第5章 邏輯與推理論證的學(xué)習(xí)1內(nèi)容提要2一、邏輯用語與學(xué)習(xí)心理二、推理、證明與學(xué)習(xí)心理邏輯用語：可用來準確、簡潔地表述數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)定理，同時在各種交流活動中，邏輯用語可用來嚴密地表述對各種問題的思考結(jié)果．推理：是從一個或者一些已知的命題得出新命題

的思維過程或思維形式．其中已知的命題是前提，得出的新命題是結(jié)論．論證：是用某些理由去支持或反駁某個觀點的過程或語言形式，通常由論題、論點、論據(jù)和論證方式構(gòu)成．3中學(xué)階段，數(shù)學(xué)課程標準對邏輯用語與推理論證學(xué)習(xí)的基本要求是：邏輯基礎(chǔ)：命題及命題的關(guān)系、命題與命題的條件、邏輯聯(lián)結(jié)詞、邏輯量詞．推理：合情推理、演繹推理及兩者之間的辯證關(guān)系．論證的基本方法：直接證明、間接證明、數(shù)學(xué)歸納法．4一、邏輯用語與學(xué)習(xí)心理5（一）判斷學(xué)習(xí)1、判斷的意義判斷是人們對事物情況有所肯定或否定的比概念高一級的思維形式．例如:2是自然數(shù),1是質(zhì)數(shù),A=B,1+2=9,正數(shù)大于零,判斷具有兩個基本特征:一定要“有所斷定”.不能作出肯定或否定的思維形式,就不能稱為判斷.如，“小于9嗎”,“1+2=3嗎”等都不是判斷.（2）判斷有真假之分.判斷是對客觀事物有所斷定的一種思

維形式，是對客觀事物情況的反映，而不是客觀事物本身。如實反映事物情況的判斷，叫真判斷；不符合事物情況的判斷，叫假判斷．例如，“正數(shù)大于零”是真判斷，“兩個無理數(shù)之和是無理數(shù)”是假判斷．判斷一般是用陳述句來表達的，它往往是概念與概念的聯(lián)合．而疑問句、感嘆句、祈使句一般不能表達任何肯定或否定的內(nèi)容，因此不能成為一個判斷．62、判斷的分類:判斷有簡單判斷和復(fù)合判斷（1）簡單判斷在一個判斷中，如果只包含結(jié)構(gòu)最簡單的判斷，不包含其他的判斷，叫做簡單判斷．簡單判斷又分為關(guān)系判斷和性質(zhì)判斷。關(guān)系判斷——就是斷定客觀對象間某種關(guān)系的判斷.關(guān)系判斷是由關(guān)系者項、關(guān)系項和量項三部分組成的.性質(zhì)判斷——是直接對事物的性質(zhì)有所肯定或否定。7這里重點討論性質(zhì)判斷①性質(zhì)判斷的定義性質(zhì)判斷是直接對事物的性質(zhì)有所肯定或否定。傳統(tǒng)邏輯亦把它稱為直言判斷.如“所有等邊三角形都是相似的”，“有些一元二次方程沒有實數(shù)根”.②性質(zhì)判斷的結(jié)構(gòu)性質(zhì)判斷是由主項、謂項、量項、聯(lián)項四部分組成。8性質(zhì)判斷的結(jié)構(gòu)：主項——表示被判斷的對象，通常用符號“S”表示。謂項——表示被判斷對象的性質(zhì)，通常用符號“P”表示。量項——表示判斷中主項的數(shù)量（數(shù)量或范圍的概念），反映判斷量的差別(常用所有、一切、有些、有的、凡、每一個等表示)。量項一般又可分為三種：全稱量項——它是一個全稱量詞，表示在一個判斷中對主項的全部外延作了斷定，常用“所有”、“一切”、“凡

”、“每一個”等來表示；特稱量項—--它表示在一個判斷中只對主項的部分外延作了斷定，通常用“有的”、“有些”等來表示；單稱量項—--它表示在一個判斷中對主項的一個特定外延作了斷定（所斷定的主項只是某一個個別對象），一般用

“這個”、“那個”、“某個”等來表示。

9聯(lián)項——也稱聯(lián)結(jié)項，表示判斷中主、謂項之間的關(guān)系，反映判斷質(zhì)的差別(常用有、是、沒有、都是、不是等表示)，聯(lián)項可分為肯定聯(lián)項（是）或否定聯(lián)項（不是）.在肯定判斷表達中，量項與聯(lián)項有時可以省略.如，(一切)負數(shù)(是)沒有對數(shù)；(凡)對頂角(都是)相等．注意：性質(zhì)判斷本身不包含其它判斷成分，它實際上只是斷定了“S”與“P”這兩個概念之間的外延關(guān)系，所以它屬于簡單判斷。10例如：所有等邊三角形 都是 相似的

量項主項聯(lián)項 謂項

有些 一元二次方程 沒有 實數(shù)根性質(zhì)判斷的結(jié)構(gòu)：(判斷)=(量項)+(

S：主項)+(聯(lián)項)+(

P：謂項)11（二）命題知識1、命題的含義中學(xué)階段要求學(xué)生：（1）了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義，并能正確地使用它們；（2）了解全稱量詞和存在量詞的意義，并能正確地對含有量詞的命題作出否定。在邏輯聯(lián)結(jié)詞與量詞的學(xué)習(xí)中，學(xué)生最大的困難是理解“否定”、運用“否定”。12命題——表達判斷的陳述語句稱為命題。數(shù)學(xué)命題——表示數(shù)學(xué)判斷或數(shù)學(xué)關(guān)系的陳述稱為數(shù)學(xué)命題。數(shù)學(xué)中的定義、公理、定理、法則、性質(zhì)、有些習(xí)題（結(jié)果正確，但未作為定理或公式使用的數(shù)學(xué)結(jié)論）都是命題。命題既可用語言敘述，也可用符號進行表示．常用的邏輯聯(lián)結(jié)詞有“非”、“或”、“且”、“蘊含”、“等值”等；13常用的全稱量詞有“任意”、“所有”、“每一個”等；數(shù)學(xué)上用符號“ ”表示。常用的存在量詞有“存在”、“某一個”、“至少有一個”等。數(shù)學(xué)上用符號“ ”表示。涉及量詞的命題必須指出量詞的作用與范圍。命題也有真命題與假命題之分，結(jié)構(gòu)上一般由條件(前提)和結(jié)論兩部分組成。條件是已知事項,結(jié)論是由條件推出的事項。根據(jù)命題結(jié)構(gòu)差異,往往把數(shù)學(xué)命題也分為簡單命題與復(fù)合命題兩種類型．14簡單命題——是指結(jié)構(gòu)最簡單的命題,從其表達的形式結(jié)構(gòu)上分析,它是不能再分解為其它命題的命題.數(shù)學(xué)命題（廣義的）——主要來自定義、公理、定理、法則、性質(zhì)、有些習(xí)題。（1）數(shù)學(xué)有一類語句的表達沒有真假可言，如：含有變量x的“

” 就是沒有判斷真假的句子。（2）命題也有真假之分。152.命題種類聯(lián)言命題——聯(lián)結(jié)詞“且”用來聯(lián)結(jié)兩個命題A、B ，得到新命題“A且B”稱為聯(lián)言命題，記作 為真命題當且僅當A和B都為真命題。選言命題——聯(lián)結(jié)詞“或”用來聯(lián)結(jié)兩個命題A、B，得到新命題“A或B”稱為選言命題，記作AVB，AVB為真命題當且僅當A和B中至少有一個為真命題。負命題——設(shè)A是一個命題，聯(lián)結(jié)詞“非”是對命題B作否定，得到命題“非A”或“不是A”，成為A的負命題（不能稱為否命題）記作 。A為真命題當且僅當 為假命題。16定義——揭示概念內(nèi)涵的陳述稱為定義．數(shù)學(xué)定義中的條件是所指概念的充分必要條件．公理——作為一個數(shù)學(xué)體系論證出發(fā)點的一組真命題，它們經(jīng)實踐檢驗(非邏輯論證)為正確，它們之間無矛盾性、彼此獨立(不可互推)、具有完全性(不可缺少)，則稱這組真命題為這個數(shù)學(xué)體系的公理.例如平面幾何的一組公理：過兩點可作一直線；由一點和一線段可以作圓；直角彼此相等；17定理——根據(jù)已知概念和真命題，經(jīng)邏輯論證而得到的真命題叫做定理.推論——由某定理直接產(chǎn)生的結(jié)果叫做該定理的推論，一般附在該定理后面．性質(zhì)——事物本身所具有的與他事物不同的特征.183、命題的運算命題真值的概念:對于命題A、B，如果A是一個真命題，我們就說A的真值等于1，記成A=1；如果B是一個假命題，我們就說B的真值等于O，記成B=0．一個命題只有或真或假，而不能既真又假．因此，一個命題的真值只能是1或0，不能既為1，又為0，或非1又非0．19（不能稱為否命題），記作 ，讀作“非A”（也可記

復(fù)合命題由于所采用的邏輯聯(lián)結(jié)詞不同，可分為下列五種形式：（1）否A定式（非）給定一個命題A,用聯(lián)結(jié)詞“非”組成一個復(fù)合命題“非A”或“不是（AA”,B，的稱否為定A式的）負命題作

）1，其真值表如下：00120(２)析取式（或）

給定兩個命題A與B，用聯(lián)結(jié)詞“或”組成一個復(fù)合命題

“A或B”，稱為選言命題，記作A

B，其真值由下表來定義：ABAVB（A,B的析取式）11110101100021（3）合取式（與）兩個命題A,B用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”聯(lián)結(jié)起來的新命題“A且B”稱為命題的合取式，也稱為聯(lián)言命題。記作“ ”，其真值可用下面的真值表來定義：AB（A,B的合取式）11110001000022（4）蘊含式給定兩個命題A與B，用連接詞“若……，則……”組成一個復(fù)合命題“若A則B”，記作，其真值可用下面的真值表來定義：

AB（A,B的蘊含式）11110001100123注意點：241.在蘊涵式的真值定義中，前兩行與日常生活經(jīng)驗相符，容易被接受.但是“前件假，后件真，則蘊涵式真”的規(guī)定卻與人們的直覺相悖，不易被人理解.我們通過一個例子說明其定義的合理性.案例：幻燈片

412.“若1+2=3，則雪是白的”在邏輯學(xué)上是真命題，但不能作為數(shù)學(xué)上的真命題。（5）等值式給定兩個命題A與B，用聯(lián)結(jié)詞“等值”組成一個復(fù)合命題“A等值B”，記作“A

B”，其真值可用下面A

B真值表來定A B（A,B的等值式）義：11110001000125注：等價式與邏輯等價是不一樣的：等價式是由p,q構(gòu)成的新命題

；而邏輯等價是指兩個命題p,q間的關(guān)系：即兩個命題的真值表是完全相同的。26命題的四種形式及關(guān)系pq11001111100101100110100100111111注：從表中可以看出，互為逆否關(guān)系的兩個命題是等價的。27命題的四種形式及關(guān)系原命題逆命題否命題逆否命題互逆互否互否逆否互為互逆28（三）學(xué)習(xí)心理1、命題知識學(xué)習(xí)心理命題知識涉及語言成分和邏輯成分，兩個方面中只要一方面有欠缺，就會影響命題知識的學(xué)習(xí)．此外，日常經(jīng)驗的影響有時也會妨礙對命題的理解．下面是從教學(xué)中總結(jié)出的一些命題學(xué)習(xí)的心理問題．29（1）對公理的誤解在基礎(chǔ)教育階段，為照顧學(xué)生的接受能力，往往用一些可

證明的命題作為學(xué)習(xí)論證的出發(fā)點或基本事實，這樣可以

減輕學(xué)生的負擔(dān)，不必要對可證明的命題都進行證明．但

是，這就容易造成誤解，認為在論證時作為出發(fā)點的真命

題都是公理，甚至有時教師也會產(chǎn)生誤解．作為論證出發(fā)

點的一組真命題要成為公理，它們必須是非邏輯論證而經(jīng)

實踐檢驗為正確的，同時應(yīng)當滿足：公理之間不能有矛盾，由公理導(dǎo)出(邏輯導(dǎo)出)的定理之間也不能有矛盾；公理是

彼此獨立的，即公理不能被其他公理推出；公理還須具有

完全性，即這個系統(tǒng)中，一切命題的真假都是可以確定的．30（2）區(qū)分命題中關(guān)系困難命題學(xué)習(xí)中，需要區(qū)別出命題的條件和命題的結(jié)論，從而把握命題的各種形式．對于那些條件或結(jié)論并不十分明顯的命題，學(xué)生往往抓不住問題的關(guān)鍵點，難以作出正確區(qū)分．幻燈片4431（3）實際經(jīng)驗與命題理論存在差異實際學(xué)習(xí)中，學(xué)生能夠表面地掌握命題的四種形式，并且知道原命題的真假不能決定逆命題和否命題的真假、原命題和逆否命題是等價的。但是對實際命題關(guān)系進行判斷時，學(xué)生往往不考慮數(shù)學(xué)原理，僅依賴現(xiàn)實感覺作選擇。幻燈片4432（4）“命題的否命題”與“命題的否定”的混淆命題的否定是對命題整體結(jié)論的否，而否命題是對命題中條件和結(jié)論的否，是命題中部分的否(條件及結(jié)論關(guān)系不變)，與命題結(jié)論的真假無關(guān)．例如，給出原命題“末位是5的整數(shù)可以被5整除”，要求寫出否命題和命題的否定．該命題的否命題為“若整數(shù)末位不是5，則整數(shù)不能被5整除”，而該命題的命題否定為“并非末位是5的整數(shù)都能被5整除”或者“存在末位是5的整數(shù)，不被

5整除”．33（四）邏輯聯(lián)結(jié)詞與量詞學(xué)習(xí)心理在邏輯聯(lián)結(jié)詞與量詞的學(xué)習(xí)中，學(xué)生最大的困難是理解“否定”、運用“否定”．復(fù)合命題否定的數(shù)學(xué)形式是特點有兩點:一是否定每一個命題，二是改變聯(lián)結(jié)詞．量詞命題否定的數(shù)學(xué)形式是特點有兩點:一是轉(zhuǎn)換量詞，二是否定命題

34實際學(xué)習(xí)中，對否定涉及的兩個根本特點是．學(xué)生往往只兼顧一面，而忽視“兩面俱到，造成邏輯上的錯誤．例如，下列一些錯誤：錯誤１“6是偶數(shù)且是3的倍數(shù)”的否定為“6是奇數(shù)且6不是3的倍數(shù)”．(是個復(fù)合命題)正確的否定為：“6是奇數(shù)或6不是3的倍數(shù)”．錯誤２

命題“每個人的壽命都是有限的”的否定為“每個人的壽命都是無限的”．正確的否定為：“有些人的壽命是無限的”．35邏輯聯(lián)結(jié)詞和邏輯量詞中各因素的關(guān)系比較復(fù)雜，學(xué)生學(xué)習(xí)中很容易出錯誤．教學(xué)中應(yīng)把握住兩點：一是在邏輯概念引入時，要注意選用日常生活中的邏輯用語的例子，理解邏輯的意義，弄清邏輯關(guān)系；二是要有足量的邏輯基本訓(xùn)練，學(xué)生通過反復(fù)訓(xùn)練，反復(fù)思考，辨明邏輯要義，才能熟練把握各種邏輯關(guān)系．36（五）逆命題的制造37一個真命題的逆命題，只有經(jīng)過論證后才知其真假．若一個定理的逆命題是真的，就得到原定理的逆定理．為研究一個定理的逆定理．這就要研究逆命題的制造方法．①當命題的條件和結(jié)論都是一個簡單命題時，這時只要將它們互換位置就可以得到原命題唯一的一個逆命題．例如，命題“對頂角相等”，它的逆命題是“相等的角是對頂角”．這個逆命題顯然是不正確的．②當命題的條件和結(jié)論不只是一個簡單命題時，將命題的條件和結(jié)論中的簡單命題任意進行交換位置，就可得到多個逆命題．當相同個數(shù)簡單命題交換時，所得逆命題的正確性較大，對其研究才有意義．例1：對原定理“在圓內(nèi)，弦的垂直平分線必過圓心且平分該弦所對的弧”，不難得到它的五個逆定理：在圓內(nèi)，過圓心且平分弦的直線必垂直該弦且平分該弦所對的弧；在圓內(nèi)，平分弦和這弦所對弧的直線必過圓心且垂直該弦；在圓內(nèi)，過圓心且垂直弦的直線必平分該弦和該弦所對的弧；在圓內(nèi)，垂直弦且平分該弦所對弧的直線必過圓心且平分該弦；在圓內(nèi)，過圓心且平分弦所對弧的直線必垂直平分該弦．38（六）命題的同一原理39前面已經(jīng)提到，互為逆否的兩個命題等效，互逆或互否的兩個命題不一定等效，但在某些特殊的情況下，一個命題與它的逆命題(或否命題)等效．例2原命題：對頂角相等．逆命題：相等的角是對頂角(不真)．例3原命題：等腰三角形頂角的平分線是底邊上的中線．逆命題：等腰三角形底邊上的中線是頂角的平分線(真)．我們注意到，例3中原命題的條件與結(jié)論所含事項都是唯一存在的，而且所指的是同一對象，而例2卻沒有這種特性．可見，兩個互逆命題，如果條件和結(jié)論中所含事

項都是唯一存在的，且它們所指的是同一概念時，那么，當其中一個命題正確時，另一個命題也是

正確的，這叫做同一原理．即符合同一原理的兩

個互逆命題是等效的，它們是同一法論證的邏輯

根據(jù)．因此，一個定理，如果條件和結(jié)論中所含

事項都唯一存在，且所指同一概念時，根據(jù)同一

原理，便可按照逆命題的制造法，直接寫出它的

逆命題而斷言其成立．例如，對于上述例1，由同一原理，便可直接得到它的五個逆定理．40例1小紅的爸爸對小紅作了一個許諾：如果小紅數(shù)學(xué)得滿分（p）；那么他替她買一件連衣裙（q），于是，就有四種可能發(fā)生.（1）小紅數(shù)學(xué)得滿分，爸爸買了一件連衣裙（p真q真）真（2）小紅數(shù)學(xué)得滿分，但爸爸沒有買連衣裙（p真q假）假（3）小紅數(shù)學(xué)沒有得滿分，爸爸仍然買了條連衣裙（p假q真）真（4）小紅數(shù)學(xué)沒有得滿分，爸爸沒有買連衣裙（