兩條直線的交點學習目標核心素養1．了解方程組的解的個數與兩直線平行、相交或重合的對應關系．(重點、難點)2．會用解方程組的方法求兩條相交直線交點的坐標．(重點)3．會利用直線系方程解決相關問題．(難點)通過學習本節內容來提升學生的數學運算和邏輯推理數學核心素養.1．二元一次方程組解的個數與兩直線交點個數的關系方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一組無數組無解直線l1，l2的公共點個數一個無數個零個直線l1，l2的位置關系相交重合平行2.直線系方程(1)平行于直線Ax＋By＋C＝0的直線：Ax＋By＋m＝0(m≠C)．(2)垂直于直線Ax＋By＋C＝0的直線：Bx－Ay＋m＝0(m為參數)．(3)過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.(注意：該直線不包括直線l2)1.思考辨析(1)任意一條直線都可以用一個二元一次方程來表示． ()(2)直線上點的坐標都是直線所對應的二元一次方程的解，反之，以二元一次方程的解為坐標的點都在直線上． ()(3)直線系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示經過直線A1x＋B1y＋C1＝0和直線A2x＋B2y＋C2＝0交點的所有直線． ()(4)直線A1x＋B1y＋C1＝0與直線A2x＋B2y＋C2＝0有交點的等價條件是A1B2－A2B1≠0. ()[答案](1)√(2)√(3)×(4)√2．直線x＋2y－1＝0與直線x＋y－5＝0的交點坐標為________．(9，－4)[聯立方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y－1＝0，,x＋y－5＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝9，,y＝－4，))所以交點坐標為(9，－4)．]3．已知直線3x＋5y＋m＝0與直線x－y＋1＝0交點在x軸上，則m＝________．3[直線x－y＋1＝0與x軸的交點為(－1，0)，則(－1，0)在直線3x＋5y＋m＝0上，∴3×(－1)＋5×0＋m＝0，∴m＝3.]4．過點(1，1)與直線2x＋y＝4平行的直線方程為________．2x＋y－3＝0[設所求直線方程為2x＋y＝m，將點(1，1)代入方程得m＝3，∴所求直線方程為2x＋y－3＝0.]兩直線位置關系的判定【例1】判斷下列各對直線的位置關系，若相交，求出交點坐標：(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；(3)l1：2x－3y＋5＝0，l2：4x－6y＋10＝0.思路探究：根據它們組成的方程組的解的個數或方程的系數特征進行判斷．[解](1)由方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋3＝0，,x－2y－1＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1，))∴直線l1與l2相交，交點坐標為(－1，－1)．(2)解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＋2＝0，①,2x＋2y＋3＝0，②))①×2－②得：1＝0矛盾，∴方程組無解．∴兩直線無公共點，l1∥l2.(3)解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋5＝0，①,4x－6y＋10＝0，②))①×2得4x－6y＋10＝0，∴①和②可以化為同一方程，即l1與l2是同一直線，l1與l2重合．判定直線的位置關系有以下兩種方法(1)利用方程組解的個數判斷．(2)利用直線平行、重合、垂直和相交的條件判斷，兩直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.①當A1B2－A2B1≠0時，兩直線相交；②當A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1＝0(或A1C2－A2C1＝0)時，兩直線重合；③當A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)時，兩直線平行；④當A1A1．下列各組直線中，其中為相交直線的序號為________．①y＝x＋2和y＝1；②x－y＋1＝0和y＝x＋5；③x＋my－1＝0(m≠2)和x＋2y－1＝0；④2x＋3y＋1＝0和4x＋6y－1＝0.①③[①顯然相交；②平行；③直線x＋my－1＝0過點(1，0)，直線x＋2y－1＝0過點(1，0)，故兩直線相交；④兩直線平行．]2．兩條直線2x＋3y－m＝0和x－my＋12＝0的交點在x軸上，那么m的值是________．－24[在2x＋3y－m＝0中，令y＝0，得x＝eq\f(m,2)；在x－my＋12＝0中，令y＝0，得x＝－12.由題意知eq\f(m,2)＝－12，故m＝－24.]直線交點的應用【例2】當k為何值時，直線l1：y＝kx＋3k－2與直線l2：x＋4y－4＝0的交點P在第一象限？思路探究：在相交的條件下，聯立方程組求交點，根據條件列關于k的不等式組求解．[解]當k＝－eq\f(1,4)時，l1與l2平行，不符合題意．當k≠－eq\f(1,4)時，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋3k－2，,x＋4y－4＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(12－12k,1＋4k)，,y＝\f(7k－2,1＋4k)，))∵點P在第一象限，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(12－12k,1＋4k)>0，,\f(7k－2,1＋4k)>0，))∴eq\f(2,7)<k<1.已知兩條直線交點的情況，確定直線方程中的參數的值或取值范圍，方法是先求出交點坐標，再根據題意列出關于參數的方程或不等式，從而求出參數的值或取值范圍．3．如圖，以Rt△ABC的兩條直角邊AB，BC向三角形外分別作正方形ABDE和正方形BCFG.連結EC，AF，兩直線交于點M.求證：BM⊥AC.[證明]以兩條直角邊所在直線為坐標軸，建立直角坐標系．設正方形ABDE和正方形BCFG的邊長分別為a，b，則A(0，a)，C(b，0)，B(0，0)，E(－a，a)，F(b，－b)．直線AF的方程是eq\f(y＋b,a＋b)＝eq\f(x－b,0－b)，即(a＋b)x＋by－ab＝0.直線EC的方程是eq\f(y－0,a－0)＝eq\f(x－b,－a－b)，即ax＋(a＋b)y－ab＝0.解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a＋b）x＋by－ab＝0，,ax＋（a＋b）y－ab＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(a2b,a2＋ab＋b2)，,y＝\f(ab2,a2＋ab＋b2)，))即M點的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2b,a2＋ab＋b2)，\f(ab2,a2＋ab＋b2)))，故kBM＝eq\f(b,a)，又kAC＝eq\f(0－a,b－0)＝－eq\f(a,b)，所以kBM·kAC＝－1.因此BM⊥AC.過兩直線交點的直線系方程的應用[探究問題]1．過原點(0，0)且過直線x＋y－2＝0與直線x－y＋3＝0的交點的直線方程怎樣求？有幾種方法？[提示]有兩種方法，法一，先求直線x＋y－2＝0與直線x－y＋3＝0的交點，再利用兩點式求出方程．法二，設所求直線為x＋y－2＋λ(x－y＋3)＝0，將點(0，0)代入得3λ－2＝0，∴λ＝eq\f(2,3)，所求直線為x＋y－2＋eq\f(2,3)(x－y＋3)＝0，即5x＋y＝0.2．過點M(2，0)，與直線x＋2y－b＝0(b≠2)平行的直線怎樣求？[提示]設所求直線為x＋2y＋m＝0，將點(2，0)代入方程，求出m的值即可，直線為x＋2y－2＝0.【例3】求經過兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程．思路探究：可先求交點坐標，再利用點斜式求直線方程；或利用過兩直線交點的直線系方程求解．[解]法一：解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0，))得P(0，2)．∵keq\s\do6(l3)＝eq\f(3,4)，且l⊥l3，∴kl＝－eq\f(4,3).由斜截式可知l的方程為y＝－eq\f(4,3)x＋2，即4x＋3y－6＝0.法二：設直線l的方程為x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11.∴直線l的方程為4x＋3y－6＝0.兩條直線的交點坐標就是聯立兩直線方程所得方程組的解．本題解法一采用常規方法，先通過方程組求出兩直線交點，再根據垂直直線求出斜率，由點斜式求解；而解法二則采用了過直線A1x＋B1y＋C1＝0與A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，直接設出過兩直線交點的方程，再根據垂直條件求出待定系數即可．4．求經過兩條直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－2y＋1＝0的交點且與兩坐標軸圍成的三角形面積為eq\f(1,2)的直線的方程．[解]法一：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y－8＝0，,x－2y＋1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2.))由題意可知所求的直線在x軸，y軸上的截距都存在且不為零，設所求的直線的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3,a)＋\f(2,b)＝1，,\f(1,2)|a|·|b|＝\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(3,2)，,b＝\f(2,3).))所以所求的直線的方程為eq\f(x,1)＋eq\f(y,－1)＝1或eq\f(x,－\f(3,2))＋eq\f(y,\f(2,3))＝1，即x－y－1＝0或4x－9y＋6＝0.法二：易知直線x－2y＋1＝0與坐標軸圍成的三角形的面積S＝eq\f(1,2)×1×eq\f(1,2)≠eq\f(1,2)，所以所求的直線的方程不可能是x－2y＋1＝0.故可設所求的直線的方程為(2x＋y－8)＋λ(x－2y＋1)＝0(λ為任意實數)，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋(λ－8)＝0.由題意得(2＋λ)·(1－2λ)·(λ－8)≠0，令x＝0，得y＝－eq\f(λ－8,1－2λ)；令y＝0，得x＝－eq\f(λ－8,2＋λ).所以所求直線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為eq\f(1,2)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(λ－8,1－2λ)))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(λ－8,2＋λ)))＝eq\f(1,2)，所以(λ－8)2＝|(1－2λ)(2＋λ)|.解得λ＝3或λ＝－22.當λ＝3時，所求直線的方程為x－y－1＝0；當λ＝－22時，所求直線的方程為4x－9y＋6＝0.故所求直線的方程是x－y－1＝0或4x－9y＋6＝0.1．本節課的重點是了解方程組的解的個數與兩直線平行、相交或重合的對應關系，會用解方程組的方法求兩條相交直線交點的坐標．難點是了解方程組的解的個數與兩直線平行、相交或重合的對應關系．2．本節課要重點掌握的規律方法(1)掌握兩條直線相交的判定方法，掌握過兩條直線交點的直線方程的求法．(2)經過兩直線交點的直線系方程：①與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程為Ax＋By＋C′＝0(C′≠C)；②與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程為Bx－Ay＋C′＝0；③過兩直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程為λ1(A1x＋B1y＋C1)＋λ2(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ1，λ2為參數)．當λ1＝1，λ2＝0時，方程即為l1；當λ1＝0，λ2＝1時，方程即為l2.1．直線l1：2x－y＝7與l2：3x＋2y－7＝0的交點坐標為()A．(－3，1) B．(3，－1)C．(6，－2) D．(4，1)B[由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＝7，,3x＋2y－7＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1，))∴交點為(3，－1)．]2．已知直線l：2x＋my＋1＝0與直線y＝x＋1相交，則m的取值范圍是________．(－∞，－2)∪(－2，＋∞)[若m＝0，兩直線顯然相交；若m≠0，則－eq\f(2,m)≠1，即m≠－2.故m的取值范圍為(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．]3．過l1：3x－5y－10＝0和l2：x＋y＋1＝0的交點，且平行于l3：x＋2y－5＝0的直線方程為________．8x＋16y＋21＝0[由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－5y－