21(2022·浙江省聯考·多選)八卦是我國古代的一套有象征意義的符號.如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形ABCDEFGH，其中OA=1，則(

)A.EF=AB B.OB+OH練22(2022·湖南省長沙市模擬)數學家歐拉于1765年在其著作《三角形中的幾何學》首次指出：△ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為歐拉線．若AB=4，AC=2，則下列各式不正確的是

(

)A.AG?BC-4=0 B.2GO練23(2022·浙江省期末)如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為BC邊的中點，F為CD邊上一點，若AF·AE=|AEA.3 B.5 C.32 D.練24(2022·湖南省長沙市聯考)已知邊長為2的菱形ABCD中，點F為BD上一動點，點E滿足BE=2ECAE?BD=-23，則【規律方法】利用向量法解決平面幾何問題一般需要三步：

1.尋基底，尋找條件中的已知長度和夾角的不共線的兩條線段作為基底

2.用基底表示結論中的有關線段3.通過向量的運算，研究幾何元素之間的關系，并把運算結果翻譯成幾何關系.探究3：平面向量與解析幾何【典例剖析】例3.(2021·全國乙卷文科)已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點F到準線的距離為2．

(1)求C的方程；

(2)已知O為坐標原點，點P在C上，點Q滿足PQ=9選題意圖選題意圖：高考真題，向量與參數是圓錐曲線中常見的載體，很好的體現解析幾何中數形轉化和坐標法的核心思想方法，考查了直線和拋物線的基本知識，考查了向量數形“兩面性”的運用轉化和求解最值中運用函數基本思想,體現了觀察、探究、發現變化規律的數學探索學科素養.思維引導：(1)根據焦點F到準線的距離為2求出p，進而得到拋物線方程，

(2)設出點Q的坐標(m,n)，按照向量關系得出P點坐標，再代入拋物線方程中，表示出OQ斜率k，結合基本不等式分別討論n=0，n>0【變式訓練】練31(2022·河北省聯考)已知雙曲線方程為x2a2-y2b2=1，F1，F2為雙曲線的左、右焦點，離心率為2，點P為雙曲線在第一象限上的一點，且滿足PF1?PF2=0，|PF1||PF2練32(2022·廣東省深圳市聯考)如圖，平面直角坐標系xOy中，點Q為x軸上的一個動點，動點P滿足|PO|=|PQ|=32，又點E滿足(1)求動點E的軌跡Г的方程；(2)過曲線Г上的點A(x?0，y?0)(x?0y?0≠0)的直線l與x，y軸的交點分別為M和N，且NA=2AM【規律方法】

1.運用向量的共線的相關知識，可以較容易地處理涉及三點共線、定比分點、直線等問題。在處理圓錐曲線中求相關量的取值范圍、求直線的方程、求待定字母的值、證明過定點等問題時，如能恰當的運用平面向量共線的相關知識，常常能使問題較快捷的得到解決。2.向量的數量積將一些幾何知識與代數知識充分的聯系在一起，它可以處理垂直、長度、三角形面積和三角函數等問題。所以在解決圓錐曲線中的一些問題時，它通常可以運用在探索點、線的存在性、求參數的取值范圍和求圓錐曲線的方程等方面。3.解圓錐曲線與平面向量交匯題的關鍵點：設相關點的坐標，將平面向量用坐標表示運用相應的平面向量坐