PAGE三角函數綜合編稿：丁會敏審稿：王靜偉【學習目標】1.理解任意角的概念、弧度的意義，能正確地進行弧度與角度的換算.2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，掌握同角三角函數的基本關系式，掌握正弦、余弦的誘導公式，理解周期函數與最小正周期的意義.3.能正確運用三角公式，進行簡單三角函數式的化簡、求值和恒等式證明.4.會用“五點法”畫正弦函數、余弦函數和函數的簡圖，理解的物理意義.5．掌握正弦函數、余弦函數的周期性、奇偶性、單調性等性質并能靈活應用．6．熟練掌握正弦函數、余弦函數、正切函數、余切函數圖象的形狀，理解圖象平移變換、伸縮變換的意義，并會用這兩種變換研究函數圖象的變化.【知識網絡】【要點梳理】要點一：終邊相同的角1．終邊相同的角凡是與終邊相同的角，都可以表示成的形式.要點詮釋：(1)終邊相同的前提是：原點，始邊均相同；(2)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同；(3)終邊相同的角有無數多個，它們相差的整數倍.特例：終邊在x軸上的角集合，終邊在y軸上的角集合，終邊在坐標軸上的角的集合.在已知三角函數值的大小求角的大小時，通常先確定角的終邊位置，然后再確定大小.2．弧度和角度的換算(1)角度制與弧度制的互化：弧度，弧度，弧度(2)弧長公式：(是圓心角的弧度數)，扇形面積公式：.要點詮釋：(1)角有正負零角之分，它的弧度數也應該有正負零之分，如等等，一般地,正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是0,角的正負主要由角的旋轉方向來決定.(2)角的弧度數的絕對值是：，其中，是圓心角所對的弧長，是半徑.要點二：任意角的三角函數的定義、三角函數的符號規律、特殊角的三角函數值、同角三角函數的關系式、誘導公式：1.三角函數定義：角終邊上任意一點為，設則：要點詮釋：三角函數的值與點在終邊上的位置無關，僅與角的大小有關.我們只需計算點到原點的距離,那么,,．2.三角函數符號規律：一全正，二正弦，三正切，四余弦(為正)；要點詮釋：口訣的含義是在第一象限各三角函數值為正；在第二象限正弦值為正，在第三象限正切值為正，在第四象限余弦值為正．3.特殊角的三角函數值02sin010-10cos10-101tan01不存在0不存在04.同角三角函數的基本關系：解出的范圍，所得區間即為減區間；要點詮釋：（1）注意復合函數的解題思想；（2）比較三角函數值的大小，往往是利用奇偶性或周期性在轉化為屬于同一單調區間上的兩個同名函數值，再利用單調性比較.3．確定的解析式的步驟①首先確定振幅和周期，從而得到；②確定值時，往往以尋找“五點法”中第一個零點作為突破口，要注意從圖象的升降情況找準第一個零點的位置，同時要利用好最值點.要點五：正弦型函數的圖象變換方法先平移后伸縮的圖象的圖象的圖象的圖象的圖象.先伸縮后平移的圖象的圖象的圖象的圖象的圖象.【典型例題】類型一：三角函數的概念例1．已知角的終邊上一點，且，求的值.【思路點撥】【解析】由題設知，，所以，得，從而，解得或.當時，，；當時，，；當時，，.【總結升華】理解正弦函數和余弦函數的定義，三角函數值是比值，是一個實數，這個實數的大小和點在終邊上的位置無關.舉一反三：【變式1】已知角α的終邊過點P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－，則m的值為()A．－ B. C．－ D.【答案】B【解析】r＝，∴cosα＝，∴m>0，∴，∴m＝±.∵m>0，∴m＝.例2.已知角；(1)在區間內找出所有與角有相同終邊的角；(2)集合，，那么兩集合的關系是什么？【答案】(1)或(2)【解析】(1)所有與角有相同終邊的角可表示為：，則令，得解得，從而或代回或.(2)因為表示的是終邊落在四個象限的平分線上的角的集合；而集合表示終邊落在坐標軸或四個象限平分線上的角的集合，從而：.【總結升華】(1)從終邊相同的角的表示入手分析問題，先表示出所有與角有相同終邊的角，然后列出一個關于的不等式，找出相應的整數，代回求出所求解；(2)可對整數的奇、偶數情況展開討論.舉一反三：【變式1】集合，，則()A、B、C、D、【答案】C【解析】(法一)取特殊值-1，-3，-2，-1，0，1，2，3，4(法二)在平面直角坐標系中，數形結合(法三)集合M變形，集合N變形，是的奇數倍，是的整數倍，因此.類型二:扇形的弧長和面積公式例3．已知一半徑為r的扇形，它的周長等于所在圓的周長的一半，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面積是多少？【答案】【解析】設扇形的圓心角是，因為扇形的弧長是，所以扇形的周長是依題意，得≈≈【總結升華】弧長和扇形面積的核心公式是圓周長公式和圓面積公式，當用圓心角的弧度數代替時，即得到一般的弧長公式和扇形面積公式：類型三：同角三角函數基本關系式例4．若sinθcosθ=，θ∈(，)，求cosθ－sinθ的值．【思路點撥】已知式為sinθ、cosθ的二次式，欲求式為sinθ、cosθ的一次式，為了運用條件，須將cosθ－sinθ進行平方．【解析】(cosθ－sinθ)2=cos2θ+sin2θ－2sinθcosθ=1－=．∵θ∈(，)，∴cosθ＜sinθ．∴cosθ－sinθ=－．【總結升華】sinθcosθ，cosθ+sinθ，cosθ－sinθ三者關系緊密，由其中之一，可求其余之二．舉一反三：【變式1】已知是的一個內角，且，求【思路點撥】根據可得的范圍：再結合同角三角函數的關系式求解.【答案】【解析】為鈍角，由，平方整理得【變式2】已知cosθ－sinθ=－，求sinθcosθ，sinθ+cosθ的值．【答案】【解析】，，，類型四：三角函數的誘導公式例5．（1）sin585°的值為()A．－ B. C．－ D.（2）已知sin(2π－α)＝，α∈，則等于()A. B．－ C．－7 D．7【思路點撥】本題是對誘導公式和特殊三角函數值的考查，熟練掌握誘導公式即可.【答案】（1）A（2）A【解析】（1）sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)＝－.（2）sin(2π－α)＝－sinα＝，∴sinα＝－.又α∈，∴cosα＝.∴＝.【總結升華】誘導公式用角度和弧度制表示都成立，記憶方法可以概括為“奇變偶不變，符號看象限”，“變”與“不變”是相對于對偶關系的函數而言的，sin與cos對偶，“奇”、“偶”是對誘導公式中的整數k來講的，象限指中，將看作銳角時，所在象限，如將寫成，因為3是奇數，則“cos”變為對偶函數符號“sin”，又看作第四象限角，為“+”，所以有.舉一反三：【變式1】已知cos，且－π<α<－，則cos等于 ()A. B. C．－ D．－【答案】D【解析】cos＝cos＝sin.又－π<α<－，∴－π<＋α<－，∴sin＝－，∴cos＝－.類型五：三角函數的圖象和性質例6.函數y＝-xcosx的部分圖象是()【思路點撥】結合函數的奇偶性以及函數值的正負，或采用特殊值法.【解析】因為函數y＝-xcosx是奇函數，它的圖象關于原點對稱，所以排除A、C，當x∈(0，)時，y＝-xcosx＜0.答案為D.【總結升華】本題通過觀察四個選項A，C與B，D分別關于y軸和原點對稱，從而啟示我們從研究函數奇偶性入手考慮進行篩選，然后通過研究其函數值的符號進行確定，充分體現了數形結合的思想在解題中的應用.舉一反三：【高清課堂：三角函數的綜合395043例1】【變式1】函數在內（）A．沒有零點B．有且僅有一個零點C．有且僅有兩個零點D．有無窮多個零點【答案】B例7．已知函數的最小正周期為，為了得到函數的圖象，只要將的圖象（）A．向左平移個單位長度B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度D．向右平移個單位長度【思路點撥】對于不同三角函數圖象之間的平移變換，一定要根據誘導公式將二者之間變換清楚．【答案】A【解析】由題知又，所以所以==顯然將的圖象向左平移個單位長度便可得到的圖象．故選A．舉一反三：【變式1】把函數的圖象上所有的點向左平行移動個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，得到的圖象所表示的函數是()A. B.C. D.解析：，故選C.例8．函數()的最大值為3,其圖像相鄰兩條對稱軸之間的距離為．(1)求函數的解析式;(2)設,則,求的值.【思路點撥】由題意知，A=2，，可求出．（2）把代入函數解析式，求出的值．【答案】（1）（2）【解析】(1)∵函數的最大值為3,∴即∵函數圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離