貴州省貴陽市清鎮北大培文學校2023-2024學年數學高二上期末綜合測試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在單位正方體中，以為原點，，，為坐標向量建立空間直角坐標系，則平面的法向量是（）A.，1， B.，1，C.，， D.，1，2．若，則與的大小關系是（）A. B.C. D.不能確定3．等差數列中，已知，，則的前項和的最小值為（）A. B.C. D.4．設是雙曲線的一個焦點，，是的兩個頂點，上存在一點，使得與以為直徑的圓相切于，且是線段的中點，則的漸近線方程為A. B.C. D.5．已知曲線的方程為，則下列說法正確的是（）①曲線關于坐標原點對稱；②曲線是一個橢圓；③曲線圍成區域的面積小于橢圓圍成區域的面積.A.① B.①②C.③ D.①③6．若圓上恰有2個點到直線的距離為1，則實數的取值范圍為（）A B.C. D.7．我國古代銅錢蘊含了“外圓內方”“天地合一”的思想．現有一銅錢如圖，其中圓的半徑為r，正方形的邊長為，若在圓內隨即取點，取自陰影部分的概率是p，則圓周率的值為（）A. B.C. D.8．直線的方向向量為（）A. B.C. D.9．如圖，修建一條公路需要一段環湖彎曲路段與兩條直道平滑連接（相切）.已知環湖彎曲路段為某三次函數圖象的一部分，則該函數的解析式為（）A.B.C.D.10．與圓和圓都外切的圓的圓心在（）A.一個圓上 B.一個橢圓上C.雙曲線的一支上 D.一條拋物線上11．已知拋物線的焦點是雙曲線的一個焦點，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.12．圓的圓心為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若在數列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，形成新的數列，再把所得數列按照同樣的方法不斷構造出新的數列，現將數列進行構造，第次得到數列；第次得到數列；依次構造，第次得到數列；記，則(1)___________，(2)___________14．已知函數在R上連續且可導，為偶函數且，其導函數滿足，則不等式的解集為___.15．已知空間向量，，若，則______.16．在正方體中，，，P，F分別是線段，的中點，則點P到直線EF的距離是___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設：實數滿足，：實數滿足.（1）若，且為真，求實數的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實數的取值范圍.18．（12分）如圖，在正方體中，分別為，的中點（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值19．（12分）如圖所示，、分別為橢圓的左、右焦點，A，B為兩個頂點，已知橢圓C上的點到、兩點的距離之和為4.（1）求a的值和橢圓C的方程；（2）過橢圓C的焦點作AB的平行線交橢圓于P，Q，求的面積20．（12分）已知，，且，求實數的取值范圍.21．（12分）已知函數.（1）若，求函數在處的切線方程；（2）討論函數在上的單調性.22．（10分）已知雙曲線與雙曲線的漸近線相同，且經過點.（1）求雙曲線的方程；（2）已知雙曲線的左右焦點分別為，直線經過，傾斜角為與雙曲線交于兩點，求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】設平面的法向量是，，，由可求得法向量.【詳解】在單位正方體中，以為原點，，，為坐標向量建立空間直角坐標系，，0，，，1，，，1，，，1，，，0，，設平面的法向量是，，，則，取，得，1，，平面的法向量是，1，.故選：.2、B【解析】由題知，進而研究的符號即可得答案.詳解】解：，所以，即.故選：B3、B【解析】由等差數列的性質將轉化為，而，可知數列是遞增數，從而可求得結果【詳解】∵等差數列中，，∴，即．又，∴的前項和的最小值為故選：B4、C【解析】根據圖形的幾何特性轉化成雙曲線的之間的關系求解.【詳解】設另一焦點為，連接，由于是圓的切線，則，且，又是的中點，則是的中位線，則，且，由雙曲線定義可知，由勾股定理知，，，即，漸近線方程為，所以漸近線方程為故選C.【點睛】本題考查雙曲線的簡單的幾何性質，屬于中檔題.5、D【解析】對于①在方程中換為，換為可判斷；對于②分析曲線的圖形是兩個拋物線的部分組成的可判斷；對于③在第一象限內，分析橢圓的圖形與曲線圖形的位置關系可判斷.【詳解】在曲線的方程中，換為，換為，方程不變，故曲線關于坐標原點對稱所以①正確,當時，曲線的方程化為，此時當時，曲線的方程化為，此時所以曲線圖形是兩個拋物線的部分組成的，不是橢圓，故②不正確.當，時，設，設，則，（當且僅當或時等號成立）所以在第一象限內，橢圓的圖形在曲線的上方.根據曲線和橢圓的的對稱性可得橢圓的圖形在曲線的外部（四個頂點在曲線上）所以曲線圍成區域的面積小于橢圓圍成區域的面積，故③正確.故選：D6、A【解析】求得圓心到直線的距離，根據題意列出的不等關系式，即可求得的范圍.【詳解】因為圓心到直線的距離，故要滿足題意，只需，解得.故選：A.7、B【解析】根據圓和正方形的面積公式結合幾何概型概率公式求解即可.【詳解】由可得故選：B8、D【解析】根據直線方程，求得斜率k，分析即可得直線的方向向量.【詳解】直線變形可得，所以直線的斜率，所以向量為直線的一個方向向量，因為，所以向量為直線的方向向量，故選：D9、D【解析】由題設，“需要一段環湖彎曲路段與兩條直道平滑連接（相切）“可得出此兩點處的切線正是兩條直道所在直線，由此規律驗證四個選項即可得出答案【詳解】由函數圖象知，此三次函數在上處與直線相切，在點處與相切，下研究四個選項中函數在兩點處的切線A：，將0代入，此時導數為，與點處切線斜率為矛盾，故A錯誤B：，將0代入，此時導數為，不為，故B錯誤；C：，將2代入，此時導數為，與點處切線斜率為3矛盾，故C錯誤；D：，將0，2代入，解得此時切線的斜率分別是，3，符合題意，故D正確；故選：D.10、C【解析】設動圓的半徑為，然后根據動圓與兩圓都外切得，再兩式相減消去參數，則滿足雙曲線的定義，即可求解.【詳解】設動圓的圓心為，半徑為，而圓的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為2依題意得，則，所以點的軌跡是雙曲線的一支故選：C11、B【解析】根據拋物線和寫出焦點坐標，利用題干中的坐標相等，解出，結合從而求出答案.【詳解】拋物線的焦點為，雙曲線的，，所以，所以雙曲線的右焦點為：，由題意，，兩邊平方解得，，則雙曲線的漸近線方程為：.故選：B.12、D【解析】由圓的標準方程求解.【詳解】圓的圓心為，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】根據題意得到，再利用疊加法求解即可.【詳解】由題知：，，，所以，，，……，，所以，，……，，即，所以.故答案為：；14、【解析】由已知條件可得圖象關于對稱，在上遞增，在上遞減，然后分四種情況討論求解即可【詳解】因為為偶函數，所以的圖象關于軸對稱，所以的圖象關于對稱，因為，所以當時，，當時，，所以在上遞增，在上遞減，由，得，或，或，或，解得，或，或，或，綜上，，所以等式的解集為故答案為：15、2【解析】依據向量垂直充要條件列方程，解之即可解決.【詳解】空間向量，，由，可知，即，解之得故答案為：216、【解析】以A為坐標原點建立空間直角坐標系，利用向量法即可求解點P到直線EF的距離.【詳解】解：如圖，以A為坐標原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，因為，所以，，，所以，，所以點P到直線EF的距離.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）首先分別求出、為真時參數的取值范圍，再由為真，取并集即可；（2）首先解一元二次不等式，依題意是的必要不充分條件，則可推出，而不能推出，即可得到不等式組，解得即可；【小問1詳解】解：當時，，即，解得，即為真時，實數的取值范圍為實數滿足，即，解得：，即為真時，實數的取值范圍為因，所以，即；【小問2詳解】解：由，即，所以，因為是的充分不必要條件，所以是的必要不充分條件，則可推出，而不能推出，則，解得；18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由正方體性質易得，根據線面平行的判定可得面、面，再由面面平行的判定證明結論；（2）建立空間直角坐標系，設正方體棱長為2，確定相關點的坐標，進而求兩個半平面的法向量，應用空間向量夾角的坐標表示求二面角的余弦值【小問1詳解】在正方體中，且，且，且，則四邊形為平行四邊形，即有，因為面，面，則平面，同理平面，又，面，則平面平面E.小問2詳解】以點為坐標原點，，，所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為，則，，所以，，設平面的法向量為,則，令，則由平面，則是平面的一個法向量設平面與平面夾角,，因此平面與平面所成銳二面角的余弦值為19、（1）a＝2，（2）【解析】（1）由題意可得a＝2，，求出，從而可求得橢圓方程，（2）由題意可求出的坐標，則可求出直線PQ的方程，然后將直線方程與橢圓方程聯立，消去，利用根與系數的關系，求出的值，從而可求出的值【小問1詳解】由橢圓定義可得2a＝4，所以a＝2，又因點在橢圓C上，所以，解得：，所以a的值為2，橢圓C的方程為【小問2詳解】由橢圓的方程可得，，，所以，所以直線PQ的方程為，設，，由可得，所以，，所以，所以20、.【解析】求得集合，根據，分和，兩種情況討論，結合二次函數的性質，即可求解.【詳解】由題意，集合當時，即，解得，此時滿足，當時，要使得，則或，當時，可得，即，此時，滿足；當時，可得，即，此時，不滿足，綜上可知，實數的取值范圍為.21、（1）（2）答案見解析【解析】（1）求出導函數后計算得斜率，由點斜式得直線方程并整理；（2）求出導函數，然后分類討論它在上的正負得單調性【小問1詳解】當時，，則，故切線的斜率.又.所以函數在處的切線方程為：.【小問2詳解】由，得①當時，在上單調遞減；②當時，在上單調遞減；③當時，令，得當時，在上單調遞減；當時，在單調遞增；④當時，在上單調遞增；綜上：當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增；當時，在上單調遞增.22、（1）；（2）.【解析】（1）由兩條雙曲線有共同漸近線，可令雙曲線