四川省閬中東風中學校2023-2024學年度上期高一年級第一次段考數學試題考試時間：120分鐘試卷滿分：150分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則集合（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用交集的定義直接求解即得.【詳解】集合，，則.故選：B2.已知命題：，則為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用全稱命題的否定為特稱命題，寫出結果即可.【詳解】因為全稱命題的否定為特稱命題，所以命題：的否定為：：.故選A.3.函數，的圖象如圖所示，則的單調遞增區間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由圖象即可得到函數的單調增區間.【詳解】根據圖像易得單調增區間為，故選：C.4.已知，那么的大小關系是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用作差法比較大小.【詳解】解：，，．，．．故選：B．5.，，若，則的取值集合為A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出，由，，可得，或，由此能求出的取值集合．【詳解】，，，，或，或或．的取值集合為．故選D．【點睛】本題主要考查集合子集的定義，以及集合空集的定義，意在考查對基礎知識的掌握與應用，屬于基礎題．6.已知,且滿足,那么的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用“乘1法”與基本不等式的性質即可得出結果.【詳解】解：∵,且滿足,那么.當且僅當時取等號.∴最小值為.故選：B【點睛】本題考查基本不等式的應用,利用“乘1法”是基本不等式求最值中的重要方法,基本不等式的應用要注意“一正二定三相等”.7.函數在上單調遞減，則的范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據一元二次函數圖象可知對稱軸在區間的左側時滿足題意，解不等式可得.【詳解】根據題意可知關于對稱，且開口向下；若函數上單調遞減，則，解得.故選：C8.已知函數，若對于任意給定的不等實數，不等式恒成立，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據條件判斷函數單調性，利用單調性列出限制條件可得答案.【詳解】因為，所以函數為增函數，所以，解得.故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列命題中，既是存在量詞命題又是真命題的是（）A.所有的正方形都是矩形 B.有些梯形是平行四邊形C.， D.至少有一個整數，使得【答案】CD【解析】【分析】判斷各選項中命題的類型，并判斷出各命題的真假，可得出合適的選項.【詳解】對于A選項，命題“所有的正方形都是矩形”是全稱量詞命題，該命題為真命題，A不滿足要求；對于B選項，命題“有些梯形是平行四邊形”為存在量詞命題，該命題為假命題，B不滿足要求；對于C選項，命題“，”為存在量詞命題，取，則，該命題為真命題，C滿足要求；對于D選項，命題“至少有一個整數，使得”為存在量詞命題，取，則，該命題為真命題，D滿足要求.故選：CD.10.下列各組函數是同一函數的是（）A.和 B.和C.和 D.和【答案】AD【解析】【分析】根據兩函數相等的三要素一一判斷即可.【詳解】對于A,的定義域為,的定義域為,且兩個函數的對應關系相同,所以是同一函數,故A正確;對于B,的定義域為,的定義域為,所以不是同一函數,故B錯誤;對于C，與對應關系不相同,故C錯誤;且定義域為,定義域為,所以兩個函數是同一函數,故D正確.故選:AD.11.下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】AC【解析】【分析】對各選項逐一通過作差，不等式的性質或者舉特例即可確定對應選項的正確性而得解.【詳解】對于A，因，則，即，A正確；對于B，時，取，則，即不成立，B不正確；對于C：因，則，于是有，C正確；對于D，，當時，，即不成立，D不正確.所以說法正確的是只有選項AC.故選：AC12.將一根鐵絲切割成三段，做一個面積為，形狀為直角三角形的框架，在下列4種長度的鐵絲中，能滿足題意的是（）A.9.5m B.10.2m C.10.5m D.11m【答案】CD【解析】【分析】先設直角三角形的框架的兩條直角邊為，則，此時三角形框架的周長為，再根據基本不等式，求出周長的最小值即可得解．【詳解】設直角三角形的框架的兩條直角邊為，則，即，此時三角形框架的周長為，當且僅當時，取等號，因為，所以，所以在選項中4種長度的鐵絲中，能滿足題意的是CD.故選：CD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.“”是“”的______條件．（填“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”中的一個）【答案】必要不充分【解析】【分析】根據充分條件、必要條件的概念直接得出結果.【詳解】由得或,所以“”是“”的不充分條件；若則為真命題，所以“”是“”的必要條件.綜上可得，“”是“”的必要不充分條件.故答案為：必要不充分.14.已知函數，則______．【答案】4【解析】【分析】根據分段函數解析式即得.【詳解】因為，所以.故答案為：.15.函數定義域是，則的定義域是______．【答案】【解析】【分析】根據抽象函數定義域的求法計算即可.【詳解】因為的定義域為，所以函數中，解得，所以函數的定義域為.故答案為：.16.已知是定義在上的減函數，且，則的取值集合為___________.【答案】【解析】【分析】由函數單調性和定義域的要求可得自變量所滿足的不等關系，解不等式求得結果.【詳解】的定義域為，，解得：，又為定義域上的減函數且，，解得：，綜上所述：取值集合為.故答案為：.【點睛】本題考查根據函數的單調性求解函數不等式的問題，易錯點是忽略函數定義域的要求，造成求解錯誤，屬于基礎題.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.求下列不等式的解集．（1）；（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】由一元二次不等式的解法，直接求解即可.【小問1詳解】由，得，解得：或，故不等式的解集為：；小問2詳解】由，

得，解得：或，故不等式的解集為.18.已知函數（且）．（1）求的值；（2）求證：是定值；【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據函數解析式將和代入計算可得；（2）將化簡計算即可得出，即可證明是定值.【小問1詳解】由可知，代入計算可得；【小問2詳解】證明：，（且）19.已知全集，，非空集合．（1）當時，求；（2）命題：，命題：，若是的必要條件，求實數的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由得到集合AB，再利用集合的補集和交集運算求解；（2）易知，結合，由求解.【小問1詳解】解：∵時，，，全集，∴或．∴A=．【小問2詳解】∵命題：，命題：，是的必要條件，∴．∵，∴，∵，，∴，解得或，故實數取值范圍．20.設函數，（1）畫出函數的圖像；（2）求出的解集，并寫出函數的值域．【答案】（1）圖象見解析；（2）詳見解析.【解析】【分析】（1）根據分段函數解析式畫出函數的圖象；（2）根據函數的圖象結合解析式可得不等式的解集及函數的值域.【小問1詳解】因為，圖象如圖所示：；【小問2詳解】令得：或，結合圖象知的解集為，又由圖象可知，函數處取得最大值，因為當時，，所以，故的值域為.21.已知關于x的不等式．（1）若不等式的解集是，求的值；（2）若，，求此不等式的解集．【答案】（1）；（2）分類討論，答案見解析．【解析】【分析】（1）利用根與系數關系列式，求得的值，進而求得的值.（2）將原不等式轉化為，對分成三種情況，討論不等式的解集.【詳解】（1）由題意知，且1和5是方程的兩根，∴，且，解得，，∴．（2）若，，原不等式為，∴，∴．∴時，，原不等式解集，時，，原不等式解集為，時，，原不等式解集為，綜上所述：當時，原不等式解集為，當時，原不等式解集為．當時，原不等式解集為．【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查根與系數關系，考查分類討論的數學思想方法，屬于中檔題.22.近年來，國際環境和局勢日趨嚴峻，高精尖科技圍堵和競爭更加激烈，國家號召各類高科技企業匯聚科研力量，加強科技創新，以突破我國在各個領域的“卡脖子”關鍵技術．某高科技企業計劃加大對芯片研發的投入，據了解，該企業原研發部門有100名技術人員，年人均投入80萬元．現將這100名技術人員分成兩個部分：研發部人員和技術部人員，其中技術部人員x名（其中），調整后研發部人員的年人均投入增加，技術部人員的年人均投入調整為萬元．（1）要使得調整后研發部人員的年總投入不低于調整前的100名技術人員的年總投入，求調整后的技術人員的人數x最多為多少？（2）若技術部人員在已知范圍內調整后，必須要求研發部人員的年總投入始終不低