絕密★啟用前2024屆高三10月大聯考（全國乙卷）文科數學本卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則中元素的個數為（）A.3B.4C.5D.62.已知命題，則命題的否定為（）A.B.C.D.3.若不等式的解集為，則（）A.B.C.D.4.若函數，則（）A.-1B.-2C.1D.5.已知且，則是的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件6.函數的大致圖象是（）A.B.C.D.7.白色污染是人們對難降解的塑料垃圾（多指塑料袋）污染環境現象的一種形象稱謂，經過長期研究，一種全生物可降解塑料（簡稱PBAT）逐漸被應用于超市購物袋?外賣包裝盒等產品.研究表明，在微生物的作用下，PBAT最終可被完全分解為二氧化碳和水進入大自然，當其分解率（）超過60%時，就會成為對環境無害的物質.為研究總質量為的PBAT的已分解質量（單位：）與時間（單位：月）之間的關系，某研究所人員每隔1個月測量1次PBAT的已分解質量，對通過實驗獲取的數據做計算處理，研究得出已分解質量與時間的函數關系式為.據此研究結果可以推測，總質量為的PBAT被分解為對環境無害的物質的時間至少為（）（參考數據：）A.8個月B.9個月C.10個月D.11個月8.已知，且，則（）A.B.C.D.9.已知是所在平面內一點，若均為正數，則的最小值為（）A.B.C.1D.10.若函數的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的個數為（）①；②；③在上單調遞減；④.A.1B.2C.3D.411.已知函數是偶函數，當時，，則不等式的解集是（）A.B.C.D.12.已知函數，則的大小關系為（）A..B.C.D.二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，若，則實數__________.14.請寫出一個滿足對任意的；都有的函數__________.15.《海島算經》是魏晉時期數學家劉徽所著的測量學著作，書中有一道測量山上松樹高度的題目，受此題啟發，小李同學打算用學到的解三角形知識測量某建筑物上面一座信號塔的高度.如圖，把塔底與塔頂分別看作點C，D，CD與地面垂直，小李先在地面上選取點A，B（點在建筑物的同一側，且點位于同一個平面內），測得，在點處測得點的仰角分別為，在點處測得點的仰角為，則塔高為__________.（參考數據：）16.已知函數在定義域上單調遞增，則實數的取值范圍為__________.三?解答題：共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.（10分）已知向量，函數，將函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象.（1）求函數的最小正周期和單調遞增區間；（2）解方程.18.（12分）如圖，在平行四邊形中，，令.（1）用表示；（2）若，且，求.19.（12分）某公園池塘里浮萍的面積（單位：）與時間（單位：月）的關系如下表所示：時間月1234浮萍的面積35917現有以下三種函數模型可供選擇：①，②，③，其中均為常數，且.（1）直接選出你認為最符合題意的函數模型，并求出關于的函數解析式；（2）若該公園池塘里浮萍的面積蔓延到所經過的時間分別為，寫出一種滿足的等量關系式，并說明理由.20.（12分）在中，內角所對的邊分別為，且__________.在①；②兩個條件中任選一個，填入上面橫線處，并解決下列問題.（1）求；（2）若外接圓的半徑為的面積為，求的周長.注：若選擇不同的條件分別解答，則按第一個解答計分.21.（12分）已知函數.（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）若有兩個不等的實根，求實數的取值范圍.22.（12分）已知函數.（1）討論函數的單調性；（2）當時，令，若為的極大值點，證明：.2024屆高三10月大聯考（全國乙卷）文科數學?全解全析及評分標準一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.123456789101112BDACBDCABCDB1.B【解析】因為，所以，有4個元素，故選B.2.D【解析】根據特稱命題的否定為全稱命題，知命題“”的否定是“”，故選D.3.A【解析】因為不等式的解集為，所以，解得.又，所以或，所以（不滿足題意，舍去），當時，，故選A.4.C【解析】因為，所以，所以，故選C.5.B【解析】對于，若，則.當時，，無解.當時，，得，即不等式的解集為.因為?，所以是的必要不充分條件，故選B.6.D【解析】方法一：由題意，知函數的定義域為，關于原點對稱，且，所以函數是奇函數，其圖象關于原點對稱，故排除；當時，，即，因此，故排除A.故選D.方法二：由方法一，知函數是奇函數，其圖象關于原點對稱，故排除；又，所以排除A.故選D.7.C【解析】令，得，解得，故至少需要10個月，總質量為的PBAT才會被分解為對環境無害的物質.故選C.8.A【解析】因為，所以，所以.因為，所以，所以，所以.又，所以，所以.故選A.9.B【解析】因為，所以點是的重心，所以.因為，所以，所以.因為，所以三點共線，所以，即.因為均為正數，所以，所以，所以（當且僅當，即時取等號），所以的最小值為.故選B.10.C【解析】由題圖，得，最小正周期.又，所以，故①正確；，又的圖象過點，所以，所以.又，所以，故②錯誤；，令，當時，，函數在上單調遞減，故③正確；，故④正確.故選C.11.D【解析】根據題意，作出函數的圖象，如圖所示.因為函數是偶函數，所以.由，得，所以，所以，所以或，觀察圖象，得或或或，故選D.12.B【解析】易知是偶函數，，當時，因為，所以.令，則，所以單調遞增，所以，所以在上單調遞增.構造函數，則.令，得，令，得，所以在區間上單調遞增，在區間上單調遞減.又，所以，所以，所以，所以，即.故選.二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.1【解析】因為，所以，解得.故填1.14.（答案不唯一）【解析】任意定義域為的冪函數均可，例如，，即成立.故可填.15.24【解析】如圖，延長與的延長線交于點，則，所以，所以.在中，，由正弦定理，得.故填24.16.【解析】的定義域為，由在定義域上單調遞增，得在上恒成立，即在上恒成立.設，所以只需，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以，所以實數的取值范圍為.故填.三?解答題：共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.（10分）【解析】（1）由已知，得所以函數的最小正周期.由，解得，所以函數的單調遞增區間為.（2）將函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象.令，得，解得，所以方程的解集為.18.（12分）【解析】（1）因為，所以，所以所以，所以.（2）方法一：由（1）知.又，所以，即，解得，所以.方法二：因為，所以，所以.因為，且，所以，解得，所以.又，所以.19.（12分）【解析】（1）應選擇函數模型②.依題意，得解得所以關于的函數解析式為.（2）.理由：依題意，得，所以，所以所以，所以.20.（12分）【解析】（1）若選①：由及正弦定理，得.，.又，.若選②：由，得.由正弦定理，得.由余弦定理，得.因為，所以.（2）設外接圓的半徑為，由正弦定理，得.又，所以.由，可得，解得，所以的周長為.21.（12分）【解析】（1）當時，，所以曲線在處的切線方程為，即.（2）顯然，要使方程有兩個不等的實根，只需當時，有且僅有一個實根，當時，由方程，得.令，則直線與的圖象有且僅有一個交點..又當時，單調遞減，當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以當時，取得極小值，又當時，，所以，即，當時，，即，所以作出的大致圖象如圖所示.由圖象，知要使直線與的圖象有且僅有一個交點，只需或.綜上，若有兩個不等的實根，則的取值范圍為.22.（12分）