測量平差原理lijingbu@/授課班級：礦山測量101主講:卜麗靜遼寧工程技術大學應用技術學院間接平差原理誤差方程式列立2023/11/82第二章間接平差2023/11/8第二章間接平差3第一節間接平差原理間接平差法（參數平差法）是通過選定t個獨立未知量作為參數，將每個觀測值分別表達成這t個參數的函數，建立函數模型，按最小二乘原理，用求自由極值的方法解出參數的最或然值，從而求得各觀測值的平差值。先看一個確定三角形形狀的例子：令：要求基礎方程誤差方程X2X1平差值方程參數的解2023/11/8第四章間接平差4第一節間接平差原理一般地：設有n個觀測值令：則有：一、間接平差原理設有n個觀測值，必要觀測個數為t,選定t個獨立參數近似值取為，有平差值方程為：令：觀測值平差值2023/11/8第四章間接平差5第一節間接平差原理令：則上式變為：要求：對自變量X求導，令一階導數為0，即：令：則有：將基礎方程第一式代入第二式，得：令：則有：法方程的解：或觀測值和參數的平差值：誤差方程法方程基礎方程P為對角陣2023/11/8第四章間接平差6第一節間接平差原理二、計算步驟1.確定t,選t個獨立量為參數X.2.列立誤差方程3.組成法方程式中4.解算法方程,求參數的改正數或5.求觀測值改正數6.求平差值7.精度評定

(以后介紹)2023/11/8第四章間接平差7第一節間接平差原理三、例題

(P104-106)1.選取、兩點高程平差值為未知參數取其近似值:定權:C=22.列立誤差方程2023/11/8第四章間接平差8第一節間接平差原理3.組成法方程4.解算法方程5.求改正數6.求平差值觀測值平差值參數平差值2023/11/8第四章間接平差9第二節誤差方程的列立一、參數個數的確定參數的個數等于必要觀測個數。水準網：有已知點：等于待定點個數。無已知點：待定點數減1。測角網：有四個必要的起算數據，等于2倍待定點數。少于四個必要起算數據，等于2倍總點數減4。測邊網、邊角網、導線網：有四個必要的起算數據，等于2倍待定點數。少于四個必要起算數據，等于2倍總點數減3。二、參數的選取可以選直接觀測值的平差值，也可以選非直接觀測量的平差值，甚至二者兼而有之。要保證參數獨立。水準網一般選待定點高程平差值；三角網和導線網選待定點坐標平差值。三、誤差方程的列立方法：把觀測值表示成所選參數的函數水準網和GPS網一般是線性的，三角網和導線網一般為非線性的。如圖測角網，選D點坐標平差值為參數：2023/11/8第四章間接平差10再如下圖的測邊網：以上均為非線性形式，需要線性化。二、參數的選取可以選直接觀測值的平差值，也可以選非直接觀測量的平差值，甚至二者兼而有之。要保證參數獨立。水準網一般選待定點高程平差值；三角網和導線網選待定點坐標平差值。三、誤差方程的列立方法：把觀測值表示成所選參數的函數水準網和GPS網一般是線性的，三角網和導線網一般為非線性的。如圖測角網，選D點坐標平差值為參數：第二節誤差方程的列立2023/11/8第四章間接平差11四、誤差方程的線性化一般方法：按泰勒公式展開：展開：下面結合測角網和測邊網，介紹其誤差方程的線性化問題，并從中找出線性化的規律。1.測角網坐標平差的誤差方程下面先求坐標改正數與方位角改正數之間的關系第二節誤差方程的列立，，…，坐標方位角改正數2023/11/8第四章間接平差12四、誤差方程的線性化1.測角網坐標平差的誤差方程而：代入上式得：

同理得：第二節誤差方程的列立2023/11/8第四章間接平差13四、誤差方程的線性化1.測角網坐標平差的誤差方程角度誤差方程：考慮到：代入并令：第二節誤差方程的列立坐標方位角改正數方程注意四種特殊情況公式的變化見P110將坐標方位角改正數方程代入即可，見P1112023/11/8第四章間接平差14四、誤差方程的線性化1.測角網坐標平差的誤差方程提示:列立步驟：1.計算網中各待定點近似坐標;2.計算各邊的近似邊長和近似坐標方位角;3.列出各邊坐標方位角改正數方程,計算系數;4.列出角度誤差方程.第二節誤差方程的列立記憶規律2023/11/8第四章間接平差15四、誤差方程的線性化1.測邊網坐標平差的誤差方程

提示:按J-K方向與按K-J方向列立的方程相同[例4-3]見教材P113-116第二節誤差方程的列立記憶規律注意:四種特殊情況導線網是上述兩種情況的綜合,此時要注意觀測值權的確定.2023/11/8第四章間接平差16第二節誤差方程的列立2023/11/8第四章間接平差17第三節精度評定一、單位權中誤差其中：顧及則而二、協因數陣已知求：基本思想：把這些向量表示成已知協因數陣的量L的線性函數，然后用協因數傳播律求解。具體表示方法要用到平差原理中的主要公式。2023/11/8第四章間接平差18第三節精度評定二、協因數陣因：所以：其中：根據協因數傳播律：則而要想找，要么把化為的函數，要么先求如下協因數陣：則：2023/11/8第四章間接平差19第三節精度評定三、參數函數的中誤差設參數函數按泰勒公式展開顧及則而令：其實只需全微分即可：參數函數：全微分：令則有：令：協因數：中誤差：權函數式2023/11/8第四章間接平差20第三節精度評定四、參數的中誤差參數的協因數陣：對角線元素就是各參數的協因數，有：參數的中誤差：[例題]參閱教材P120-122權系數陣2023/11/8第四章間接平差21第三節精度評定2023/11/8第四章間接平差22第四節公式匯編觀測值個數n，必要觀測個數t，選t獨立量為參數近似值取：有：平差值方程：誤差方程：常數項：或法方程：式中：法方程的解：平差值：單位權中誤差：參數協因數陣：參數中誤差：2023/11/8第四章間接平差23第四節公式匯編參數函數：權函數式：式中：其中：函數協因數：函數方差：*2023/11/8第四章間接平差24第五節附有限制條件的間接平差

簡介間接平差要求選u=t個獨立的參數，但有時所選參數的個數會大于t,即：u>t如圖測角網，n=18,又高精度觀測了P1~P2的邊長和P3~P4邊的方位角，則

t=2X5-2=8,但在平差時，一般仍然選擇各待定點的坐標平差值為參數，即：

u=10>t多選2個參數，在參數之間就會產生2個條件式：二、協因數陣除了要列立18個誤差方程外，還要列出這2個參數之間的條件式。2023/11/8第四章間接平差25第五節附有限制條件的間接平差一、平差原理設有n個觀測值L，權陣為P，必要觀測個數為t,選取u>t個參數X，則不獨立參數的個數為：

s=u-t方程總數為：r+u=r+t+s=n+s（個）。其中包含n個誤差方程和s參數之間的條件方程。一般形式為：或根據第二章知，線性化后有：要求滿足：組成新函數：求一階導數并令其為零：轉置后：此式與函數模型一起稱為“基礎方程”函數模型2023/11/8第四章間接平差26第五節附有限制條件的間接平差

（1）基礎方程（2）（3）（1）代入（3）上式變為：令：（4）（5）法方程解法一（顯性形式）：用左乘（4）-（5）得：令：則：所以：代如（4）：代入（1）法方程改正數參數改正數2023/11/8第四章間接平差27第五節附有限制條件的間接平差代入誤差方程求觀測值改正數：求平差值：解法二（矩陣形式）由前知（4）

（5）

上面法方程可寫成如下形式：法方程的解：

法方程2023/11/8第四章間接平差28第五節附有限制條件的間接平差二、精度評定1.單位權中誤差其中：基礎方程為：r+u=n+s2023/11/8第四章間接平差29第五節附有限制條件的間接平差二、精度評定2.協因數陣基本思想是把其它變量表示為已知協因數陣的量的線性函數。2023/11/8第四章間接平差30第五節附有限制條件的間接平差二、精度評定3.參數函數的協因數其中：如何求參數的中誤差？？？三、公式匯編及示例1.公式匯編函數模型：法方程：式中：2023/11/8第四章間接平差31第五節附有限制條件的間接平差三、公式匯編（續）參數的解：式中平差值單位權中誤差：根據第二章知，線性化后有：參數的函數：權函數式：式中：函數的協因數：函數的中誤差：如果要求參數X的中誤差，直接從Qxx中抄其協因數，開方后乘單位權中誤差。2023/11/8第四章間接平差32第五節