2024屆四川省樂山市峨眉山市第二中學高二數學第一學期期末學業水平測試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓的右焦點和右頂點分別為F，A，離心率為，且，則n的值為（）A.4 B.3C.2 D.2．邊長為的正方形沿對角線折成直二面角，、分別為、的中點，是正方形的中心，則的大小為（）A. B.C. D.3．已知空間三點，，在一條直線上，則實數的值是（）A.2 B.4C.-4 D.-24．定義在區間上的函數的導函數的圖象如圖所示，則下列結論不正確的是（）A.函數在區間上單調遞增 B.函數在區間上單調遞減C.函數在處取得極大值 D.函數在處取得極小值5．2021年11月，鄭州二七罷工紀念塔入選全國職工愛國主義教育基地名單．某數學建模小組為測量塔的高度，獲得了以下數據：甲同學在二七廣場A地測得紀念塔頂D的仰角為45°，乙同學在二七廣場B地測得紀念塔頂D的仰角為30°，塔底為C，（A，B，C在同一水平面上，平面ABC），測得，，則紀念塔的高CD為（）A.40m B.63mC.m D.m6．在中國共產黨建黨100周年之際,廣安市某中學組織了“黨史知識競賽”活動,已知該校共有高中學生1000人,用分層抽樣的方法從該校高中學生中抽取一個容量為25的樣本參加活動,其中高二年級抽取了8人,則該校高二年級學生人數為()A.960 B.720C.640 D.3207．雅言傳承文明，經典浸潤人生．某市舉辦“中華經典誦寫講大賽”，大賽分為四類：“誦讀中國”經典誦讀大賽、“詩教中國”詩詞講解大賽、“筆墨中國”漢字書寫大賽、“印記中國”學生篆刻大賽．某人決定從這四類比賽中任選兩類參賽，則“誦讀中國”被選中的概率為（）A. B.C. D.8．如圖，在長方體中，，，則直線和夾角余弦值為（）A. B.C. D.9．過雙曲線的右頂點作斜率為的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為．若，則雙曲線的離心率是A. B.C. D.10．設是可導函數，當，則（）A.2 B.C. D.11．已知數列滿足，其前項和為，，．若數列的前項和為，則滿足成立的的最小值為（）A.10 B.11C.12 D.1312．已知向量，，則等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知定義在上的偶函數的導函數為，當時，有，且，則使得成立的的取值范圍是___________.14．在等比數列中，已知，則________15．若函數在處取得極小值，則a=__________16．圓的圓心坐標為___________；半徑為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，三棱柱的所有棱長都是，平面，為的中點，為的中點（1）證明：直線平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值18．（12分）在①；②，這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，然后解答補充完整的題目.在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設的面積為S，已知_________.（1）求的值；（2）若，求值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.19．（12分）設等差數列的各項均為整數，且滿足對任意正整數，總存在正整數，使得，則稱這樣的數列具有性質（1）若數列的通項公式為，數列是否具有性質？并說明理由；（2）若，求出具有性質的數列公差的所有可能值；（3）對于給定的，具有性質的數列是有限個，還是可以無窮多個？(直接寫出結論)20．（12分）在柯橋古鎮的開發中，為保護古橋OA，規劃在O的正東方向100m的C處向對岸AB建一座新橋，使新橋BC與河岸AB垂直，并設立一個以線段OA上一點M為圓心，與直線BC相切的圓形保護區（如圖所示），且古橋兩端O和A與圓上任意一點的距離都不小于50m，經測量，點A位于點O正南方向25m，，建立如圖所示直角坐標系（1）求新橋BC的長度；（2）當OM多長時，圓形保護區的面積最小？21．（12分）已知數列是遞增的等比數列，滿足，（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前n項和22．（10分）如圖，在直三棱柱中，，，與交于點，為的中點，（1）求證：平面；（2）求證：平面平面

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據橢圓方程及其性質有，求解即可.【詳解】由題設，，整理得，可得.故選：B2、B【解析】建立空間直角坐標系，以向量法去求的大小即可解決.【詳解】由題意可得平面，，則兩兩垂直以O為原點，分別以OB、OA、OC所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系則，，，，又，則故選：B3、C【解析】根據三點在一條直線上，利用向量共線原理，解出實數的值.【詳解】解：因為空間三點，，在一條直線上，所以,故.所以.故選：C.【點睛】本題主要考查向量共線原理，屬于基礎題.4、C【解析】根據函數的單調性和函數的導數的值的正負的關系，可判斷A,B的結論;根據函數的極值點和函數的導數的關系可判斷、的結論【詳解】函數在上，故函數在上單調遞增，故正確；根據函數的導數圖象，函數在時，，故函數在區間上單調遞減，故正確；由A的分析可知函數在上單調遞增，故不是函數的極值點，故錯誤；根據函數的單調性，在區間上單調遞減，在上單調遞增，故函數處取得極小值，故正確，故選：5、B【解析】設，先表示出，再利用余弦定理即可求解.【詳解】如圖所示，，設塔高為，因為平面ABC，所以，所以，又，即，解得.故選：B.6、D【解析】由分層抽樣各層成比例計算即可【詳解】設高二年級學生人數為,則,解得故選:D7、B【解析】由已知條件得基本事件總數為種，符合條件的事件數為3中，由古典概型公式直接計算即可.【詳解】從四類比賽中選兩類參賽，共有種選擇，其中“誦讀中國”被選中的情況有3種，即“誦讀中國”和“詩教中國”，“誦讀中國”和“筆墨中國”，“誦讀中國”和“印記中國”，由古典概型公式可得，故選：.8、D【解析】如圖建立空間直角坐標系，分別求出的坐標，由空間向量夾角公式即可求解.【詳解】如圖：以為原點，分別以，，所在的直線為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，所以，所以直線和夾角的余弦值為，故選：D.9、C【解析】直線l：y=-x+a與漸近線l1：bx-ay=0交于B，l與漸近線l2：bx+ay=0交于C，A（a，0），∴，∵，∴，b=2a，∴，∴，∴考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；雙曲線的簡單性質10、C【解析】由導數的定義可得，即可得答案【詳解】根據題意，，故.故選：C11、A【解析】根據題意和對數的運算公式可證得為以2為首項，2為公比的等比數列，求出，進而得到，利用裂項相消法求得，再解不等式即可.【詳解】由，又，所以數列是以2為首項，2為公比的等比數列，故，則，所以，由，得，即，有，又，所以，即n的最小值為10.故選：A12、C【解析】根據題意，結合空間向量的坐標運算，即可求解.【詳解】由，，得，因此.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據當時，有，令，得到在上遞增，再根據在上的偶函數，得到在上是奇函數，則在上遞增，然后由，得到求解【詳解】∵當時，有，令，∴，∴在上遞增，又∵在上的偶函數∴，∴在上是奇函數∴在上遞增，又∵，∴當時，，此時，0＜x＜1，當時，，此時，，∴成立的的取值范圍是故答案為：﹒14、2【解析】由等比數列的相關性質進行求解.【詳解】由等比數列的相關性質得：故答案為：215、2【解析】對函數求導，根據極值點得到或，討論的不同取值，利用導數的方法判定函數單調性，驗證極值點，即可得解.【詳解】由可得，因為函數在處取得極小值，所以，解得或，若，則，當時，，則單調遞增；當時，，則單調遞減；當時，，則單調遞增；所以函數在處取得極小值，符合題意；當時，，當時，，則單調遞增；當時，，則單調遞減；當時，，則單調遞增；所以函數在處取得極大值，不符合題意；綜上：.故答案為：2.【點睛】思路點睛：已知函數極值點求參數時，一般需要先對函數求導，根據極值點求出參數，再驗證所求參數是否符合題意即可.16、①.②.【解析】配方后可得圓心坐標和半徑【詳解】將圓的一般方程化為圓標準方程是，圓心坐標為，半徑為故答案為：；三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）取的中點，連接交于，連接，，由平面幾何得，再根據線面平行的判定可得證；（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，利用向量法即可得結果.【小問1詳解】取的中點，連接交于，連接，在三棱柱中，為的中點，，為的中點，且，且，四邊形為平行四邊形，又平面，平面，平面；【小問2詳解】平面，，平面，，，兩兩垂直，以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，設平面的法向量為，則即取，則，，又是平面的一個法向量，，故平面和平面夾角的余弦值為18、條件選擇見解析；（1）；（2）.【解析】（1）若選擇①，先利用正弦定理進行邊角互化，再結合正余弦的和差角公式化簡可得，得出；若選擇②，利用余弦定理及面積公式可得，得；（2）由（1）可知，由及得，，再根據余弦定理求解的值.【詳解】解析：（1）選擇條件①.，，得，選擇條件②，由余弦定理及三角形的面積公式可得：，得.（2）由得，∵，，∴，解得.由余弦定理得：.【點睛】本題考查解三角形，難度一般.解答的關鍵在于根據題目中邊角關系，運用正弦定理進行邊角互化、再根據兩角和與差的正弦公式進行化簡是關鍵.一般地，當等式中含有a,b,c的關系式，且全為二次時，可利用余弦定理進行化簡；當含有內角的正弦值及邊的關系，且為一次式時，可考慮采用正弦定理進行邊角互化.19、（1）數列具有性質，理由見解析；（2），；（3）有限個.【解析】（1）由題意，由性質定義，即可知是否具有性質.（2）由題設，存在，結合已知得且，則，由性質的定義只需保證為整數即可確定公差的所有可能值；（3）根據（2）的思路，可得且，由為整數，在為定值只需為整數，即可判斷數列的個數是否有限.【小問1詳解】由，對任意正整數，，說明仍為數列中的項，∴數列具有性質.【小問2詳解】設的公差為．由條件知：，則，即，∴必有且，則，而此時對任意正整數，，又必一奇一偶，即為非負整數因此，只要為整數且，那么為中的一項.易知：可取，對應得到個滿足條件的等差數列.【小問3詳解】同（2）知：，則，∴必有且，則，故任意給定，公差均為有限個，∴具有性質的數列是有限個.【點睛】關鍵點點睛：根據性質的定義，在第2、3問中判斷滿足等差數列通項公式，結合各項均為整數，判斷公差的個數是否有限即可.20、（1）80m；（2）.【解析】（1）根據斜率的公式，結合解方程組法和兩點間距離公式進行求解即可；（2）根據圓的切線性質進行求解即可.【小問1詳解】由題意，可知，，∵∴直線BC方程：①，同理可得：直線AB方程：②由①②可知，∴，從而得故新橋BC得長度為80m【小問2詳解】設，則，圓心，∵直線BC與圓M相切，∴半徑，又因為，∵∴，所以當時，圓M的面積達到最小21、（1）（2）【解析】（1）由等比數列的通項公式計算基本量從而得出的通項公式；（2）由(1)可得，再由裂項相消法求和即可.【小問1詳解】設等比數列的公比為q，所以有，，聯立兩式解得或又因為數列是遞增的等比數列，所以，所以數列的通項公式為；【小問2詳解】