黑龍江省鶴崗一中2023年數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖所示，用3種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C中，要求相鄰的矩形不能使用同一種顏色，則不同的涂法有（）ABCA.3種 B.6種C.12種 D.27種2．若橢圓對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，長軸長為，焦距為，則橢圓的方程（）A. B.C.或 D.以上都不對(duì)3．如果向量，，共面，則實(shí)數(shù)的值是（）A. B.C. D.4．已知向量，且與互相垂直，則k=（）A. B.C. D.5．函數(shù)在上單調(diào)遞增，則k的取值范圍是（）A B.C. D.6．已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，則的值為（）A.3 B.6C.9 D.367．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A. B.C. D.8．如圖，在直三棱柱中，AB＝BC，，若棱上存在唯一的一點(diǎn)P滿足，則（）A. B.1C. D.29．已知全集，，（）A. B.C. D.10．在下列四條拋物線中，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1的是（）A. B.C. D.11．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，則的值為（）A. B.C. D.12．已知過點(diǎn)的直線與圓相切，且與直線平行，則（）A.2 B.1C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若為雙曲線上一點(diǎn)，且，則__________.14．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；15．已知函數(shù)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.16．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線就是其中之一（如圖），給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線C恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過；③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3；其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，四邊形ACEF為正方形，且平面ABCD⊥平面ACEF（1）證明：AB⊥CF；（2）求點(diǎn)C到平面BEF距離；（3）求平面BEF與平面ADF夾角的正弦值18．（12分）如圖，四棱錐中，底面為梯形，底面，，，，.（1）求證：平面平面；（2）設(shè)為上一點(diǎn)，滿足，若直線與平面所成的角為，求二面角的余弦值.19．（12分）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)（1）求的定義域和導(dǎo)函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若對(duì)，都有成立，且存在，使成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍20．（12分）已知數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：當(dāng)時(shí)，.21．（12分）已知p：，q：（1）若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的范圍；（2）若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的范圍22．（10分）已知（1）若函數(shù)在上有極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）已知方程有兩個(gè)不等實(shí)根，證明：（注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)給定信息，按用色多少分成兩類，再分類計(jì)算作答.【詳解】計(jì)算不同的涂色方法數(shù)有兩類辦法：用3種顏色，每個(gè)矩形涂一種顏色，有種方法，用2色，矩形A，C涂同色，有種方法，由分類加法計(jì)數(shù)原理得(種)，所以不同的涂法有12種.故選：C2、C【解析】求得、、的值，由此可得出所求橢圓的方程.【詳解】由題意可得，解得，，由于橢圓的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，則該橢圓的方程為或.故選：C.3、B【解析】設(shè)，由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出方程組，即可解得的值.【詳解】由于向量，，共面，設(shè)，可得，解得.故選：B.4、C【解析】利用垂直的坐標(biāo)表示列方程求解即可.【詳解】由與互相垂直得，解得故選：C.5、A【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由于函數(shù)在給定區(qū)間上單調(diào)遞增，故恒成立.【詳解】由題意可得，，，，.故選：A6、C【解析】應(yīng)用等比中項(xiàng)的性質(zhì)有，結(jié)合已知求值即可.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)知：，，，所以，又，所以.故選：C7、C【解析】利用，把代入中，即可求出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.故選：C.8、D【解析】設(shè)，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，令且，求出，，再由向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，結(jié)合點(diǎn)P的唯一性有求參數(shù)a，即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，構(gòu)建如下圖空間直角坐標(biāo)系，若，則，，且，所以，，又存在唯一的一點(diǎn)P滿足，所以，則，故，可得，此時(shí)，所以.故選：D9、C【解析】根據(jù)條件可得，則，結(jié)合條件即可得答案.【詳解】因，所以，則，又，所以，即.故選：C10、D【解析】由題意可知，然后分析判斷即可【詳解】由題意知，即可滿足題意，故A，B，C錯(cuò)誤，D正確.故選：D11、A【解析】由可求得，利用可構(gòu)造方程求得.【詳解】，，，，，解得：.故選：A.12、C【解析】先根據(jù)垂直關(guān)系設(shè)切線方程，再根據(jù)圓心到切線距離等于半徑列式解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榍芯€與直線平行，所以切線方程可設(shè)為因?yàn)榍芯€過點(diǎn)P(2，2)，所以因?yàn)榕c圓相切，所以故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、17【解析】根據(jù)雙曲線的定義求解【詳解】由雙曲線方程知，，，又．，所以（1舍去）故答案為：1714、（1）（2）詳見解析【解析】（1）分別求得和，從而得到切線方程；（2）求導(dǎo)后，令求得兩根，分別在、和三種情況下根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1），，，，又，在處的切線方程為.（2），令，解得：，.①當(dāng)時(shí)，若和時(shí)，；若時(shí)，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；②當(dāng)時(shí)，在上恒成立，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；③當(dāng)時(shí)，若和時(shí)，；若時(shí)，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線在某一點(diǎn)處的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的問題，屬于常考題型.15、【解析】函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)即y=a與g(x)=圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，畫出近似圖象即得a的范圍﹒【詳解】∵函數(shù)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，令，則y=a與g(x)=圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，∵，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)與的圖象，∴當(dāng)時(shí)，y=a與g(x)有兩個(gè)交點(diǎn)﹒故答案為：﹒16、①②【解析】先根據(jù)圖像的對(duì)稱性找出整點(diǎn)，再判斷是否還有其他的整點(diǎn)在曲線上；找出曲線上離原點(diǎn)距離最大的點(diǎn)的區(qū)域，再由基本不等式得到最大值不超過；在心形區(qū)域內(nèi)找到一個(gè)內(nèi)接多邊形，該多邊形的面積等于3，從而判斷出“心形”區(qū)域的面積大于3.【詳解】①:由于曲線，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；由于圖形的對(duì)稱性可知，沒有其他的整點(diǎn)在曲線上，故曲線恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)：,,,,,,所以①正確；②:由圖知，到原點(diǎn)距離的最大值是在時(shí)，由基本不等式，當(dāng)時(shí)，，所以即，所以②正確；③:由①知長方形CDFE的面積為2，三角形BCE的面積為1，所以曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于3，故③錯(cuò)誤；故答案為：①②.【點(diǎn)睛】找準(zhǔn)圖形的關(guān)鍵信息，比如對(duì)稱性，整點(diǎn)，內(nèi)接多邊形是解決本題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】(1)利用余弦定理計(jì)算AC，再證明即可推理作答.(2)以點(diǎn)A為原點(diǎn)，射線AB，AC，AF分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量計(jì)算點(diǎn)C到平面BEF的距離.(3)利用(2)中坐標(biāo)系，用向量數(shù)量積計(jì)算兩平面夾角余弦值，進(jìn)而求解作答.小問1詳解】在中，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，由余弦定理得，，即，有，則，即，因平面ABCD⊥平面ACEF，平面平面，平面，于是得平面，又平面，所以.【小問2詳解】因四邊形ACEF為正方形，即，由(1)知兩兩垂直，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，射線AB，AC，AF分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，而，于是得點(diǎn)C到平面BEF的距離，所以點(diǎn)C到平面BEF的距離為.【小問3詳解】由(2)知，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，，設(shè)平面BEF與平面ADF夾角為，，則有，，所以平面BEF與平面ADF夾角的正弦值為.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：空間向量求二面角時(shí)，一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進(jìn)行向量運(yùn)算，要認(rèn)真細(xì)心，準(zhǔn)確計(jì)算18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由三角形的邊角關(guān)系可證，再由底面，可得.即可證明底面，由面面垂直的判定定理得證.（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值.【詳解】解析：（1）證明：由，，，，，所以，又，∴，∴，∴，因?yàn)榈酌妫酌妫?因?yàn)椋酌妫酌妫酌妫酌妫悦婷?（2）由（1）可知為與平面所成的角，∴，∴，，由及，可得，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則，，取，設(shè)平面的法向量為，則，，取，所以，所以二面角余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的判定，線面垂直的性質(zhì)，利用空間向量法求二面角的余弦值，屬于中檔題.19、（1），（2）在單減，也單減，無增區(qū)間（3）【解析】（1）根據(jù)分母不等于0，對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零即可求得函數(shù)的定義域，根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式及商的導(dǎo)數(shù)公式即可求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可得出答案；（3）若對(duì)，都有成立，即，即，令，，只要即可，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可求出的范圍，，，求出函數(shù)的值域，根據(jù)存在，使成立，則0在函數(shù)的值域中，從而可得出的范圍，即可得解.【小問1詳解】解：的定義域?yàn)椋弧拘?詳解】解：當(dāng)時(shí)，，恒成立，所以在和上遞減；【小問3詳解】解：若對(duì)，都有成立，即，即，令，，則，對(duì)于函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，故恒成立，在為減函數(shù)，所以，所以，由（1）知，，所以，記，令，，則原式的值域?yàn)椋驗(yàn)榇嬖冢钩闪ⅲ裕裕C上，【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的定義域及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查了不等式恒成立問題，考查了計(jì)算能力及數(shù)據(jù)分析能力，對(duì)不等式恒成立合理變形轉(zhuǎn)化為求最值是解題關(guān)鍵.20、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）利用前n項(xiàng)和與的關(guān)系即求；（2）由題知，然后利用裂項(xiàng)相消法即證.【小問1詳解】由，可得，兩式相減可得，當(dāng)時(shí)，，滿足，所以.【小問2詳解】∵，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，.21、（1），；（2），【解析】解不等式，(1)由題意得，從而求得；(2)由題意可轉(zhuǎn)化為是的充分不必要條件，從而得到，化簡即可【小問1詳解】解不等式得，是的必要不充分條件，，解得，，即實(shí)數(shù)的范圍為，；小問2詳解】是的必要不充分條件，是的充分不必要條件，故，解得，，即實(shí)數(shù)的范圍為，22、（1）（2）證明見解析.【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷出在上單增，在上單減，在處取得唯一的極值，列不等式組，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）記函數(shù)，把證明，轉(zhuǎn)化為只需證明，用分析法證明即可.【小問1詳解】，定義域?yàn)椋?令，解得：；令，解得：所以在上單增，在上單減，在處取得唯一的極值.要使函數(shù)在上有極值，只需，解得：，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【小問2詳解】記函數(shù).則