2024屆浙江省各地高二數學第一學期期末檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在四面體中，點G是的重心，設，，，則（）A. B.C. D.2．如圖，在三棱柱中，為的中點，若，，，則下列向量與相等的是（）A. B.C. D.3．已知等差數列，且，則（）A.3 B.5C.7 D.94．是數列，，，－17，中的第幾項()A第項 B.第項C.第項 D.第項5．拋物線的準線方程為（）A B.C. D.6．已知圓：，點是直線：上的動點，過點引圓的兩條切線、，其中、為切點，則直線經過定點（）A. B.C. D.7．下列求導錯誤的是（）A. B.C. D.8．已知，，若，則實數的值為（）A. B.C. D.9．某家庭準備晚上在餐館吃飯，他們查看了兩個網站關于四家餐館的好評率，如下表所示，考慮每家餐館的總好評率，他們應選擇（）網站①評價人數網站①好評率網站②評價人數網站②好評率餐館甲100095%100085%餐館乙1000100%200080%餐館丙100090%100090%餐館丁200095%100085%A.餐館甲 B.餐館乙C.餐館丙 D.餐館丁10．設等差數列，的前n項和分別是，，若，則（）A. B.C. D.11．下列四個命題中為真命題的是（）A.設p：1＜x＜2，q：2x＞1，則p是q的必要不充分條件B.命題“”的否定是“”C.函數的最小值是4D.與的圖象關于直線y＝x對稱12．中，三邊長之比為，則為（）A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不存在這樣的三角形二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等差數列中，，則=_________.14．某人實施一項投資計劃，從2021年起，每年1月1日，把上一年工資的10%投資某個項目.已知2020年他的工資是10萬元，預計未來十年每年工資都會逐年增加1萬元；若投資年收益是10%，一年結算一次，當年的投資收益自動轉入下一年的投資本金，若2031年1月1日結束投資計劃，則他可以一次性取出的所有投資以及收益應有__________萬元.（參考數據：，，）15．已知直線過點，，且是直線的一個方向向量，則__________.16．如圖①，用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓.許多人從純幾何的角度出發對這個問題進行過研究，其中比利時數學家（1794-1847）的方法非常巧妙，極具創造性.在圓錐內放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側面，截面相切，兩個球分別與截面相切于，在截口曲線上任取一點，過作圓錐的母線，分別與兩個球相切于，由球和圓的幾何性質，可以知道，，于是.由的產生方法可知，它們之間的距離是定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以為焦點的橢圓.如圖②，一個半徑為2的球放在桌面上，桌面上方有一個點光源，則球在桌面上的投影是橢圓.已知是橢圓的長軸，垂直于桌面且與球相切，，則橢圓的離心率為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓經過點和，且圓心在直線上.（1）求圓的方程;（2）過原點的直線與圓交于M，N兩點，若的面積為，求直線的方程.18．（12分）已知等差數列的前項和為，，且.（1）求數列的通項公式；（2）證明：數列的前項和.19．（12分）已知函數.（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求在區間上的最值.20．（12分）已知數列{}滿足a1＝1，a3＋a7＝18，且（n≥2）（1）求數列{}的通項公式；（2）若＝·，求數列的前n項和21．（12分）根據下列條件求圓的方程：（1）圓心在點O（0，0），半徑r＝3（2）圓心在點O（0，0），且經過點M（3，4）22．（10分）奮發學習小組共有3名學生，在某次探究活動中，他們每人上交了1份作業，現各自從這3份作業中隨機地取出了一份作業.（1）每個學生恰好取到自己作業的概率是多少？（2）每個學生不都取到自己作業的概率是多少？（3）每個學生取到的都不是自己作業的概率是多少？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】結合重心的知識以及空間向量運算求得正確答案.【詳解】設是中點，.故選：B2、A【解析】利用空間向量基本定理求解即可【詳解】由于M是的中點，所以故選：A3、B【解析】根據等差數列的性質求得正確答案.【詳解】由于數列是等差數列，所以.故選：B4、C【解析】利用等差數列的通項公式即可求解【詳解】設數列，，，，是首項為，公差d＝－4的等差數列{}，，令，得故選：C5、D【解析】根據拋物線方程求出，進而可得焦點坐標以及準線方程.【詳解】由可得，所以焦點坐標為，準線方程為：，故選：D.6、D【解析】根據圓的切線性質，結合圓的標準方程、圓與圓的位置關系進行求解即可.【詳解】因為、是圓的兩條切線，所以，因此點、在以為直徑的圓上，因為點是直線：上的動點，所以設，點，因此的中點的橫坐標為：，縱坐標為：，，因此以為直徑的圓的標準方程為：，而圓：，得：，即為直線的方程，由，所以直線經過定點，故選：D【點睛】關鍵點睛：由圓的切線性質得到點、在以為直徑的圓上，運用圓與圓的位置關系進行求解是解題的關鍵.7、B【解析】根據導數運算求得正確答案.【詳解】、、運算正確.，B選項錯誤.故選：B8、A【解析】由，得，從而可得答案.【詳解】解：因為，所以，即，解得.故選：A.9、D【解析】根據給定條件求出各餐館總好評率，再比較大小作答.【詳解】餐館甲的總好評率為：，餐館乙的總好評率為：，餐館丙的好評率為：，餐館丁的好評率為：，顯然，所以餐館丁的總好評率最高.故選：D10、B【解析】利用求解.【詳解】解：因為等差數列，的前n項和分別是，所以.故選：B11、D【解析】根據推出關系和集合的包含關系判斷A，根據全稱命題的否定形式可判斷B，根據對鉤函數性質即三角函數的性質可判斷C，根據反函數的圖像性質可判斷D.【詳解】解：對于選項A：是的真子集，所以命題p是q的充分不必要條件，故A錯誤；對于選項B：命題“”的否定是“”，故B錯誤；對于選項C：函數，當時，，函數單調遞減，當時取最小值，故C錯誤；對于選項D：與互為反函數，故圖象關于直線y＝x對稱，故D正確.12、C【解析】利用余弦定理可求得最大角的余弦值小于零，由此可知最大角為鈍角.【詳解】設三邊分別為，，，中的最大角為，，為鈍角，為鈍角三角形.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】由等差數列的通項公式求出公差，進而求出.【詳解】設該等差數列的公差為，則，所以.故答案為：4.14、24【解析】根據條件求得每一年投入在最終結算時的總收入，利用錯位相減法求得總收入.【詳解】由題知，2021年的投入在結算時的收入為，2022年的投入在結算時的收入為，，2030年的投入在結算時的收入為，則結算時的總投資及收益為：①，則②，由①-②得，，則，故答案為：2415、【解析】由題得，解方程組即得解.【詳解】解：由題得，因為是直線的一個方向向量，所以，所以，所以.故答案為：16、##0.5【解析】利用球與圓錐相切，得出截面，在平面圖形中求解，以及圓錐曲線的來源來理解切點為橢圓的一個焦點，求出，得出離心率.【詳解】設球切于，切于E，，球半徑為2，所以，，∴，又中，，，故橢圓長軸長為,,根據橢圓在圓錐中截面與二球相切的切點為橢圓的焦點知：球O與相切的切點為橢圓的一個焦點，且，，橢圓的離心率為.故答案：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）直線的方程為或或【解析】（1）由弦的中垂線與直線的交點為圓心即可求解；（2）由，可得或，進而有或，顯然直線斜率存在，設直線，由點到直線的距離公式求出的值即可得答案.【小問1詳解】解：設弦的中點為，則有，因為，所以直線，所以直線的中垂線為，則圓心在直線上，且在直線上，聯立方程解得圓心，則圓的半徑為，所以圓方程為；【小問2詳解】解：設圓心到直線的距離為，因為，所以或，所以或，顯然直線斜率存在，所以設直線，則或，解得或或，故直線的方程為或或.18、（1）（2）證明見解析.【解析】（1）設等差數列的公差為，根據題意可得出關于、的方程組，解出這兩個量的值，可得出數列的通項公式；（2）求得，利用裂項法可求得，即可證得原不等式成立.【小問1詳解】解：設等差數列的公差為，則，解得，因此，.【小問2詳解】證明：，因此，.故原不等式得證.19、（1）（2）最小值為0，最大值為4【解析】（1）利用導數求得切線方程.（2）結合導數求得在區間上的最值.【小問1詳解】，所以曲線在點處的切線方程為.【小問2詳解】，所以在區間遞增；在區間遞減，，所以在區間上的最小值為，最大值為.20、（1）；（2）【解析】（1）由等差中項可知數列是等差數列，根據已知可求得其公差，從而可得其通項公式；（2）分析可知應用錯位相減法求數列的和【詳解】（1）由知，數列是等差數列，設其公差為，則，所以，，即數列的通項公式為（2），，，兩式相減得：，整理得：，所以21、（1）x2+y2＝9（2）x2+y2＝25【解析】（1）直接根據圓心坐標和半徑，即可得到答案；（2）利用兩點間的距離公式，求出圓的半徑，即可得到答案；【小問1詳解】根據題意，圓心在點O（0，0），半徑r＝3，則要求圓的方程為x2+y2＝9；【小問2詳解】圓心在點O（0，0），且經過點M（3，4），要求圓的半徑r＝＝5，則要求圓的方程為x2+y2＝25；22、（1）（2）（3）【解析】(1)根據列舉法列出所有的可能基本事件，進而得出每個學生恰好拿到自己作業的概率；(2)