2024屆新疆阿克蘇地區庫車縣二中數學高二上期末質量檢測模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在等比數列{an}中，a1=8，a4=64，則a3等于（）A.16 B.16或-16C.32 D.32或-322．已知a，b為不相等實數，記，則M與N的大小關系為（）A. B.C. D.不確定3．是直線與直線互相平行的（）條件A.必要而不充分 B.充分而不必要C.充要 D.既不充分也不必要4．邊長為的正方形沿對角線折成直二面角，、分別為、的中點，是正方形的中心，則的大小為（）A. B.C. D.5．已知雙曲線（，）的左，右焦點分別為，．若雙曲線右支上存在點，使得與雙曲線的一條漸近線垂直并相交于點，且，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.6．已知實數滿足，則的取值范圍（）A.-1m B.-1m<0或0<mC.m或m-1 D.m1或m-17．已知F是橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，直線BF與橢圓C的另一個交點為D，且，則C的離心率為（）A. B.C. D.8．對于函數，下列說法正確的是（）A.的單調減區間為B.設，若對，使得成立，則C.當時，D.若方程有4個不等的實根，則9．已知，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.10．函數的最小值是（）A.3 B.4C.5 D.611．在中，，，，若該三角形有兩個解，則范圍是（）A. B.C. D.12．若方程表示雙曲線，則實數m的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一個質地均勻的正四面體，其四個面涂有不同的顏色，拋擲這個正四面體一次，觀察它與地面接觸的顏色得到樣本空間{紅，黃，藍，綠}，設事件{紅，黃}，事件{紅，藍}，事件{黃，綠}，則下列判斷：①E與F是互斥事件；②E與F是獨立事件；③F與G是對立事件；④F與G是獨立事件．其中正確判斷的序號是______（請寫出所有正確判斷的序號）14．已知數列的前項和，則該數列的首項__________，通項公式__________.15．在等比數列中，，，則公比________.16．已知點P是拋物線上的一個動點，則點P到點M(0，2)的距離與點P到該拋物線準線的距離之和的最小值為______________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列的前項和為，若.（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前項和.18．（12分）如圖1，在邊長為4的等邊三角形ABC中，D，E，F分別是AB，AC，BC的中點，沿DE把折起，得到如圖2所示的四棱錐.（1）證明：平面.（2）若二面角的大小為60°，求平面與平面的夾角的大小.19．（12分）設函數（1）求函數的單調區間；（2）若有兩個零點，，求的取值范圍，并證明：20．（12分）已知圓：，，為圓上的動點，若線段的垂直平分線交于點.（1）求動點的軌跡的方程；（2）已知為上一點，過作斜率互為相反數且不為0的兩條直線，分別交曲線于，，求的取值范圍.21．（12分）隨著生活條件的改善，人們健身意識的增強，健身器械比較暢銷，某商家為了解某種健身器械如何定價可以獲得最大利潤，現對這種健身器械進行試銷售.統計后得到其單價x（單位：百元）與銷量y（單位：個）的相關數據如下表：單價x（百元/個）3035404550日銷售量y（個）1401301109080（1）已知銷量y與單價x具有線性相關關系，求y關于x的線性回歸方程；（2）若每個健身器械的成本為25百元，試銷售結束后，請利用（1）中所求的線性回歸方程確定單價為多少百元時，銷售利潤最大？（結果保留到整數），附：對于一組數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為.參考數據：.22．（10分）設橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，短軸長為.（1）求橢圓的標準方程；（2）設左、右頂點分別為、，點在橢圓上（異于點、），求的值；（3）過點作一條直線與橢圓交于兩點，過作直線的垂線，垂足為.試問：直線與是否交于定點？若是，求出該定點的坐標，否則說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】首先根據a4=a1q3，求得q=2，再由a3=即可得解.【詳解】由a4=a1q3，得q3=8，即q=2，所以a3==32.故選：C2、A【解析】利用作差法即可比較M與N的大小﹒【詳解】因為，又，所以，即故選：A3、B【解析】求出直線與平行的等價條件，再利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】由解得或，當時，與平行，當時，與平行，則直線與直線平行等價于或，所以是直線與直線互相平行的充分而不必要條件.故選：B4、B【解析】建立空間直角坐標系，以向量法去求的大小即可解決.【詳解】由題意可得平面，，則兩兩垂直以O為原點，分別以OB、OA、OC所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系則，，，，又，則故選：B5、B【解析】利用漸近線方程和直線解出Q點坐標，再由得P點坐標，代入雙曲線方程得到a、b、c的齊次式可解.【詳解】如圖，因為與漸近線垂直所以的斜率為，方程為解的Q的坐標為設P點坐標為則，因為，所以，得點P坐標為，代入得：所以，即所以漸近線方程為故選：B.6、C【解析】把看成動點與所確定的直線的斜率，動點在所給曲線上.【詳解】就是點，所確定的直線的斜率，而在上，因為，.故選：C7、A【解析】設，根據得，代入橢圓方程即可求得離心率.【詳解】設橢圓方程，所以，設，所以，所以，在橢圓上，所以，.故選：A8、B【解析】函數，，，,，利用導數研究函數的單調性以及極值，畫出圖象A.結合圖象可判斷出正誤；B.設函數的值域為，函數，的值域為．若對，，使得成立，可得．分別求出，，即可判斷出正誤C.由函數在單調遞減，可得函數在單調遞增，由此即可判斷出正誤；D.方程有4個不等的實根，則，且時，有2個不等的實根，由圖象即可判斷出正誤；【詳解】函數，，，，可得函數在上單調遞減，在上單調遞減，在上單調遞增,當時，，由此作出函數的大致圖象，如圖示：A.由上述分析結合圖象，可得A不正確B.設函數的值域為，函數，的值域為，對，，．，，由，若對，，使得成立，則，所以，因此B正確C．由函數在單調遞減，可得函數在單調遞增，因此當時，，即，因此C不正確；D.方程有4個不等的實根，則，且時，有2個不等的實根，結合圖象可知，因此D不正確故選：B9、B【解析】運用不等式的性質及舉反例的方法可求解.詳解】對于A，如，滿足條件，但不成立，故A不正確；對于B，因為，所以，所以，故B正確；對于C，因為，所以，所以不成立，故C不正確；對于D，因為，所以，所以，故D不正確.故選：B10、D【解析】先判斷函數的單調性，再利用其單調性求最小值【詳解】由，得，因為，所以，所以在上單調遞增，所以，故選：D11、D【解析】根據三角形解得個數可直接構造不等式求得結果.【詳解】三角形有兩個解，，即.故選：D.12、A【解析】方程化為圓錐曲線（橢圓與雙曲線）標準方程的形式，然后由方程表示雙曲線可得不等關系【詳解】解：方程可化為，它表示雙曲線，則，解得.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、②③【解析】由對立和互斥事件的定義判斷①③；由獨立事件的性質判斷②④.【詳解】{紅}，則E與F不是互斥事件；且，則F與G是對立事件；，則E與F是獨立事件；，，則F與G不是獨立事件故答案為：②③14、①.；②..【解析】空一：利用代入法直接進行求解即可；空二：利用之間的關系進行求解即可.【詳解】空一：；空二：當時，，顯然不適合上式，所以，故答案為：；15、【解析】根據等比數列的性質求解即可.【詳解】因為等比數列中,故,又,故,故.故答案為：【點睛】本題主要考查了等比數列的性質運用,需要注意分析項與公比的正負,屬于基礎題.16、【解析】由拋物線的定義得：，所以，當三點共線時，最小可得答案.【詳解】如圖所示：，由拋物線的定義得：，所以，由圖象知：當三點共線時，最小，.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】(1)根據所給條件先求出首項，然后仿寫，作差即可得到的通項公式；(2)根據（1）求出的通項公式，觀察是由一個等差數列加上一個等比數列得到，要求其前項和，采用分組求和法結合公式法可求出前項和【小問1詳解】當時，，解得；當時，，∴，化簡得，∴是首項為1，公比為2的等比數列，∴，因此的通項公式為.【小問2詳解】由（1）得，∴，∴，∴18、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)由結合線面平行的判定即可推理作答.(2)取DE的中點M，連接，FM，證明平面平面，再建立空間直角坐標系，借助空間向量推理、計算作答.【小問1詳解】在中，因為E，F分別是AC，BC的中點，所以，則圖2中，，而平面，平面，所以平面.【小問2詳解】依題意，是正三角形，四邊形是菱形，取DE的中點M，連接，FM，如圖，則，，即是二面角的平面角，，取中點N，連接，則有，在中，由余弦定理得：，于是有，，即，而，，，平面，則平面，又平面，從而有平面平面，因平面平面，平面，因此，平面，過點N作，則兩兩垂直，以點N為原點，射線分別為x，y，z軸非負半軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，，設平面的法向量，則，令，得，設平面的法向量，則，令，得，顯然有，即，所以平面與平面的夾角為.【點睛】方法點睛：利用向量法求二面角：(1)找法向量，分別求出兩個半平面所在平面的法向量，然后求得法向量的夾角，結合圖形得到二面角的大小；(2)找與交線垂直的直線的方向向量，分別在二面角的兩個半平面內找到與交線垂直且以垂足為起點的直線的方向向量，則這兩個向量的夾角就是二面角的平面角19、（1）答案見詳解（2），證明見解析【解析】（1）求導得，，分類討論參數a的范圍即可判斷單調區間；（2）設，，聯立整理得，構造得，構造函數，結合導數判斷單調性，進而得證.小問1詳解】由，，可得，當時，，所以在上單調遞增；當時，令，得，令，得所以在單調遞減，在單調遞增；【小問2詳解】證明：因為函數有兩個零點，由（1）得，此時的遞增區間為，遞減區間為，有極小值.所以，可得,所以.由（1）可得的極小值點為，則不妨設.設，，則則，即，整理得，所以，設，則，所以在上單調遞減，所以，所以，即.20、（1）動點的軌跡的方程為；（2）的取值范圍.【解析】(1)由條件線段的垂直平分線交于點可得，由此可得，根據橢圓的定義可得點的軌跡為橢圓，結合橢圓的標準方程求動點的軌跡的方程；(2)由(1)可求點坐標，設直線的方程為，，聯立方程組化簡可得，，由直線，的斜率互為相反數可得的值，再由弦長公式求的長，再求其范圍.【小問1詳解】由題知故.即即在以為焦點且長軸為4的橢圓上則動點的軌跡的方程為：；【小問2詳解】故即.設：，聯立（*），，∴，，又則：即若，則過，不符合題意故，∴，故21、（1）；（2）確定單價為50百元時，銷售利潤最大.【解析】（1）根據參考公式和數據求出，進而求出線性回歸方程；（2）設出定價，結合（1）求出利潤，進而通過二次函數的性質求得答案.【小問1詳解】由題意，，則，，結合參考數據可得，，所以線性回歸方程為.【小問2詳解】設定價為x百元，利潤為，則，由題意，則（百元）時，最大.故確定單價為50百元時，銷售利潤最大.22、（1）；（2）；（3）是，.【解析】（1）由題意，列出所滿足的等量關系式，結合橢圓中的關系，求得，從而求得橢圓的方程；（2）寫出，設，利用斜率坐標公式求得兩直線斜率，結合點在橢圓上，得出，從而求得結果；（3）設直線的方程為：，，則，聯立方程可得：，結合韋達定理，得到，結合直線的方程，得到直線