河北省定州市、博野縣2023年高二數學第一學期期末綜合測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設P為橢圓C：上一點，，分別為左、右焦點，且，則（）A. B.C. D.2．若直線與互相垂直，則實數a的值為（）A.-3 B.C. D.33．為發揮我市“示范性高中”的輻射帶動作用，促進教育的均衡發展，共享優質教育資源．現分派我市“示范性高中”的5名教師到，，三所薄弱學校支教，開展送教下鄉活動，每所學校至少分派一人，其中教師甲不能到學校，則不同分派方案的種數是（）A.150 B.136C.124 D.1004．過拋物線的焦點引斜率為1的直線，交拋物線于，兩點，則（）A.4 B.6C.8 D.105．在平面上有及內一點O滿足關系式：即稱為經典的“奔馳定理”，若的三邊為a，b，c，現有則O為的（）A.外心 B.內心C.重心 D.垂心6．對任意實數，在以下命題中，正確的個數有（）①若，則；②若，則；③若，則；④若，則A. B.C. D.7．一直線過點，則此直線的傾斜角為（）A.45° B.135°C.－45° D.－135°8．已知甲、乙、丙三名同學同時獨立地解答一道導數試題，每人均有的概率解答正確，且三個人解答正確與否相互獨立，在三人中至少有兩人解答正確的條件下，甲解答不正確的概率A. B.C. D.9．若且，則下列選項中正確的是（）A B.C. D.10．命題“若α=，則tanα=1”的逆否命題是A.若α≠，則tanα≠1 B.若α=，則tanα≠1C.若tanα≠1，則α≠ D.若tanα≠1，則α=11．已知圓與拋物線的準線相切，則實數p的值為（）A.2 B.6C.3或8 D.2或612．直線y=x+1與圓x2+y2=1的位置關系為A.相切B.相交但直線不過圓心C.直線過圓心D.相離二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若不同的平面的一個法向量分別為，，則與的位置關系為___________.14．在△ABC中，，AB=3，，則________15．設，，，則動點P的軌跡方程為______，P到坐標原點的距離的最小值為______16．雙曲線離心率__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為增強市民的環境保護意識，某市面向全市征召若干名宣傳志愿者，成立環境保護宣傳小組，現把該小組的成員按年齡分成、、、、這組，得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知年齡在內的人數為.（1）若用分層抽樣的方法從年齡在、、內的志愿者中抽取名參加某社區的宣傳活動，再從這名志愿者中隨機抽取名志愿者做環境保護知識宣講，求這名環境保護知識宣講志愿者中至少有名年齡在內的概率；（2）在（1）的條件下，記抽取的名志愿者分別為甲、乙，該社區為了感謝甲、乙作為環境保護知識宣講的志愿者，給甲、乙各隨機派發價值元、元、元的紀念品一件，求甲的紀念品不比乙的紀念品價值高的概率.18．（12分）已知數列是遞增的等差數列，，若成等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）若，數列的前項和，求.19．（12分）以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線的極坐標方程為，曲線的參數方程是(為參數（1）求直線和曲線的普通方程；（2）直線與軸交于點，與曲線交于，兩點，求20．（12分）已知橢圓：經過點為，且.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓相切于點，與直線相交于點.已知點，且，求此時的值.21．（12分）已知數列的前項和為，且．數列是等比數列，，（1）求，的通項公式；（2）求數列的前項和22．（10分）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，過點的直線l交橢圓于A，兩點，的中點坐標為.（1）求直線l的方程；（2）求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據橢圓的定義寫出，再根據條件即可解得答案.【詳解】根據P為橢圓C：上一點，則有，又，所以，故選：B.2、C【解析】根據給定條件利用兩條直線互相垂直的關系列式計算作答.【詳解】因直線與互相垂直，則，解得，所以實數a的值為.故選：C3、D【解析】對甲所在組的人數分類討論即得解.【詳解】當甲一個人去一個學校時，有種；當甲所在的學校有兩個老師時，有種；當甲所在的學校有三個老師時，有種；所以共有28+48+24=100種.故選：D【點睛】方法點睛：排列組合常用方法有：簡單問題直接法、小數問題列舉法、相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、至少問題間接法、復雜問題分類法、等概率問題縮倍法.要根據已知條件靈活選擇方法求解.4、C【解析】由題意可得，的方程為，設、，聯立直線與拋物線方程可求，利用拋物線的定義計算即可求解.【詳解】由上可得：焦點，直線的方程為，設，，由，可得，則有，由拋物線的定義可得：，故選：C.5、B【解析】利用三角形面積公式，推出點O到三邊距離相等。【詳解】記點O到AB、BC、CA的距離分別為，，，，因為，則，即，又因為，所以，所以點P是△ABC的內心.故選：B6、B【解析】直接利用不等式的基本性質判斷.【詳解】①因為，則，根據不等式性質得，故正確；②當時，，而，故錯誤；③因為，所以，即，故正確；④當時，，故錯誤；故選：B7、A【解析】根據斜率公式求得直線的斜率，得到，即可求解.【詳解】設直線的傾斜角為，由斜率公式，可得，即，因為，所以，即此直線的傾斜角為.故選：A.8、C【解析】記“三人中至少有兩人解答正確”為事件；“甲解答不正確”為事件，利用二項分布的知識計算出，再計算出，結合條件概率公式求得結果.【詳解】記“三人中至少有兩人解答正確”為事件；“甲解答不正確”為事件則；本題正確選項：【點睛】本題考查條件概率的求解問題，涉及到利用二項分布公式求解概率的問題.9、C【解析】對于A，作商比較，對于B，利用基本不等式的推廣式判斷，對于C，利用在單位圓中，內接正邊形的面積小于內接正邊形的面積判斷，對于D，利用放縮法判斷【詳解】，故錯誤；，故錯誤；在單位圓中，內接正邊形的面積小于內接正邊形的面積（必修三閱讀材料割圓術），則，故正確；，故錯誤故選：C【點睛】關鍵點點睛：此題考查不等式的綜合應用，考查基本不等式的推廣式的應用，考查放縮法的應用，對于C項解題的關鍵是利用了在單位圓中，內接正邊形的面積小于內接正邊形的面積求解，考查數學轉化思想，屬于難題10、C【解析】因為“若，則”的逆否命題為“若，則”，所以“若α=，則tanα=1”的逆否命題是“若tanα≠1，則α≠”.【點評】本題考查了“若p，則q”形式的命題的逆命題、否命題與逆否命題，考查分析問題的能力.11、D【解析】由拋物線準線與圓相切，結合拋物線方程，令求切線方程且拋物線準線方程為，即可求參數p.【詳解】圓的標準方程為：，故當時，有或，所以或，得或6故選：D12、B【解析】求出圓心到直線的距離d，與圓的半徑r比較大小即可判斷出直線與圓的位置關系，同時判斷圓心是否在直線上，即可得到正確答案解：由圓的方程得到圓心坐標（0，0），半徑r=1則圓心（0，0）到直線y=x+1的距離d==＜r=1，把（0，0）代入直線方程左右兩邊不相等，得到直線不過圓心所以直線與圓的位置關系是相交但直線不過圓心故選B考點：直線與圓的位置關系二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、平行【解析】根據題意得到，得出，即可得到平面與的位置關系.【詳解】由題意，平面的一個法向量分別為，，可得，所以，所以，即平面與的位置關系為平行.故答案為：平行14、3【解析】計算得出，可得出，再利用平面向量數量積的運算性質可求得結果.【詳解】∵，，，∴故答案為：3.15、①.②.l【解析】根據雙曲線的定義得到動點的軌跡方程，從而求出到坐標原點的距離的最小值；【詳解】解：因為，所以動點P的軌跡為以A，B為焦點，實軸長為2的雙曲線的下支．因為，，所以，，，所以動點P的軌跡方程為故P到坐標原點的距離的最小值為故答案為：；；16、【解析】由已知得到a，b，再利用及即可得到答案.【詳解】由已知，可得，所以，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）將名志愿者進行編號，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件數，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）列舉出甲、乙獲得紀念品價值的所有情況，并確定所求事件所包含的情況，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小問1詳解】解：因為志愿者年齡在、、內的頻率分別為、、，所以用分層抽樣的方法抽取的名志愿者年齡在、、內的人數分別為、、.記年齡在內的名志愿者分別記為、、，年齡在的名志愿者分別記為、，年齡在內的名志愿者記為，則從中抽取名志愿者的情況有、、、、、、、、、、、、、、，共種可能；而至少有名志愿者的年齡在內的情況有、、、、、、、、，共種可能.所以至少有名志愿者的年齡在內的概率為.【小問2詳解】解：甲、乙獲得紀念品價值的情況有、、、、、、、、，共種可能；而甲的紀念品不比乙的紀念品價值高的情況有、、、、、，共種可能.故甲的紀念品不比乙的紀念品價值高的概率為.18、（1）；（2）.【解析】（1）設等差數列的公差為，根據題意列出方程組，求得的值，即可求解；（2）由（1）求得，結合“裂項法”即可求解.【詳解】（1）設等差數列的公差為，因為，若成等比數列，可得，解得，所以數列的通項公式為.（2）由（1）可得，所以.【點睛】關于數列的裂項法求和的基本策略：1、基本步驟：裂項：觀察數列的通項，將通項拆成兩項之差的形式；累加：將數列裂項后的各項相加；消項：將中間可以消去的項相互抵消，將剩余的有限項相加，得到數列的前項和.2、消項的規律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數第幾項.19、（1），（2）4【解析】（1）根據，即可將直線的極坐標方程轉化為普通方程；消參數，即可求出曲線的普通方程；（2）由題意易知，求出直線的參數方程，將其代入曲線的普通方程，利用一元二次方程根和系數關系式的應用，即可求出結果【小問1詳解】解：直線極坐標方程為，即，又，可得的普通方程為，曲線的參數方程是(為參數，消參數，所以曲線的普通方程為【小問2詳解】解：在中令得，，傾斜角，的參數方程可設為，即（為參數），將其代入，得，，設，對應的參數分別為，，則，，，異號，.20、（1）；（2）.【解析】（1）根據橢圓離心率公式，結合代入法進行求解即可；（2）根據直線與橢圓的位置關系求出點的坐標，結合平面向量垂直的性質進行求解即可.【詳解】（1）由已知得，，而，解得，橢圓的方程為；（2）設直線方程為代入得，化簡得由，得，，設，則，，則設，則，則，所以在軸存在使.，，所以在.21、（1），（2）【解析】（1）利用求出通項公式，根據已知求出公比即可得出的通項公式；（2）利用錯位相減法可求解.【小問1詳解】因為數列的前項和為，且，當時，，