兩列波相干條件的證明

1波的相干條件這兩個列的光需要干預，才能在空間上穩定分布，滿足振動波的相位條件。這兩個列波必須滿足相同的振動方向、相同的頻率和相反的相位差的條件。滿足相干條件的兩個列波被稱為相干波。許多普通物理教材沒有給出證明，學生很難全面、深入地理解這一點。在這項工作中，我們證明了波的相位，該方法是直觀和普遍的。2各點光強的重新分布如圖1所示,設有兩列光波分別從點光源S1和S2發出,經過r1和r2傳播到空間某點P.考慮這兩列光波的疊加:光波中在視覺上產生感光效應的是電場矢量,故只需考慮電場E的疊加.這兩列波的光矢量分別為E1=E10cos(ω1t?2πλr1+φ10)(1)E2=E20cos(ω2t?2πλr2+φ20)(2)E1=E10cos(ω1t-2πλr1+φ10)(1)E2=E20cos(ω2t-2πλr2+φ20)(2)在兩列波交疊區域中的P點,選取如圖2所示的直角坐標系,若E1和E2振動方向之間的夾角為θ,有:E=E1+E2=(E1+E2x)i+E2yj=Exi+EyjEx=E1+E2x=E0xcosφ(t,r1,r2)Ey=E2y=E20ycosφ2(t,r2)其中E20y=E20sinθ.由同方向簡諧振動的合成E0x=(E210+E220x+2E10E20xcosΔφ)12=(E210+E220cos2θ+2E10E20cosθcosΔφ)12E0x=(E102+E20x2+2E10E20xcosΔφ)12=(E102+E202cos2θ+2E10E20cosθcosΔφ)12其中Δφ為空間P點處同方向振動E1和E2cosθ在t時刻的相位差,由(1)式和(2)式可得Δφ=(ω2?ω1)t?2πλ(r2?r1)+φ20?φ10(3)Δφ=(ω2-ω1)t-2πλ(r2-r1)+φ20-φ10(3)相位差Δφ隨時間改變,兩列光波在P點的合成光強應在一個周期內取平均值I=E20x+E220yˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉ=E210+E220cos2θ+2E10E20cosθcosΔφ+E220sin2θˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉΙ=E0x2+E20y2ˉ=E102+E202cos2θ+2E10E20cosθcosΔφ+E202sin2θˉI1和I2分別為光源S1和S2單獨在P點產生的分光強,它們不隨時間改變.上式為I=I1+I2+2I1I2????√cosθcosΔφˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉ(4)Ι=Ι1+Ι2+2Ι1Ι2cosθcosΔφˉ(4)這里cosΔφ隨時間和空間位置變化,引起光強的重新分布,決定了空間各點實際光強的差異.3相干條件選取對(4)式進行討論,可得到干涉條件:(1)只有當兩列光波有相互平行的光振動分量時,cosθ不為零,有I≠I1+I2Ι≠Ι1+Ι2空間各點光強有差異,才可能產生干涉現象.(2)若ω1≠ω2,有cos[(ω2?ω1)t+C]ˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉ=0,I=I1+I2cos[(ω2-ω1)t+C]ˉ=0,Ι=Ι1+Ι2空間各點光強相同,無干涉現象.所以相干條件要求:ω1=ω2.(3)在(3)式中,若φ20-φ10隨機變化,如兩個獨立的普通光源發出的光波,則cosΔφˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉ=0?I=I1+I2cosΔφˉ=0?Ι=Ι1+Ι2,因而兩列光波不相干.綜上所述,兩列光波的相干條件為(1)ω1=ω2;(2)存在相互平行的振動分量(不必一定振動方向相同);(3)位相差Δφ恒定.必須同時滿足以上三個條件才有干涉現象產生.此時,Δφ=?2πλ(r2?r1)+(φ20+φ10)=Δφ(r1,r2).Δφ=-2πλ(r2-r1)+(φ20+φ10)=Δφ(r1,r2).合成光強的大小將隨位置的不同而呈現穩定的強弱分布,產生了干涉現象.4合成2i1i2,222。2coscos22coscos由以上的分析,ω1≠ω2或位相差Δφ隨機變化或θ=90°,此時都有2I1I2????√cosθcosΔφˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉ2Ι1Ι2cosθcosΔφˉ為0,合成光強I=I1+I2,無干涉現象.5物理問題的解決方法學習光的干涉時,如果能用數學方法來推導干