甘肅省靖遠(yuǎn)二中2023年數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如果向量，，共面，則實(shí)數(shù)的值是（）A. B.C. D.2．已知點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)的直線與直線垂直相交于點(diǎn)，，則的值為（）A. B.C. D.3．第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，將在2022年2月4日在中華人民共和國北京市和張家口市聯(lián)合舉行．這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運(yùn)會(huì)，北京成為奧運(yùn)史上第一個(gè)舉辦夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)和冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)的城市．同時(shí)中國也成為第一個(gè)實(shí)現(xiàn)奧運(yùn)“全滿貫”（先后舉辦奧運(yùn)會(huì)、殘奧會(huì)、青奧會(huì)、冬奧會(huì)、冬殘奧會(huì)）國家．根據(jù)規(guī)劃，國家體育場（鳥巢）成為北京冬奧會(huì)開、閉幕式的場館．國家體育場“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，若由外層橢圓長軸一端點(diǎn)和短軸一端點(diǎn)分別向內(nèi)層橢圓引切線，（如圖），且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.4．胡蘿卜中含有大量的胡蘿卜素，攝入人體消化器官后，可以轉(zhuǎn)化為維生素，現(xiàn)從，兩個(gè)品種的胡蘿卜所含的胡蘿卜素（單位：）得到莖葉圖如圖所示，則下列說法不正確的是A. B.的方差大于的方差C.品種的眾數(shù)為 D.品種的中位數(shù)為5．口袋中裝有大小形狀相同的紅球3個(gè)，白球3個(gè)，小明從中不放回的逐一取球，已知在第一次取得紅球的條件下，第二次取得白球的概率為（）A.0.4 B.0.5C.0.6 D.0.756．拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離是（）A. B.C.1 D.7．頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于軸對稱，并且經(jīng)過點(diǎn)的拋物線方程為（）A. B.C. D.8．在四面體OABC中，點(diǎn)M在線段OA上，且，N為BC中點(diǎn)，已知，，，則等于（）A. B.C. D.9．已知F是拋物線x2＝y(tǒng)的焦點(diǎn)，A、B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點(diǎn)到x軸的距離為（）A. B.C.1 D.10．用反證法證明“若a，b∈R，，則a，b不全為0”時(shí)，假設(shè)正確的是（）A.a，b中只有一個(gè)為0 B.a，b至少一個(gè)不為0C.a，b至少有一個(gè)為0 D.a，b全為011．甲烷是一種有機(jī)化合物，分子式為，其在自然界中分布很廣，是天然氣、沼氣的主要成分．如圖所示的為甲烷的分子結(jié)構(gòu)模型，已知任意兩個(gè)氫原子之間的距離（H-H鍵長）相等，碳原子到四個(gè)氫原子的距離（C-H鍵長）均相等，任意兩個(gè)H-C-H鍵之間的夾角為（鍵角）均相等，且它的余弦值為，即，若，則以這四個(gè)氫原子為頂點(diǎn)的四面體的體積為（）A. B.C. D.12．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，，直線AP，BP相交于點(diǎn)P，且它們斜率之積是.當(dāng)時(shí)，的最小值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點(diǎn)和，M是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為________.14．已知直線與圓交于，兩點(diǎn)，則的最小值為___________.15．已知在△中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若△的面積為2，邊上中線的長為．且，則△外接圓的面積為___________16．已知命題p：若，則，那么命題p的否命題為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓的上頂點(diǎn)，以為圓心且過的圓與直線相切.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線交橢圓于兩點(diǎn).（ⅰ）若直線的斜率等于，求面積的最大值；（ⅱ）若，點(diǎn)在上，.證明：存在定點(diǎn)，使得為定值.18．（12分）為了符合國家制定的工業(yè)廢氣排放標(biāo)準(zhǔn)，某工廠在國家科研部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采用新工藝，對其排放的廢氣中的二氧化硫轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品．已知該工廠每月的處理量最少為300噸，最多為600噸，月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為，且每處理一噸二氧化硫得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為200元（1）該工廠每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？（2）該工廠每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤：如果不獲利，則國家每月至少應(yīng)補(bǔ)貼多少元才能使工廠不虧損？19．（12分）已知橢圓的離心率為，短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓上任意兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，求證：原點(diǎn)到直線的距離為定值，并求出該定值20．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若數(shù)列為等差數(shù)列，且，，求數(shù)列的前項(xiàng)和21．（12分）已知點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為Q，以Q為圓心的圓與直線相交于A，B兩點(diǎn)，且（1）求圓Q的方程；（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)O任作一直線交圓Q于C，D兩點(diǎn)，求證：為定值22．（10分）已知圓C：，圓C與x軸交于A，B兩點(diǎn)（1）求直線y＝x被圓C所截得的弦長；（2）圓M過點(diǎn)A，B，且圓心在直線y＝x+1上，求圓M的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】設(shè)，由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出方程組，即可解得的值.【詳解】由于向量，，共面，設(shè)，可得，解得.故選：B.2、D【解析】由題，由于過拋物線上一點(diǎn)的直線與直線垂直相交于點(diǎn)，可得，又，故，所以的坐標(biāo)為，由余弦定理可得.故選：D.考點(diǎn)：拋物線的定義、余弦定理【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題3、B【解析】分別設(shè)內(nèi)外層橢圓方程為、，進(jìn)而設(shè)切線、分別為、，聯(lián)立方程組整理并結(jié)合求、關(guān)于a、b、m的關(guān)系式，再結(jié)合已知得到a、b的齊次方程求離心率即可.【詳解】若內(nèi)層橢圓方程為，由離心率相同，可設(shè)外層橢圓方程為，∴，設(shè)切線為，切線為，∴，整理得，由知：，整理得，同理，，可得，∴，即，故.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)內(nèi)外橢圓的離心率相同設(shè)橢圓方程，并寫出切線方程，聯(lián)立方程結(jié)合及已知條件，得到橢圓參數(shù)的齊次方程求離心率.4、C【解析】讀懂莖葉圖，分別計(jì)算出眾數(shù)、中位數(shù)、方差，然后對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷【詳解】由莖葉圖知，品種所含胡蘿卜素普遍高于品種，所以，故A正確；品種的數(shù)據(jù)波動(dòng)比品種的數(shù)據(jù)波動(dòng)大，所以的方差大于的方差，故B正確；品種的眾數(shù)為與，故C錯(cuò)誤；品種的數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，故D正確.故選.【點(diǎn)睛】本題主要考查了對數(shù)據(jù)的分析，首先要讀懂莖葉圖，然后計(jì)算出眾數(shù)、中位數(shù)、方差，即可對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷，較為基礎(chǔ)5、C【解析】求出第一次取得紅球的事件、第一次取紅球第二次取白球的事件概率，再利用條件概率公式計(jì)算作答.【詳解】記“第一次取得紅球”為事件A，“第二次取得白球”為事件B，則，，于是得，所以在第一次取得紅球的條件下，第二次取得白球的概率為0.6.故選：C6、B【解析】先確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，和雙曲線的漸近線方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，雙曲線的漸近線方程為,由點(diǎn)到直線的距離公式可得.故選：B7、C【解析】根據(jù)題意，設(shè)拋物線的方程為，進(jìn)而待定系數(shù)求解即可.【詳解】解：由題，設(shè)拋物線的方程為，因?yàn)樵趻佄锞€上，所以，解得，即所求拋物線方程為故選：C8、B【解析】根據(jù)空間向量基本定理結(jié)合已知條件求解【詳解】因?yàn)镹為BC中點(diǎn)，所以,因?yàn)镸在線段OA上，且，所以，所以，故選：B9、B【解析】根據(jù)拋物線的方程求出準(zhǔn)線方程，利用拋物線的定義拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，列出方程求出，的中點(diǎn)縱坐標(biāo)，求出線段的中點(diǎn)到軸的距離【詳解】解：拋物線的焦點(diǎn)準(zhǔn)線方程，設(shè)，，，解得，線段的中點(diǎn)縱坐標(biāo)為，線段的中點(diǎn)到軸的距離為，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查解決拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離問題，利用拋物線的定義將到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，屬于基礎(chǔ)題10、D【解析】把要證的結(jié)論否定之后，即得所求的反設(shè)【詳解】由于“a，b不全為0”的否定為：“a，b全為0”，所以假設(shè)正確的是a，b全為0.故選：D11、A【解析】利用余弦定理求得，計(jì)算出正四面體的高，從而計(jì)算出正四面體的體積.【詳解】設(shè)，則由余弦定理知：，解得，故該正四面體的棱長均為由正弦定理可知：該正四面體底面外接圓的半徑，高故該正四面體的體積為故選：A12、A【解析】設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求得、所在直線的斜率，由斜率之積是列式整理即可得到點(diǎn)的軌跡方程，設(shè)，根據(jù)雙曲線的定義，從而求出的最小值；【詳解】解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的斜率；直線的斜率由已知有，化簡得點(diǎn)的軌跡方程為又，所以點(diǎn)的軌跡方程為，即點(diǎn)的軌跡為以、為頂點(diǎn)的雙曲線的左支（除點(diǎn)），因?yàn)椋O(shè)，由雙曲線的定義可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，因?yàn)椋裕裕吹淖钚≈禐椋还蔬x：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題設(shè)條件可知，.當(dāng)M在直線與橢圓交點(diǎn)上時(shí)，在第一象限交點(diǎn)時(shí)有，在第三象限交點(diǎn)時(shí)有.顯然當(dāng)M在直線與橢圓第三象限交點(diǎn)時(shí)有最大值，其最大值.由此能夠求出的最大值.【詳解】解：A為橢圓右焦點(diǎn)，設(shè)左焦點(diǎn)為，則由橢圓定義，于是.當(dāng)M不在直線與橢圓交點(diǎn)上時(shí)，M、F、B三點(diǎn)構(gòu)成三角形，于是，而當(dāng)M在直線與橢圓交點(diǎn)上時(shí)，在第一象限交點(diǎn)時(shí)，有，在第三象限交點(diǎn)時(shí)有.顯然當(dāng)M在直線與橢圓第三象限交點(diǎn)時(shí)有最大值，其最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的基本性質(zhì)，解題時(shí)要熟練掌握基本公式.14、【解析】先求出直線經(jīng)過的定點(diǎn)，再求出圓心到定點(diǎn)的距離，數(shù)形結(jié)合即得解.【詳解】由題得，所以直線經(jīng)過定點(diǎn)，圓的圓心為，半徑為.圓心到定點(diǎn)的距離為，當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為.故答案為：815、或【解析】由已知，結(jié)合正弦定理邊角關(guān)系及三角形內(nèi)角的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形面積公式、余弦定理列方程求邊長b、c，應(yīng)用余弦定理求邊長a，根據(jù)正弦定理求外接圓半徑，再用圓的面積公式求面積.【詳解】由題設(shè)及正弦定理邊角關(guān)系有，又，∴，∴，∴．又，∴，即又據(jù)題意，得，且，∴或，故或，∴△外接圓的半徑或，∴△外接圓的面積為或故答案為：或16、若，則【解析】直接利用否命題的定義，對原命題的條件與結(jié)論都否定即可得結(jié)果【詳解】因?yàn)槊}：若，則，所以否定條件與結(jié)論后，可得命題的否命題為若，則，故答案為若，則，【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的否命題，意在考查對基礎(chǔ)知識的掌握與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）.【解析】（1）求出后可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）（ⅰ）設(shè)直線的方程為：，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用韋達(dá)定理、弦長公式可求面積表達(dá)式，利用基本不等式可求面積的最大值.（ⅱ）利用韋達(dá)定理化簡可得，從而可得的軌跡為圓，故可證存在定點(diǎn)，使得為定值.【詳解】（1）由題意知：，，又，則以為圓心且過的圓的半徑為，故，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）（ⅰ）設(shè)直線的方程為：，將代入得：，所以且，故.又，點(diǎn)到直線的距離，所以，等號當(dāng)僅當(dāng)時(shí)取，即當(dāng)時(shí)，的面積取最大值為.（ⅱ）顯然直線的斜率一定存在，設(shè)直線的方程為：，，由（ⅰ）知：所以，所以，解得，，直線過定點(diǎn)或，所以D在以O(shè)Z為直徑的圓上，該圓的圓心為或，半徑等于，所以存在定點(diǎn)或，使得為定值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是基本量的確定，方法有待定系數(shù)法、定義法等.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的定點(diǎn)、定值、最值問題，一般可通過聯(lián)立方程組并消元得到關(guān)于或的一元二次方程，再把要求解的目標(biāo)代數(shù)式化為關(guān)于兩個(gè)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系式，該關(guān)系中含有或，最后利用韋達(dá)定理把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為若干變量的方程（或函數(shù)），從而可求定點(diǎn)、定值、最值問題.18、（1）600噸（2）該工廠不獲利，且需要國家每月至少補(bǔ)貼52500元才能使工廠不虧損【解析】（1）設(shè)該工廠每噸平均處理成本為z，，利用基本不等式求最值可得答案；（2）設(shè)該工廠每月的利潤為，利用配方求最值可得答案.【小問1詳解】設(shè)該工廠每噸平均處理成本為z，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，當(dāng)時(shí)，每噸平均處理成本最低.【小問2詳解】設(shè)該工廠每月的利潤為，則，∴，當(dāng)時(shí)，，所以該工廠不獲利，且需要國家每月至少補(bǔ)貼52500元才能使工廠不虧損.19、（1）（2）證明見解析，定值為【解析】（1）根據(jù)題意得到，，得到橢圓方程.（2）考慮直線斜率存在和不存在兩種情況，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，將題目轉(zhuǎn)化為，化簡得到，代入計(jì)算得到答案.【小問1詳解】橢圓的離心率為，短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，故，，故橢圓方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，，，則，即，，以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，故，即，即，化簡整理得到：，原點(diǎn)到直線的距離為.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，為等腰直角三角形，設(shè)，則，解得，即直線方程為，到原點(diǎn)的距離為.綜上所述：原點(diǎn)到直線的距離為定值.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程，橢圓中的定值問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中將圓過原點(diǎn)轉(zhuǎn)化為是解題的關(guān)鍵.20、（1）證明見解析（2